第四章因式分解单元测试（含答案）

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第四章因式分解单元测试北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．把多项式2（a﹣2）+6x（2﹣a）分解因式，结果是（　　）
A．（a﹣2）（2+6x） B．（a﹣2）（2﹣6x）
C．2（a﹣2）（1+3x） D．2（a﹣2）（1﹣3x）
2．（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（　　）
A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1
3．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）
A．24 B．70 C．40 D．140
4．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+2xy﹣y2 B．x2﹣xy+4y2
C．x2﹣xy D．x2﹣5xy+10y2
5．对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（　　）
A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除
6．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，则（m+2n）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．已知a＝2024x+2021，b＝2024x+2022，c＝2024x+2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．分解因式：3ay2﹣3ax2＝　 　 ．
10．若分解因式：x2+3x＝x（x+k），则k的值为　 　 ．
11．若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　 　 ．
12．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2025＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2；
（2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．
14．已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
15．已知a+b＝5，ab＝3，
（1）求a2b+ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求（a2﹣b2）2的值．
16．阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝　 　，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+b）的长方形，则需要A号卡片 　 　张，B号卡片 　 　张，C号卡片 　 　张．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 　 　．
（3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知（2024﹣x）2+（x﹣2023）2＝3．求（2024﹣x）（x﹣2023）的值．
18．在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式x2﹣y2+5x+3y+4．
解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），不妨设x2﹣y2+5x+3y+4＝（x+y+a）（x﹣y+b），
则x2﹣y2+5x+3y+4＝x2﹣y2+（b+a）x+（b﹣a）y+ab，
∴，
∴．
（1）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab的值是 　 　；
（2）分解因式：
①4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3；
②x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2；
（3）若多项式x2﹣（3+a）x+4a﹣2能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
参考答案
一、选择题
1—8：DCBCCCDC
二、填空题
9．【解答】解：3ay2﹣3ax2
＝3a（y2﹣x2）
＝3a（y﹣x）（y+x），
故答案为：3a（y﹣x）（y+x）．
10．【解答】解：由题意得，x（x+3）＝x（x+k）
∴k＝3，
故答案为：3．
11．【解答】解：∵2a﹣b＝﹣3，ab＝2，
∴2a2b﹣ab2的
＝ab（2a﹣b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2025
＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2025
＝2x×1﹣3x2+4x﹣2025
＝﹣3x2+6x﹣2025
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2025
＝﹣3﹣2025
＝﹣2028，
故答案为：﹣2028．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2
＝（6x﹣4）2
＝4（3x﹣2）2．
14．【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28，
xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28，
（x﹣y）（xy﹣1）＝28，
∵xy＝15，
∴14（x﹣y）＝28，
∴x﹣y＝2；
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34；
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64，
∴x+y＝±8．
15.【解答】解：（1）原式＝ab（a+b）＝3×5＝15；
（2）原式＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝25﹣6＝19；
（3）原式＝（a2﹣b2）2
＝（a﹣b）2（a+b）2
＝25（a﹣b）2
＝25（a﹣b）2
＝25[（a+b）2﹣4ab]
＝25×（25﹣4×3）
＝25×13
＝325．
16．【解答】解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0，
∴x＝﹣m时，a＝0，
故答案为：﹣m；
（2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，
∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5；
（3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，
∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，
∴x+2＝0，x﹣1＝0，
当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴4a+b＝18①，
当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴a+b＝3②，
①﹣②得3a＝15，
解得：a＝5，
∴b＝﹣2．
17．【解答】解：（1）∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+ab+6ab+2b2＝3a2+7ab+2b2，
∴要拼出一个面积为（a+2b）（3a+b）的长方形，则需要A号卡片3张，B号卡片2张，C号卡片7张；
故答案为：3，2，7；
（2）由图可知：大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）∵（2024﹣x）2+（x﹣2023）2＝3，2024﹣x+x﹣2023＝1，
∴[（2024﹣x）+（x﹣2023）]2＝1，
∵[（2024﹣x）+（x﹣2023）]2
＝（2024﹣x）2+（x﹣2023）2+2（2024﹣x）（x﹣2023）
＝3+2（2024﹣x）（x﹣2023）；
∴（2024﹣x）（x﹣2023）1．
18．【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10，
∴，解得：，
∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
（2）①∵4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），
不妨假设4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y+a）（2x﹣y+b），
则4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2+2（a+b）x﹣y2+（b﹣a）y+ab，
∴，解得：，
∴4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）；
（2）∵x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），
不妨假设x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+a）（x+y+b），
则x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝x2﹣3xy﹣4y2+（a+b）x+（a﹣4b）y+ab，
∴，解得：，
∴x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+1）（x+y﹣2）；
（3）不妨假设x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝（x﹣m）（x﹣n），
则x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝x2﹣（m+n）x+mn，
∴，
①×4﹣②，得：4m+4n﹣mn＝14，
∴（m﹣4）（﹣n+4）＝﹣2，
∵m，n都是整数，
∴m﹣4，﹣n+4也都是整数，
又∵﹣2＝﹣1×2＝﹣2×1，
∴或或或，
∴或或或，
∴m+n＝5或m+n＝11，
∴3+a＝5或3+a＝11，
解得：a＝2或8．
故答案为：2或8．
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