【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：相交线与平行线（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：相交线与平行线（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 12:22:00 | ||
图片预览
文档简介
2025年中考数学二轮复习考前预测：相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
2．（2025 雁塔区校级一模）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE．若∠C＝15°，∠AEC＝60°．则∠A的值为（ ）
A．45° B．75° C．46° D．76°
3．（2025 河北模拟）将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若∠1增大3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小3° B．∠3减小3°
C．∠4增大3° D．∠2与∠4的和不变
4．（2025 信阳模拟）如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE．若∠COF＝36°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20° B．18° C．16° D．14°
5．（2025 碑林区校级一模）如图，AB∥CD，点E在CD上，连接BC，BE，若BC平分∠ABE，∠BED＝46°，则∠C的度数为（ ）
A．26° B．23° C．22° D．21°
6．（2025 安徽模拟）如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180°
C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA
7．（2025 五华区校级一模）如图，AB⊥CD，垂足为D，直线EF经过点D．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．（2024 桐乡市校级一模）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（ ）
A．200° B．230° C．250° D．270°
9．（2024 七里河区三模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
10．（2025 鼓楼区校级模拟）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
二．填空题（共5小题）
11．（2025 济南模拟）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ ．
12．（2025 西乡县校级模拟）如图，摆放着正六边形ABCDEF和正三角形EGH，AC∥HG，则∠DEH＝ ．
13．（2024 朝阳区二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1＝∠2＝83°，这种验证方法依据的基本事实是 ．
14．（2024 二道区校级三模）在探索线与角的关系时，数学兴趣小组将一副学生用的三角板，按如图所示的方式摆放．已知AB∥CD，则∠1＝ °．
15．（2024 河南一模）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 武进区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，证明你的结论．
17．（2024 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
18．（2024 沙坪坝区校级一模）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规，作∠ABC的平分线BD与AC的垂直平分线1交于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DA，DC，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系，并说明理由．
解：DA∥BC，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴ ．
∵l是AC的垂直平分线，
∴ ．
∵DC＝AB，
∴ ．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴ ．
∴AD∥BC．
19．（2024 恩施市模拟）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE的度数．
20．（2024 滦南县校级模拟）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
2025年中考数学二轮复习考前预测：相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【解答】解：如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD＝∠1＝22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
2．（2025 雁塔区校级一模）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE．若∠C＝15°，∠AEC＝60°．则∠A的值为（ ）
A．45° B．75° C．46° D．76°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】由三角形的外角性质可求得∠D＝45°，再由平行线的性质即可求∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝15°，∠AEC＝60°，∠AEC是△CDE的外角，
∴∠D＝∠AEC﹣∠C＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝45°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
3．（2025 河北模拟）将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若∠1增大3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小3° B．∠3减小3°
C．∠4增大3° D．∠2与∠4的和不变
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠CDE＝∠EFG，∠3＝∠IDH，再由邻补角及等量代换即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
根据题意，两根矩形木条，对边相等且平行，
∴CH∥EF，DE∥FH，
∴∠1＝∠CDE＝∠EFG，∠3＝∠IDH，
∵∠CDE+∠4＝180°，∠EFG+∠2＝180°，
∴∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴当∠1增大3°时，∠2减小3°，∠4减小3°．
∵∠3＝∠IDH，∠IDH+∠4＝180°，∠CDE+∠4＝180°，
∴∠IDH＝∠CDE，
∴∠1＝∠3，
∴当∠1增大3°时，∠3增大3°，
综上所述，只有选项A正确，符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质及对顶角、邻补角，关键是平行线性质的熟练掌握．
4．（2025 信阳模拟）如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE．若∠COF＝36°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20° B．18° C．16° D．14°
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂直的定义得出∠COE＝90°，即可求出∠EOF的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOF的度数，从而求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝36°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝54°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，求出∠AOC的度数是解题的关键．
5．（2025 碑林区校级一模）如图，AB∥CD，点E在CD上，连接BC，BE，若BC平分∠ABE，∠BED＝46°，则∠C的度数为（ ）
A．26° B．23° C．22° D．21°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出∠ABE＝∠BED＝46°，∠C＝∠ABC，由角平分线定义求出∠ABC＝23°，于是得到∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BED＝46°，∠C＝∠ABC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠ABE＝23°，
∴∠C＝23°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出∠ABE＝∠BED，∠C＝∠ABC．
6．（2025 安徽模拟）如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180°
C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵∠FBC＝∠DAB，
∴AD∥BC，
∵∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∵∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CD，
∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2025 五华区校级一模）如图，AB⊥CD，垂足为D，直线EF经过点D．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义，邻补角的意义，结合角的和差计算即可求解．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝50°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠ADE＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂直的定义，邻补角的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2024 桐乡市校级一模）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（ ）
A．200° B．230° C．250° D．270°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】过B作BK∥CD，得到BK∥AE，推出∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，得到∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，由垂直的定义得到∠BAE＝90°，即可求出∠ABC+∠BCD的度数．
【解答】解：过B作BK∥CD，
∵CD∥AE，
∴BK∥AE，
∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，
∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝270°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°．
9．（2024 七里河区三模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】由30°三角尺可知∠3＝60°，由平角可求∠4，再根据平行线的性质可知∠2＝∠4．
【解答】解：如图：
由30°三角尺可知∠3＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣65°﹣60°＝55°．
由平行线的性质可知∠2＝∠4＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化．
10．（2025 鼓楼区校级模拟）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 济南模拟）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ 55° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】55°．
【分析】由∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，得到∠FEP＝80°，∠BEF＝120°，由平行线的性质推出∠EFD+∠BEF＝180°，得到∠EFD＝60°，求出∠EFP＝×60°＝45°，由三角形内角和定理即可得到∠P的度数．
【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，
∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF＝180°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFP＝3∠DFP，
∴∠EFP＝×60°＝45°，
∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推∠EFD+∠BEF＝180°．
12．（2025 西乡县校级模拟）如图，摆放着正六边形ABCDEF和正三角形EGH，AC∥HG，则∠DEH＝ 90° ．
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．
【答案】90°．
【分析】连接DF，过E作EK∥DF，由正多边形的性质得到FE＝ED，∠DEF＝∠AFE＝120°，判定DF⊥AF，CA⊥AF，推出DF∥AC，得到DF∥GH，EK∥GH，推出∠DEK＝∠FDE＝30°，∠HEK＝∠H，即可求出∠DEH＝∠DEK+∠HEK＝90°．
【解答】解：连接DF，过E作EK∥DF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴FE＝ED，∠DEF＝∠AFE＝＝120°，
∴∠DFE＝∠FDE＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠AFD＝∠AFE﹣∠DFE＝90°，
∴DF⊥AF，
同理：CA⊥AF，
∴DF∥AC，
∵AC∥GH，
∴DF∥GH，
∴EK∥GH，
∴∠DEK＝∠FDE＝30°，∠HEK＝∠H，
∵△EGH是等边三角形，
∴∠H＝60°，
∴∠HEK＝60°，
∴∠DEH＝∠DEK+∠HEK＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，多边形的内角和外角，关键是由正六边形的性质判定DF∥GH，得到EK∥GH，由平行线的性质来解决问题．
13．（2024 朝阳区二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1＝∠2＝83°，这种验证方法依据的基本事实是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图可得∠1和∠2是一对同位角，根据平行线的判定方法即可求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝83°，
∴斑马线互相平行． （同位角相等，两直线平行）
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定方法，掌握判定方法是解题的关键．
14．（2024 二道区校级三模）在探索线与角的关系时，数学兴趣小组将一副学生用的三角板，按如图所示的方式摆放．已知AB∥CD，则∠1＝ 15 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两直线平行，内错角相等和三角板的度数解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC＝60°，
∵∠BAF＝45°，
∴∠1＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
15．（2024 河南一模）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ 55° ．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】55°．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义得出∠CDH＝90°﹣∠HED，进而解答即可．
【解答】解：∵直线EF平分∠GEB，∠GEB＝70°，
∴∠HED＝∠AEH＝∠GEF＝，
∵过点D作DH⊥EF于点H，
∴∠HDE＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE＝180°，
∵∠AED＝∠GEB＝70°，
∴∠CDE＝110°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝110°﹣55°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 武进区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，证明你的结论．
【考点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△BCE是等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠B＝∠EAD，得到∠D＝∠EAD，判定BE∥CD，推出∠E＝∠ECD；
（2）由平行线的性质推出∠ECD＝∠E＝60°，由角平分线定义得到∠BCE＝∠ECD＝60°，求出∠B＝60°，判定△BCE是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠EAD，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD；
（2）解：△BCE是等边三角形，理由如下：
∵BE∥CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出∠D＝∠EAD，判定BE∥CD；由平行线的性质，角平分线定义得到∠BCE＝60°．
17．（2024 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）105°．
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE＝∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF+∠BOD＝180°，
∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝75°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
18．（2024 沙坪坝区校级一模）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规，作∠ABC的平分线BD与AC的垂直平分线1交于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DA，DC，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系，并说明理由．
解：DA∥BC，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD＝∠CBD ．
∵l是AC的垂直平分线，
∴ AD＝CD ．
∵DC＝AB，
∴ AD＝AB ．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴ ∠CBD＝∠ADB ．
∴AD∥BC．
【考点】平行线的判定与性质；作图—基本作图．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；AD＝AB；∠CBD＝∠ADB．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法和线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、平行线的判定填空即可．
【解答】解：（1）如图，BD，直线l即为所求．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵l是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD．
∵DC＝AB，
∴AD＝AB．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴∠CBD＝∠ADB．
∴AD∥BC．
故答案为：∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；AD＝AB；∠CBD＝∠ADB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、角平分线的作图方法以及线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
19．（2024 恩施市模拟）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】∠AFE的度数为25°．
【分析】先利用平行线的性质求出∠DAB＝60°，再利用角的和差关系求出∠EAB＝50°，从而利用角平分线的定义可得∠FAB＝25°，然后再利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAE＝50°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠FAB＝∠EAB＝25°，
∵AB∥EF，
∴∠AFE＝∠FAB＝25°，
∴∠AFE的度数为25°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2024 滦南县校级模拟）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）80°．
【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1，
∴DF∥AB；
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝50°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
答：∠C的度数为80°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
2．（2025 雁塔区校级一模）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE．若∠C＝15°，∠AEC＝60°．则∠A的值为（ ）
A．45° B．75° C．46° D．76°
3．（2025 河北模拟）将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若∠1增大3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小3° B．∠3减小3°
C．∠4增大3° D．∠2与∠4的和不变
4．（2025 信阳模拟）如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE．若∠COF＝36°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20° B．18° C．16° D．14°
5．（2025 碑林区校级一模）如图，AB∥CD，点E在CD上，连接BC，BE，若BC平分∠ABE，∠BED＝46°，则∠C的度数为（ ）
A．26° B．23° C．22° D．21°
6．（2025 安徽模拟）如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180°
C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA
7．（2025 五华区校级一模）如图，AB⊥CD，垂足为D，直线EF经过点D．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．（2024 桐乡市校级一模）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（ ）
A．200° B．230° C．250° D．270°
9．（2024 七里河区三模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
10．（2025 鼓楼区校级模拟）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
二．填空题（共5小题）
11．（2025 济南模拟）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ ．
12．（2025 西乡县校级模拟）如图，摆放着正六边形ABCDEF和正三角形EGH，AC∥HG，则∠DEH＝ ．
13．（2024 朝阳区二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1＝∠2＝83°，这种验证方法依据的基本事实是 ．
14．（2024 二道区校级三模）在探索线与角的关系时，数学兴趣小组将一副学生用的三角板，按如图所示的方式摆放．已知AB∥CD，则∠1＝ °．
15．（2024 河南一模）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 武进区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，证明你的结论．
17．（2024 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
18．（2024 沙坪坝区校级一模）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规，作∠ABC的平分线BD与AC的垂直平分线1交于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DA，DC，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系，并说明理由．
解：DA∥BC，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴ ．
∵l是AC的垂直平分线，
∴ ．
∵DC＝AB，
∴ ．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴ ．
∴AD∥BC．
19．（2024 恩施市模拟）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE的度数．
20．（2024 滦南县校级模拟）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
2025年中考数学二轮复习考前预测：相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【解答】解：如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD＝∠1＝22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
2．（2025 雁塔区校级一模）如图所示，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A、点D重合），连接CE．若∠C＝15°，∠AEC＝60°．则∠A的值为（ ）
A．45° B．75° C．46° D．76°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】由三角形的外角性质可求得∠D＝45°，再由平行线的性质即可求∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝15°，∠AEC＝60°，∠AEC是△CDE的外角，
∴∠D＝∠AEC﹣∠C＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝45°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
3．（2025 河北模拟）将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若∠1增大3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠2减小3° B．∠3减小3°
C．∠4增大3° D．∠2与∠4的和不变
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠CDE＝∠EFG，∠3＝∠IDH，再由邻补角及等量代换即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
根据题意，两根矩形木条，对边相等且平行，
∴CH∥EF，DE∥FH，
∴∠1＝∠CDE＝∠EFG，∠3＝∠IDH，
∵∠CDE+∠4＝180°，∠EFG+∠2＝180°，
∴∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴当∠1增大3°时，∠2减小3°，∠4减小3°．
∵∠3＝∠IDH，∠IDH+∠4＝180°，∠CDE+∠4＝180°，
∴∠IDH＝∠CDE，
∴∠1＝∠3，
∴当∠1增大3°时，∠3增大3°，
综上所述，只有选项A正确，符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质及对顶角、邻补角，关键是平行线性质的熟练掌握．
4．（2025 信阳模拟）如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE．若∠COF＝36°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20° B．18° C．16° D．14°
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂直的定义得出∠COE＝90°，即可求出∠EOF的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOF的度数，从而求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝36°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝54°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，求出∠AOC的度数是解题的关键．
5．（2025 碑林区校级一模）如图，AB∥CD，点E在CD上，连接BC，BE，若BC平分∠ABE，∠BED＝46°，则∠C的度数为（ ）
A．26° B．23° C．22° D．21°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出∠ABE＝∠BED＝46°，∠C＝∠ABC，由角平分线定义求出∠ABC＝23°，于是得到∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BED＝46°，∠C＝∠ABC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠ABE＝23°，
∴∠C＝23°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出∠ABE＝∠BED，∠C＝∠ABC．
6．（2025 安徽模拟）如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180°
C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵∠FBC＝∠DAB，
∴AD∥BC，
∵∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∵∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CD，
∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2025 五华区校级一模）如图，AB⊥CD，垂足为D，直线EF经过点D．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义，邻补角的意义，结合角的和差计算即可求解．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝50°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠ADE＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂直的定义，邻补角的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2024 桐乡市校级一模）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（ ）
A．200° B．230° C．250° D．270°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】过B作BK∥CD，得到BK∥AE，推出∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，得到∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，由垂直的定义得到∠BAE＝90°，即可求出∠ABC+∠BCD的度数．
【解答】解：过B作BK∥CD，
∵CD∥AE，
∴BK∥AE，
∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，
∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝270°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°．
9．（2024 七里河区三模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】由30°三角尺可知∠3＝60°，由平角可求∠4，再根据平行线的性质可知∠2＝∠4．
【解答】解：如图：
由30°三角尺可知∠3＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣65°﹣60°＝55°．
由平行线的性质可知∠2＝∠4＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化．
10．（2025 鼓楼区校级模拟）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 济南模拟）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝ 55° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】55°．
【分析】由∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，得到∠FEP＝80°，∠BEF＝120°，由平行线的性质推出∠EFD+∠BEF＝180°，得到∠EFD＝60°，求出∠EFP＝×60°＝45°，由三角形内角和定理即可得到∠P的度数．
【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，
∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF＝180°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFP＝3∠DFP，
∴∠EFP＝×60°＝45°，
∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推∠EFD+∠BEF＝180°．
12．（2025 西乡县校级模拟）如图，摆放着正六边形ABCDEF和正三角形EGH，AC∥HG，则∠DEH＝ 90° ．
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．
【答案】90°．
【分析】连接DF，过E作EK∥DF，由正多边形的性质得到FE＝ED，∠DEF＝∠AFE＝120°，判定DF⊥AF，CA⊥AF，推出DF∥AC，得到DF∥GH，EK∥GH，推出∠DEK＝∠FDE＝30°，∠HEK＝∠H，即可求出∠DEH＝∠DEK+∠HEK＝90°．
【解答】解：连接DF，过E作EK∥DF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴FE＝ED，∠DEF＝∠AFE＝＝120°，
∴∠DFE＝∠FDE＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠AFD＝∠AFE﹣∠DFE＝90°，
∴DF⊥AF，
同理：CA⊥AF，
∴DF∥AC，
∵AC∥GH，
∴DF∥GH，
∴EK∥GH，
∴∠DEK＝∠FDE＝30°，∠HEK＝∠H，
∵△EGH是等边三角形，
∴∠H＝60°，
∴∠HEK＝60°，
∴∠DEH＝∠DEK+∠HEK＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，多边形的内角和外角，关键是由正六边形的性质判定DF∥GH，得到EK∥GH，由平行线的性质来解决问题．
13．（2024 朝阳区二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1＝∠2＝83°，这种验证方法依据的基本事实是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图可得∠1和∠2是一对同位角，根据平行线的判定方法即可求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝83°，
∴斑马线互相平行． （同位角相等，两直线平行）
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定方法，掌握判定方法是解题的关键．
14．（2024 二道区校级三模）在探索线与角的关系时，数学兴趣小组将一副学生用的三角板，按如图所示的方式摆放．已知AB∥CD，则∠1＝ 15 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两直线平行，内错角相等和三角板的度数解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC＝60°，
∵∠BAF＝45°，
∴∠1＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
15．（2024 河南一模）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ 55° ．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】55°．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义得出∠CDH＝90°﹣∠HED，进而解答即可．
【解答】解：∵直线EF平分∠GEB，∠GEB＝70°，
∴∠HED＝∠AEH＝∠GEF＝，
∵过点D作DH⊥EF于点H，
∴∠HDE＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE＝180°，
∵∠AED＝∠GEB＝70°，
∴∠CDE＝110°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝110°﹣55°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 武进区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，证明你的结论．
【考点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△BCE是等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠B＝∠EAD，得到∠D＝∠EAD，判定BE∥CD，推出∠E＝∠ECD；
（2）由平行线的性质推出∠ECD＝∠E＝60°，由角平分线定义得到∠BCE＝∠ECD＝60°，求出∠B＝60°，判定△BCE是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠EAD，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD；
（2）解：△BCE是等边三角形，理由如下：
∵BE∥CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出∠D＝∠EAD，判定BE∥CD；由平行线的性质，角平分线定义得到∠BCE＝60°．
17．（2024 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）105°．
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE＝∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF+∠BOD＝180°，
∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝75°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
18．（2024 沙坪坝区校级一模）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规，作∠ABC的平分线BD与AC的垂直平分线1交于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DA，DC，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系，并说明理由．
解：DA∥BC，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD＝∠CBD ．
∵l是AC的垂直平分线，
∴ AD＝CD ．
∵DC＝AB，
∴ AD＝AB ．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴ ∠CBD＝∠ADB ．
∴AD∥BC．
【考点】平行线的判定与性质；作图—基本作图．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；AD＝AB；∠CBD＝∠ADB．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法和线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、平行线的判定填空即可．
【解答】解：（1）如图，BD，直线l即为所求．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵l是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD．
∵DC＝AB，
∴AD＝AB．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴∠CBD＝∠ADB．
∴AD∥BC．
故答案为：∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；AD＝AB；∠CBD＝∠ADB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、角平分线的作图方法以及线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
19．（2024 恩施市模拟）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】∠AFE的度数为25°．
【分析】先利用平行线的性质求出∠DAB＝60°，再利用角的和差关系求出∠EAB＝50°，从而利用角平分线的定义可得∠FAB＝25°，然后再利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAE＝50°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠FAB＝∠EAB＝25°，
∵AB∥EF，
∴∠AFE＝∠FAB＝25°，
∴∠AFE的度数为25°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2024 滦南县校级模拟）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）80°．
【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1，
∴DF∥AB；
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝50°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
答：∠C的度数为80°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录