【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：圆（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：圆
一．选择题（共10小题）
1．（2025 泗洪县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　）
A．76° B．52° C．50° D．38°
2．（2025 雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是的中点，∠A＝50°，则∠COD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．50° D．35°
3．（2025 雁塔区校级一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O．若∠B＝22°，则∠C的大小是（　　）
A．22° B．44° C．46° D．68°
4．（2025 旺苍县一模）如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．（2025 汕头校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．20﹣4π B． C．4π D．
6．（2025 旺苍县一模）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝16，OE＝6，则CE的长是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
7．（2025 江北区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC＝BE＝2，DE＝1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 晋安区校级模拟）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　）
A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm
9．（2025 晋安区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，点A在⊙O上．A，B关于DC对称，∠D＝15°，则∠AOC的度数为（　　）
A．15° B．18° C．30° D．45°
10．（2025 山东一模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB＝108°，OC的长度是10cm，OA的长度是30cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是（　　）
A．160πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．480πcm2
二．填空题（共5小题）
11．（2025 雁塔区校级一模）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　 　．
12．（2025 河北模拟）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，AB＝2，点M，N分别为△ACD，△AED的内心，则OM长为 　 　．
13．（2025 晋安区校级模拟）将一个底面半径为5cm的圆柱形玻璃水杯横放在桌面上，杯内水面宽度为8cm，则水面到桌面距离为　 　cm．
14．（2025 顺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线AB的两侧，∠AED＝40°，则∠BCD＝ 　 　．
15．（2025 信阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BF交CD于点G，切点为F，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD＝AC．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD＝DE＝6，求CE的长．
17．（2025 永寿县校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若，求⊙O的半径．
18．（2025 济南模拟）如图AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC与⊙O相交于点D，E为⊙O上的一点，分别连接BE、DE，∠BED＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CD＝2，求图中阴影部分的面积．
19．（2025 雁塔区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且，BE＝2，求FD的长．
20．（2025 汕头校级模拟）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
（1）求证：AE2＝AF AD；
（2）若，AB＝5，求S△BOG．
2025年中考数学二轮复习考前预测：圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 泗洪县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　）
A．76° B．52° C．50° D．38°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】B
【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB＝76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数．
解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论．
【解答】解法一：连接AD，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝38°，
∴∠ABD＝90°﹣38°＝52°．
解法二：连接OD，如图2，
根据圆周角定理，∠DOB＝2∠DCB＝76°，
∵OD和OB均为⊙O的半径，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴在△DOB中，∠ABD＝．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．（2025 雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是的中点，∠A＝50°，则∠COD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．50° D．35°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠BOD＝2∠A，∠A＝50°，
∴∠BOD＝100°，
∵点C是的中点，
∴∠COD＝∠BOD＝50°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
3．（2025 雁塔区校级一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O．若∠B＝22°，则∠C的大小是（　　）
A．22° B．44° C．46° D．68°
【考点】切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连OA，由切线的性质推出∠OAC＝90°，由等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠B＝22°，由收件信息的外角性质得到∠AOC＝44°，由直角三角形的性质求出∠C＝46°．
【解答】解：连OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴半径OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝22°，
∴∠AOC＝∠B+∠OAB＝44°，
∴∠C＝90°﹣44°＝46°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，关键是由切线的性质得到∠OAC＝90°．
4．（2025 旺苍县一模）如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴，
∴弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD＝（180°+60°）＝120°．
故选：C．
【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．
5．（2025 汕头校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．20﹣4π B． C．4π D．
【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据解直角三角形求得DF，从而求得EB，最后根据S阴影＝S ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC列式求解，即可解题．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
由条件可知，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影＝S ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC，
＝，
＝，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2025 旺苍县一模）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝16，OE＝6，则CE的长是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA，最后根据线段的和差求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
由条件可知，
∵AB＝16，
∴AE＝8，
∵OE＝6，
∴，
∴OC＝OA＝10，
∴CE＝OC+OE＝16，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出AE的长是解此题的关键．
7．（2025 江北区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC＝BE＝2，DE＝1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】先求出CD的长，再用矩形ABCD的面积减去两个扇形的面积即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°．
又∵DE＝1，BC＝BE＝2，
∴BD＝2+1＝3，
∴CD＝，
∴．
又∵小扇形的面积为：，大扇形的面积为：，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及矩形的性质，熟知扇形的面积公式及矩形的性质是解题的关键．
8．（2025 晋安区校级模拟）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　）
A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】D
【分析】根据切线长定理得到AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝4cm，结合三角形的周长公式可求得△PFG的周长．
【解答】解：PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，
由题意可得；AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝5（cm），
∴△PFG的周长＝PF+FG+GP
＝PF+FE+EG+GP
＝PF+FA+GB+GP
＝PA+PB
＝10（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的切线，则其切线长相等，正确进行计算是解题关键．
9．（2025 晋安区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，点A在⊙O上．A，B关于DC对称，∠D＝15°，则∠AOC的度数为（　　）
A．15° B．18° C．30° D．45°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】利用对称的性质求得，再由圆周角定理即可作答．
【解答】解：∵A，B关于DC对称，
∴，
∴∠AOC＝2∠D＝30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理．熟练掌握该知识点是关键．
10．（2025 山东一模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB＝108°，OC的长度是10cm，OA的长度是30cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是（　　）
A．160πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．480πcm2
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】根据扇形的面积公式，用大扇形面积减去小扇形面积即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，，
所以＝（cm2），
即该环形荷花装饰挂画的面积是240πcm2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 雁塔区校级一模）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　2﹣2　．
【考点】点与圆的位置关系；解直角三角形；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】2﹣2．
【分析】点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，求出BE＝2，AE＝，由等腰三角形的性质推出∠EOH＝∠BOE，EH＝BE＝，由圆周角定理得到∠BOE＝2∠BPE＝120°，由tan∠EOH＝＝，求出OH＝1，由含30度角的直角三角形的性质得到PO＝OE＝2OH＝2，判定四边形AHOM是矩形，得到AM＝OH＝1，OM＝AH，由勾股定理求出OD的长，即可得到答案．
【解答】解：点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，
当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，
∵AE：EB＝1：2，AB＝3，
∴BE＝2，AE＝，
∵OE＝OB，OH⊥BE，
∴∠EOH＝∠BOE，EH＝BE＝，
∵∠BOE＝2∠BPE＝120°，
∴∠EOH＝60°，
∵tan∠EOH＝tan60°＝＝，
∴OH＝1，
∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°，
∴PO＝OE＝2OH＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AMO＝∠AHO＝90°，
∴四边形AHOM是矩形，
∴AM＝OH＝1，OM＝AH，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣1＝4，
∵AH＝AE+EH＝2，
∴OM＝2，
∴OD＝＝2，
∴PD＝PO﹣OP＝2﹣2．
∴PD的最小值是2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动．
12．（2025 河北模拟）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，AB＝2，点M，N分别为△ACD，△AED的内心，则OM长为 　　．
【考点】正多边形和圆；勾股定理；三角形的内切圆与内心．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】．
【分析】连接OC，CM，DM，过M作MG⊥CD于G，由正六边形ABCDEF得到AB＝CD＝BC＝2，OC＝OD，∠COD＝60°，∠B＝∠BCD＝120°，即可得到△COD是等边三角形，∠ACD＝90°，再由点M为△ACD的内心，得到∠MCG＝45°，∠CDM＝30°，根据勾股定理和直角三角形的性质得到DM＝2GM，GM＝CG，，，由CD＝CG+DG，求得，最后证明△CDM≌△ODM（SAS），根据求解即可．
【解答】解：连接OC，CM，DM，过M作MG⊥CD于G，
由题意可得：AB＝CD＝BC＝2，OC＝OD，∠COD＝60°，∠B＝∠BCD＝120°，
∴△COD是等边三角形，
∴OD＝CD＝2，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵AB＝BC，∠B＝120°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°，
∵点M为△ACD的内心，
∴CM平分∠ACD，DM平分∠CDO，
∴，，
∴DM＝2GM，GM＝CG，
∴，，
∵CD＝CG+DG，
∴，
解得，
∴，
∵OD＝CD＝2，，OM＝OM，
∴△CDM≌△ODM（SAS），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形的有关计算，勾股定理，三角形的内心，正确进行计算是解题关键．
13．（2025 晋安区校级模拟）将一个底面半径为5cm的圆柱形玻璃水杯横放在桌面上，杯内水面宽度为8cm，则水面到桌面距离为　2或8　cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2或8．
【分析】分两种情况：（1）杯内水的高度在球形容器的球心下面；（2）杯内水的高度在球形容器的球心上面；根据垂径定理和勾股定理计算即可求解．
【解答】解：如图为圆柱形玻璃水杯横截面，点O为横截面圆心，过O作OC⊥AB于C，
∴．
在Rt△OCA中，
．
分两种情况讨论：
（1）容器内水的高度在球形容器的球心下面时，如图①，延长OC交⊙O于D，
杯内水面到桌面距离为CD＝5﹣3＝2cm；
（2）容器内水的高度在球形容器的球心是上面时，如图②，延长CO交⊙O于D，
杯内水面到桌面距离为CD＝5+3＝8cm；
综上，杯内水面到桌面距离为2cm或8cm．
故答案为：2或8．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．注意分类思想的应用．
14．（2025 顺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线AB的两侧，∠AED＝40°，则∠BCD＝ 　50°　．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】50°．
【分析】根据圆周角定理可求∠ACD的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°求解即可．
【解答】解：连接AC，
由条件可知∠ACD＝40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆周角定理．熟练掌握该知识点是关键．
15．（2025 信阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BF交CD于点G，切点为F，则图中阴影部分的面积为 　8﹣2﹣π　．
【考点】切线的判定与性质；圆的面积；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】8﹣2﹣π．
【分析】连接AF，由切线的性质推出AF⊥BG．由sin∠ABF＝，求出∠ABF＝30°，由平行线的性质推出∠BGC＝∠ABF＝30°，求出CG＝BC＝2，于是S阴影＝矩形的面积﹣△BCG的面积﹣扇形ADE的面积＝8﹣2﹣π．
【解答】解：连接AF，
∵BF切圆A于F，
∴AF⊥BG．
∵AF＝AD＝2，AB＝4，
∴sin∠ABF＝，
∴∠ABF＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BGC＝∠ABF＝30°，
∴CG＝BC＝2，
∴S阴影＝矩形的面积﹣△BCG的面积﹣扇形ADE的面积＝2×4﹣×2×2﹣π×22＝8﹣2﹣π．
故答案为：8﹣2﹣π．
【点评】本题考查切线的性质，正方形的性质，扇形的面积，关键是由切线的性质推出AF⊥BG，由正弦的定义求出∠ABF＝30°．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD＝AC．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD＝DE＝6，求CE的长．
【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可；
（2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到，设CE＝x，则CD＝2x，再利用勾股定理列出方程解答即可．
【解答】（1）证明：∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADC+∠ODC＝90°．
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ACD+∠OCD＝90°．
即∠ACO＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：∵AD＝DE＝6，OE＝DE，
∴OE＝AD＝3．
由（1）知：∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴∠DOC+∠A＝180°．
∵∠DOC+∠EOC＝180°，
∴∠A＝∠EOC．
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠OCE＝∠ACD．
∴△OCE∽△ACD，
∴，
设CE＝x，则CD＝2x，
∵CE2+CD2＝DE2，
∴x2+（2x）2＝62，
∵x＞0，
∴x＝．
∴CE＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
17．（2025 永寿县校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【分析】（1）连接OB，则∠A＝∠ABO，由BD与⊙O相切得∠ABD＝∠ABO+90°，由AC是⊙O的直径得∠BCD＝∠A+90°，从而可得；
（2）证明△ABD∽△BCD得，代入数据求出AD＝9，进而可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO．
由题意可得：∠OBD＝90°，则∠ABD＝∠ABO+90°．
由题意可得：∠ABC＝90°，则∠BCD＝∠A+90°，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）∵∠ABD＝∠BCD，∠D＝∠D，
∴△ABD∽△BCD，
∴，即，
∴AD＝9，
∴AC＝AD﹣CD＝9﹣5＝4，
∴⊙O的半径是2．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．
18．（2025 济南模拟）如图AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC与⊙O相交于点D，E为⊙O上的一点，分别连接BE、DE，∠BED＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CD＝2，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；直角三角形的性质；勾股定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】（1）30°；
（2）．
【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理得到∠BAD＝60°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，最后根据直角三角形性质求解，即可解题．
（2）利用圆周角定理，切线的性质，勾股定理和直角三角形性质分别求出AC，AD，AB，BD，连接OD，再根据圆周角定理得到∠AOD，最后利用三角形中线的性质和阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形AOD求解，即可解题．
【解答】解：（1）连接AD，
由题意可得：
∴∠BAD＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°；
（2）由题意可得：∠BAC＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∵CD＝2，
∴AC＝4，
∴，
∴，，
∴，
连接OD，
∵，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∵OB＝OA，
∴OD为△ADB的中线，
∴，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形AOD
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形性质，切线的性质，勾股定理，三角形中线性质，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
19．（2025 雁塔区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且，BE＝2，求FD的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）连接OC，AC，由圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA，证出OC∥AF，则OC⊥EF，可得出结论；
（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到＝，解得r＝8，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后根据余弦的定义可计算出AD、AF的长，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC，AC，如图，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵AF⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，OC，
∵OC∥AF，
∴∠COE＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠BGD，
在Rt△OCE中，设OC＝r，
∵cos∠COE＝cos∠DAB＝＝＝，
∴＝＝，
解得r＝8，
∴AF＝，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，AB＝2r＝16，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，
∴AD＝×16＝，
∴DF＝AF﹣AD＝﹣＝．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理和解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2025 汕头校级模拟）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
（1）求证：AE2＝AF AD；
（2）若，AB＝5，求S△BOG．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接ED，根据直角三角形中两锐角互余得出∠EAH+∠AEH＝90°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC＝90°，根据直角三角形中两锐角互余得出∠EAH+∠ACE＝90°，根据等角的余角相等得出∠ACE＝∠AEH，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADE＝∠AEH，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出△EAF∽△DAE，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明AE2＝AF AD；
（2）连接OB，过点G作GK⊥AD，垂足为K，过点G作GM⊥CD，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADC＝90°，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOB＝2∠ADB＝90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出GK＝GM，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出S△BOG．
【解答】（1）证明：点D，E在以AC为直径的⊙O上，EH⊥AC，垂足为H，如图1，连接ED，
∴∠EAH+∠AEH＝90°，∠AEC＝90°，
∴∠EAH+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEH，
∴∠ADE＝∠AEH，
又∵∠EAF＝∠DAE，
∴△EAF∽△DAE，
∴，
∴AE2＝AF AD；
（2）解：点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，如图2，连接OB，过点G作GK⊥AD，垂足为K，过点G作GM⊥CD，垂足为M，
∴∠ADC＝90°，∠AOB＝2∠ADB＝90°，GK＝GM，
在等腰直角△AOB中，AB＝5，
∴，
∴，
∵，∠ABD＝∠ACD，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确作出辅助线，通过三角形的面积求出CG是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)