第四章一次函数单元测试（含答案）

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第四章一次函数单元测试湘教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞0且x≠2 D．x≥0且x≠2
2．一个正比例函数的图象经过点（﹣2，4），它的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝﹣x D．y＝x
3．若点P在一次函数y＝kx+4（k＞0）的图象上，则点P一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝2x﹣4上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　）
A．若x1x3＞0，则y1y2＞0 B．若x1x2＞0，则y1y3＞0
C．若x2x3＜0，则y2y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
5．若直线y＝kx﹣b经过点（﹣2，0），则关于x的方程kx﹣b＝0的解是（　　）
A．2 B．﹣b C．﹣2 D．k
6．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A．B． C．D．
7．一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，则a的取值是（　　）
A． B．
C． D．
8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距300km；②乙车比甲车晚出发1h，却早到1h；③乙车出发后2.5h追上甲车；④当甲、乙两车相距50km时，或或．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 　 　．
10．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　 　．
11．直线y＝kx+b经过（1，﹣1）、（﹣1，3）、（﹣3，m）三点，则m＝ 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段AB上，满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，已知一次函数的图象过点A（﹣2，0），B（0，1），与正比例函数y＝﹣x的图象交于点C．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△BOC的面积．
14．已知y﹣3与x+5成正比，且x＝2时，y＝1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝4时，求x的值．
15．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
16．已知一次函数y1＝kx+b，y2＝bx﹣2k+3（其中k、b为常数且k≠0，b≠0）
（1）若y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数y1有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
（3）若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点B，直线l1与过点A（﹣4，0）的直线l2交于点P（﹣1，m）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点M在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝10，求点M的坐标；
（3）若点Q在直线l1上且△APQ的面积是9，则点Q坐标为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
（3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题
1—8：DADDCCCC
二、填空题
9．答案为：x＜2．
10．答案为：1或3．
11．答案为：7．
12．答案为：（4，0）或（1，0）或．
三、解答题
13.【解答】解：（1）设一次函数为y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（﹣2，0），B（0，1），
∴，
解得，
所以一次函数的解析式为：；
（2）由题意得，
解得，
∴点点C的坐标为，
∴S△BOC＝．
14．【解答】解：（1）∵y﹣3与x+5成正比，
∴设y﹣3＝k（x+5），
∵x＝2时，y＝1，
∴1﹣3＝（2+5）k，
∴，
∴，
∴；
（2）当y＝4时，
∴
即，
∴．
15.【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
即y＝﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
16．【解答】解：（1）把（2，3）代入y1，y2，得：
，解得：；
（2）若b＝k﹣1，则：y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最大值为2k+k﹣1＝3，解得：；
∴；
①当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝﹣2时，y有最大值为﹣2k+k﹣1＝3，解得：k＝﹣4；
∴y1＝﹣4x﹣5
综上：或y1＝﹣4x﹣5．
（3）由题意：两条直线平行且直线y1在直线y2的上方，
∴k＝b，b＞﹣2k+3，
∴k＞﹣2k+3，
∴k＞1．
17．【解答】解：（1）将点P（﹣1，m）代入y＝﹣x+5得：m＝﹣（﹣1）+5＝6，
∴点P（﹣1，6），
设直线l2的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
将P（﹣1，6）和A（﹣4，0）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为：y＝2x+8；
（2）设点M的横坐标为n，
∴点M的坐标为（n，2n+8），
∵MN∥y轴，∴N（n，﹣n+5），
由题意得MN＝|2n+8﹣（﹣n+5）|＝10，
整理得，3n+3＝±10，
解得：或，
故点M的坐标为或；
（3）在直线l1中，当y＝0时，则﹣x+5＝0，
解得：x＝5，
∴点B（5，0），
∴AB＝5+4＝9，
设点Q的坐标为（a，﹣a+5），
根据题意得S9，
即|1+a|＝2，
解得a＝﹣3或a＝1，
∴点Q的坐标为（﹣3，8）或（1，4），
故答案为：（﹣3，8）或（1，4）．
18.【解答】解：（1）∵直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴0＝3k+1，
∴k＝﹣，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+1．
当x＝0时，y＝1，
∴点A（0，1）；
（2）如图1，过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝2，
设P（2，n），
∵x＝2时，y＝﹣x+1＝，
∴D（2，），
∵P在点D的上方，
∴PD＝n﹣，
∴S△APD＝AM PD＝×2×（n﹣）＝n﹣，
由点B（3，0），可知点B到直线x＝2的距离为1，即△BDP的边PD上的高长为1，
∴S△BPD＝×1×（n﹣）＝（n﹣），
∴S△PAB＝S△APD+S△BPD＝n﹣；
∵△ABP的面积与△ABO的面积相等，
∴n﹣＝×1×3，
解得n＝，
∴P（2，）；
（3）当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，如图2：
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠NPA＝90°﹣∠BPM＝∠PBM，
∵∠ANP＝∠BMP＝90°，
∴△APN≌△PBM（AAS），
∴BM＝PN，PM＝AN，
∵∠NOB＝∠ONM＝∠OBM＝90°，
∴四边形OBMN是矩形，
∴MN＝OB＝3，BM＝ON＝AN+1＝PN①，
∴PN+PM＝PN+AN＝3②，
由①②解得PN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA+AN＝2，
∴P（2，2）；
当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，如图3：
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝AB，∠KAP＝90°﹣∠OAB＝∠ABO，
而∠PKA＝∠AOB＝90°，
∴△APK≌△BAO（AAS），
∴AK＝OB＝3，PK＝OA＝1，
∴OK＝OA+AK＝4，
∴P（1，4），
当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，如图4：
同理可证△AOB≌△BRP（AAS），
∴BR＝OA＝1，PR＝OB＝3，
∴P（4，3），
综上所述，P坐标为：（2，2）或（1，4）或（4，3）．
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