【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：一次函数（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．（2025 雁塔区校级一模）将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5
3．（2025 佛山一模）张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数：滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．若在整个往返过程中，d＝18，则t＝（　　）s．
A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18
4．（2025 秦都区校级一模）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 碑林区校级一模）将直线y＝kx﹣2（k≠0）向下平移6个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2025 西乡县校级模拟）在给出的下列函数中，每个函数都与y＝x交于两点，则交点一定关于原点对称的选项是（　　）
A．y＝ax2+bx+c（a≠0） B．y＝x2+2x﹣1.5
C． D．y＝﹣（x﹣1）2+5
7．（2025 碑林区校级一模）已知点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于x轴对称，一个正比例函数的图象经过点A，则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C． D．
8．（2025 潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2025 静安区一模）如果一次函数y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过C（1，﹣3），那么函数y＝y1 y2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025 奉贤区一模）已知函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题（共5小题）
11．（2025 济南模拟）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 　 　．
12．（2025 山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ 　 　．
13．（2025 普陀区一模）如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是　 　．
14．（2025 泗洪县一模）设k为正整数，直线y＝kx+k﹣1和直线y＝（k+1）x+k与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+ +S2024的值等于 　 　．
15．（2025 奉贤区一模）正比例函数y＝（a﹣3）x图象中，y的值随着x的值增大而增大，那么a的取值范围是 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 雁塔区校级模拟）生物学家测得某种成熟的雄性鲸（如图1）的全长y（单位：m，且10≤y≤14）与吻尖到喷水孔的长度x（单位：m）之间满足一次函数关系，其函数图象如图2所示：
请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某条这种雄性鲸的全长为10.25m，那么它的吻尖到喷水孔的长度x为多少？
17．（2025 雁塔区校级一模）如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？
18．（2025 雁塔区校级一模）某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示：
型号 甲 乙
每台进价/元 160 250
每台售价/元 200 300
设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元．
（1）求y与x的函数表达式：
（2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
19．（2025 安阳模拟）如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．
（1）点M的坐标为　 　；
（2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求△QMA周长的最小值及此时点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△QMA的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线l⊥x轴，交直线MQ于点G，交直线AB于点H，若GH的长为3，求点F的坐标．
20．（2025 秦都区校级一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（mg）与A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为多少？
2025年中考数学二轮复习考前预测：一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）一次函数y＝﹣kx+3的图象关于x轴对称后经过（2，﹣1），则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】首先把（2，1）代入y＝﹣kx+3可得关于k的方程，再解即可．
【解答】解：∵（2，﹣1）关于x轴对称点为（2，1），
∴一次函数y＝﹣kx+3的图象过点P（2，1），
∴1＝﹣2k+3，
解得：k＝1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
2．（2025 雁塔区校级一模）将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5
【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】求出平移后的函数为y＝﹣5x+3﹣m，再由题意可得方程3﹣m＝0，求出m的值即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣5x+3﹣m，
∵平移后为正比例函数，
∴3﹣m＝0，
解得m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的性质，正比例函数的定义是解题的关键．
3．（2025 佛山一模）张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再以小于9m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝l1﹣l2，d与t具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数：滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间）．若在整个往返过程中，d＝18，则t＝（　　）s．
A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设轨道AB的长为n，根据已知条件得出l1+l2+1＝n，则d＝l1﹣l2＝18t﹣n+1，根据当t＝4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互为相反数；则t＝5时，d＝0，得出d＝91，继而求得滑块返回的速度为（91﹣1）÷15＝6（m/s），得出l2＝6（t﹣12），代入d＝l1﹣l2求得d关于t的函数，进而①当0≤t≤10时，②当12≤t≤27时，分别令d＝18，进而即可求解．
【解答】解：设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵l1+l2+1＝n，
∴l2＝n﹣l1﹣1，
∴d＝l1﹣l2＝l1﹣（n﹣l1﹣1）＝2l1﹣n+1＝2×9t﹣n+1＝18t﹣n+1，
∴d是t的一次函数，
由题意可得：当t＝5时，d＝0，
∴18×5﹣n+1＝0，
∴n＝91，
∴滑块从点A到点B所用的时间为（91﹣1）÷9＝10（s），
当0≤t≤10，d＝18时，18t﹣91+1＝18，
解得：t＝6；
由题意可得：滑块从点B到点A的滑动时间为27﹣10﹣2＝15（s），
∴滑块返回的速度为（91﹣1）÷15＝6（m/s），
∴l2＝6（t﹣12），
∴l1＝91﹣1﹣l2＝90﹣6（t﹣12）＝162﹣6t，
∴l1﹣l2＝162﹣6t﹣6（t﹣12）＝﹣12t+234，
∴d与t的函数表达式为d＝﹣12t+234，
当12≤t≤27，d＝18时，
﹣12t+234＝18，
解得：t＝18，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分析得出n＝91，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
4．（2025 秦都区校级一模）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质和一次函数的性质，可以得到kb的正负和k、b的正负，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项A不可能，符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项B可能，不符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项C可能，不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项D可能，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2025 碑林区校级一模）将直线y＝kx﹣2（k≠0）向下平移6个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据平移规律可得，直线y＝kx﹣2向下平移6个单位后得y＝kx﹣8，然后把（2，4）代入即可求出k的值．
【解答】解：直线y＝kx﹣2向下平移6个单位后所得解析式为y＝kx﹣8，
∵平移后的直线经过点（2，4），
∴4＝2k﹣8，
解得：k＝6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线平移后的解析式有这样的规律“左加右减，上加下减”．
6．（2025 西乡县校级模拟）在给出的下列函数中，每个函数都与y＝x交于两点，则交点一定关于原点对称的选项是（　　）
A．y＝ax2+bx+c（a≠0） B．y＝x2+2x﹣1.5
C． D．y＝﹣（x﹣1）2+5
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】设每个函数与y＝x交于（m，m），（n，n），根据交点一定关于原点对称，可得m+n＝0，在y＝ax2+bx+c中，令y＝x可得：ax2+（b﹣1）x+c＝0，即可得m+n＝﹣，故m+n的值不一定为0，判断A不符合题意；同理可判断B不符合题意，C符合题意，D不符合题意．
【解答】解：设每个函数与y＝x交于（m，m），（n，n），
∵交点一定关于原点对称，
∴原点是（m，m），（n，n）为端点的线段的中点，
∴＝0，即m+n＝0，
在y＝ax2+bx+c中，令y＝x可得：ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∴m，n是ax2+（b﹣1）x+c＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣，
∵b不一定等于1，
∴m+n的值不一定为0，故A不符合题意；
在y＝x2+2x﹣1.5中，令y＝x可得x2+x﹣1.5＝0，
∴m，n是x2+x﹣1.5＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1≠0，故B不符合题意；
在y＝﹣（x﹣1）2+8.5中，令y＝x可得x2﹣16＝0，
∴m，n是x2﹣16＝0的两个实数根，
∴m+n＝0，故C符合题意；
在y＝﹣（x﹣1）2+5中，令y＝x得x2﹣x﹣4＝0，
∴m，n是x2﹣x﹣4＝0的两个实数根，
∴m+n＝1≠0，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数，二次函数图象上点坐标的特征，涉及中心对称，解题的关键是掌握关于原点对称的点坐标的特征．
7．（2025 碑林区校级一模）已知点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于x轴对称，一个正比例函数的图象经过点A，则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C． D．
【考点】正比例函数的图象；正比例函数的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由点A，B关于x轴对称，可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出正比例函数的表达式．
【解答】解：∵点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于x轴对称，
∴m＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0），
∵点A（2，6）在正比例函数y＝kx的图象上，
∴6＝2k，
解得：k＝3，
∴正比例函数的表达式为y＝3x．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及关于原点对称的点的坐标，由点A，B关于原点对称，求出点A的坐标是解题的关键．
8．（2025 潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1．
在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
9．（2025 静安区一模）如果一次函数y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过C（1，﹣3），那么函数y＝y1 y2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出两个函数解析式，再代入y＝y1 y2求出此函数的解析式，根据解析式确定图象特征即可．
【解答】解：∵一次函数y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过C（1，﹣3），
∴m﹣6＝﹣3，n﹣2＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴y1＝3x﹣6，y2＝﹣x﹣2，
∴函数y＝y1 y2＝（3x﹣6）（﹣x﹣2）＝﹣3x2+12．该抛物线对称轴为y轴，顶点坐标（0，12），开口向下，只有选项B符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2025 奉贤区一模）已知函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】D
【分析】根据函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0判断出函数的图象所经过的象限即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b中k＞0、b＞0，
∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 济南模拟）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 　y＝﹣0.5x+0.5　．
【考点】一次函数的应用．
【专题】跨学科；待定系数法；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】y＝﹣0.5x+0.5．
【分析】可设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A、B的坐标代入可得k和b的值，即可求得直线AB的解析式，易得AB∥CD，则直线AB和CD一次项的系数相等，进而设出直线CD的解析式，把点C的坐标代入可得直线CD的函数表达式．
【解答】解：由题意得：∠ABE＝∠CBO，∠BCO＝∠DCF，∠BOC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣2∠CBO，∠DCB＝180°﹣2∠BCO，
∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠BCO＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）＝360°﹣2×90°＝180°，
∴AB∥CD，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣0.5x﹣0.5，
∴设直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+m，
∵BC交y轴于点C（0，），
∴m＝，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+0.5，
故答案为：y＝﹣0.5x+0.5．
【点评】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：镜面反射中入射光线与镜面所在的直线的夹角与反射光线与镜面所在的直线的夹角相等；两直线平行，一次项的系数相等．
12．（2025 山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ 　　．
【考点】两条直线相交或平行问题；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），利用点M与点N关于y轴对称，建立方程2m＝﹣m+4，求出m值，即可得到OB值．
【解答】解：设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），
∵点M与点N关于y轴对称，
∴2m＝﹣m+4，
解得：m＝，
∴B（0，）．
∴OB＝．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、关于xy轴对称点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2025 普陀区一模）如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是　k＜1　．
【考点】正比例函数的性质．
【专题】函数思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．
【解答】解：正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得，k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质．正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限；当k＞0时，该函数的图象经过第一、三象限．
14．（2025 泗洪县一模）设k为正整数，直线y＝kx+k﹣1和直线y＝（k+1）x+k与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+ +S2024的值等于 　　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积．
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两直线的交点及两直线与x轴的交点坐标，结合三角形的面积公式，可求出Sk＝（﹣），再将其代入S1+S2+S3+ +S2024中，即可求出结论．
【解答】解：联立两直线的解析式组成方程组，
解得：，
∴直线y＝kx+k﹣1与直线y＝（k+1）x+k交于点（﹣1，﹣1）．
当y＝0时，kx+k﹣1＝0，
解得：x＝﹣1+，
∴直线y＝kx+k﹣1与x轴交于点（﹣1+，0）；
当y＝0时，（k+1）x+k＝0，
解得：k＝﹣1+，
∴直线y＝（k+1）x+k与x轴交于点（﹣1+，0）．
∴Sk＝ [（﹣1+）﹣（﹣1+）] |﹣1|＝（﹣），
∴S1+S2+S3+ +S2024＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
＝×（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出Sk的值是解题的关键．
15．（2025 奉贤区一模）正比例函数y＝（a﹣3）x图象中，y的值随着x的值增大而增大，那么a的取值范围是 　a＞3　．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】a＞3．
【分析】根据正比例函数与系数的关系，列出关于a的不等式a﹣3＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣3）x图象中，y的值随着x的值增大而增大，
∴a﹣3＞0，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握正比例函数的增减性．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 雁塔区校级模拟）生物学家测得某种成熟的雄性鲸（如图1）的全长y（单位：m，且10≤y≤14）与吻尖到喷水孔的长度x（单位：m）之间满足一次函数关系，其函数图象如图2所示：
请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某条这种雄性鲸的全长为10.25m，那么它的吻尖到喷水孔的长度x为多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2.5x+5.5（1.8≤x≤3.4）；
（2）1.9m．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把y＝10.25代入（1）的结论解答即可；
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象经过A（1.8，10），B（3.4，14）两点，
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝2.5x+5.5（1.8≤x≤3.4）；
（2）当y＝10.25时，2.5x+5.5＝10.25，
解得x＝1.9，
∴它的吻尖到喷水孔的长度x为1.9m．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解题关键．
17．（2025 雁塔区校级一模）如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2.4x+3.6；
（2）10．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝1，y＝6和x＝2，y＝8.4分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴与x之间的函数表达式为y＝2.4x+3.6．
（2）根据题意，得2.4x+3.6≤28.8，
解得x≤10.5，
∵x为非负整数，
∴此时碗的数量最多为10个．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和一元一次不等式的解法是解题的关键．
18．（2025 雁塔区校级一模）某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示：
型号 甲 乙
每台进价/元 160 250
每台售价/元 200 300
设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元．
（1）求y与x的函数表达式：
（2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+1500；
（2）采购甲型台灯20台、乙型台灯10台，1300元．
【分析】（1）根据“获利＝甲型台灯的利润+乙型台灯的利润”计算即可；
（2）根据题意，列关于x的一元一次不等式并求解，由一次函数的增减性和x的取值范围，求出当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时30﹣x的值即可．
【解答】解：（1）y＝（200﹣160）x+（300﹣250）（30﹣x）＝﹣10x+1500，
∴y与x的函数表达式y＝﹣10x+1500．
（2）根据题意，得x≥2（30﹣x），
解得x≥20，
∵x≤30，
∴20≤x≤30，
∵﹣10＜0，
∴y随x的减小而增大，
∴当x＝20时，y值最大，y最大＝﹣10×20+1500＝1300，30﹣20＝10（台）．
答：采购甲型台灯20台、乙型台灯10台才能使得获利最大，最大利润为1300元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式的解法是解题的关键．
19．（2025 安阳模拟）如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．
（1）点M的坐标为　（﹣1，2）　；
（2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求△QMA周长的最小值及此时点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△QMA的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线l⊥x轴，交直线MQ于点G，交直线AB于点H，若GH的长为3，求点F的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（﹣1，2）；
（2）△QMA周长的最小值为；；
（3）或．
【分析】（1）令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣2，可得点A、B的坐标，再由中点坐标公式可得出点M的坐标；
（2）因为A和M坐标知道，所以AM长度为定值，要求△QMA周长的最小值，实则是求AQ+QM的最小值，即AM′的长；
（3）运用待定系数法求出直线MQ的解析式，设点F的坐标为（m，0），得出，H（m，2m+4），根据GH＝3列方程求出m的得解．
【解答】解：（1）已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，得y＝4；
令y＝0，得2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵点M为线段AB的中点，
∴，即M（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）作点M关于y轴的对称点M′，连接M′A交y轴于点Q，连接QM，如图，
则QM＝QM′，
∴QM+QA＝QA+QM′＝AM′，
∵M（﹣1，2），
∴M′（1，2），
∵点A、M是固定点，
∴，
∴△QMA周长的最小值为AM+AM′，
又A（﹣2，0），M′（1，2），
∴，
∴，
∴△QMA周长的最小值为；
设直线AM′的解析式为y＝kx+b，把点A，点M′的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AM′的解析式为，
当x＝0时，，
∴；
（3）设直线MQ的解析式为y＝mx+n，把点M，点Q的坐标代入得：
，
解得，，
∴直线MQ的解析式为，
设点F的坐标为（x，0）
又过点F的直线l与MQ交于点G，
∴，
又∵直线AB和解析式与直线l交于点H，
∴H（x，2x+4），
∵GH＝3，
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴点F的坐标为：或．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
20．（2025 秦都区校级一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（mg）与A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）yA＝2x+10（x≥0），yB＝﹣x+25（0≤x≤25）；
（2）5．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）令yA＝yB，得到关于x的一元一次方程并求解即可．
【解答】解：（1）设植物A生长高度yA与药物施用量x的函数关系式为yA＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（0，10）和（2，14）分别代入yA＝k1x+b1，
得，
解得，
∴yA＝2x+10（x≥0）．
设植物B生长高度yB与药物施用量x的函数关系式为yB＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0），
将坐标（0，25）和（25，0）分别代入yB＝k2x+b2，
得，
解得，
∴yB＝﹣x+25（0≤x≤25）．
（2）当yA＝yB时，得2x+10＝﹣x+25，
解得x＝5．
答：两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求一次函数的关系式及一元一次方程的解法是解题的关键．
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