2025年九年级中考数学三轮冲刺练习反比例函数综合训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年九年级中考数学三轮冲刺练习反比例函数综合训练
1．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P为x轴上的一动点，当△APC的面积为9时，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标．
2．已知：一次函数yx+m与反比例函数y的图象在第一象限的交点为A（1，n）．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，C为x轴上一点，连接AC，若△ABC为等腰三角形，求C的坐标．
3．如图，矩形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象经过AB的中点D，与BC交于点E，连接OD，OE，DE．
（1）直接写出结果：k＝ 　 　，点E的坐标为 　 　；
（2）点M是y轴正半轴上一点，若S△MBO＝S△ODE，求点M的坐标；
（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（﹣1，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
5．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．
（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
6．已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数y＝kx+b的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，的解集．
（3）若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标．
8．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）观察图象直接写出ax+b时x的取值范围是　 　 ；
（4）直接写出：P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时点P的坐标　 ．
9．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（3，n）和点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．
10．如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ；
（3）若P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
11．如图（1），菱形ABCD顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数上，边BC交y轴于点E，AD∥x轴，AE＝2EC，AD＝5．
（1）求k．
（2）如图（2），延长BA交x轴于点F，问是否在该反比例函数上存在点P，坐标轴上的点Q，使得以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y（k为常数，k≠0）经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；
（3）点P在双曲线y上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
13．如图1，正方形ABCD中，C（﹣2，0），D（0，3）．过A点作AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF；
（2）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．
（1）求反比例和一次函数解析式；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；
（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
15．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，3），反比例函数的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△BDE的面积；
（3）若点F是y轴上一点，且△FBC与△DEB相似，求点F的坐标．
16．如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2（x＞0）的图象分别交于点A（a，4）和点B（8，1），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）直接写出不等式mx+n（x＞0）的解集．
（3）在x轴上是否存在点P，使△COD与△ADP相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，
解得：k．把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入得：m＝2×3＝6．
∴k的值为，m的值为6；
（2）设点P（x，0），
则△APC的面积CP×yA|x+4|×3＝9，
解得：x＝2或﹣10，
即点P（2，0）或（﹣10，0）；
（3）存在，理由：
设点Q（0，y），
由点A、C、Q的坐标得，AC2＝45，CQ2＝16+y2，AQ2＝4+（y﹣3）2，
当CA＝CQ时，
则45＝16+y2，则y＝±，
则点P（0，）或（0，）；
当AC＝AQ或CQ＝AQ时，
同理可得：16+y2＝4+（y﹣3）2或45＝4+（y﹣3）2，
解得：y或3±，
则点P（0，）或（0，3）或（0，3）．
综上，P（0，）或（0，）或（0，）或（0，3）或（0，3）．
2．【解答】解：（1）∵A（1，n）在反比例数的图象上，
∴，
∴n＝2，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入得：
，
解得：；
（2）由（1）得，
当y＝0时，x＝﹣5，
∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴B（﹣5，0），
∴，
如图所示，设C（x，0），
当BC＝BA时，点C的坐标为或；
当CB＝CA时，得：CB2＝CA2，
∴（x+5）2＝（1﹣x）2+22，
解得：；
当AB＝AC时，
∵A（1，2），xA﹣xB＝6，
∴C（7，0），
综上所述满足条件的点C坐标为或或或C（7，0）．
3．【解答】解：（1）∵矩形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），
∴BA⊥y轴，BC⊥x轴，A（0，2），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
∵，反比例函数的图象经过AB的中点D，与BC交于点E，将点D的坐标代入得：
，
解得：k＝4，
∴反比例函数解析式为，
在中，当x＝4时，，
∴E（4，1），
故答案为：4；（4，1）；
（2）设点M（0，m），
∵B（4，2），D（2，2），E（4，1），
∴，，
当△MBO的面积等于△ODE的面积时，3＝2m，
解得：，
∴；
（3）存在点P，Q，使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
设点P（p，0），
∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
∴当以DE为对角线时，
，
∴Q（6﹣p，3），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：，
∴；
当以PE为对角线时，
，
∴Q（2+p，﹣1），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：p＝﹣6，
∴Q2（﹣4，﹣1）；
当以PD为对角线时，
，
即Q（p﹣2，1），
∵点Q在反比例的图象上，
∴，
解得：p＝6，
∴Q3（4，1），与点E重合，不符合题意舍去；
综上所述：存在Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形；点Q的坐标为或（﹣4，﹣1）．
4．【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（﹣1，4），B（n，﹣1），把点A，点B的坐标代入得：
，
解得：k＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为；
将点B（n，﹣1）代入得：
∴，
解得：n＝4，
∴点B（4，﹣1），
把点A，点B的坐标代入一次函数y＝ax+b（a≠0）得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+3，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），
当一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数的图象上时，，
∴当x＜﹣1或0＜x＜4时，．
（3）∵点D在x轴上，点C在反比例函数图象，
∴设点D（a，0），，
∵四边形ABCD是平行四边形，分三种情况讨论：
∴①当AC，BD是对角线，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
②当BC，AD是对角线时，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
③当AB，CD是对角线时，
依题意得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
5．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1（x＞0）的图象上
∴k＝8
∴y1
∵a＝2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n
解得
∴y2＝x﹣2
②当y1＞y2＞0时，y1图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方
∴由图象得：2＜x＜4
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO
∵O为AA′中点
S△AOBS△ABA′＝8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC＝S△BOD
∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴
解得k＝6
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，）
把A′代入到y
∴n
∴A′D解析式为y
当x＝a时，点D纵坐标为
∴AD
∵AD＝AF，
∴点F和点P横坐标为
∴点P纵坐标为
∴点P在y1（x＞0）的图象上
6．【解答】解：（1）把A（4，2）代入y，得k＝4×2＝8．
∴反比例函数的解析式为y．
解方程组，得
或，
∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP＝90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y＝﹣2x+10，
当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴点E（5，0），OE＝5．
∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，
∴HE＝5﹣4＝1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴，
∴，
∴MH＝4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y＝mx
则有4m＝2，解得m，
∴直线AP的解析式为yx，
解方程组，得
或，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP＝90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴．
∵，
∴．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），
∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，
∴，即ba．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y的图象上，
∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），
∴a（﹣2a+10）a（﹣2a+10）．
∵a≠0，
∴﹣2a+10（﹣2a+10），
解得：a＝3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为y＝px+q，
则有，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2．
当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，
∴S△COB＝S△ODC+S△ODB
OD CTOD BS
2×32×2＝5．
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S△ABC＝2S△COB＝10．
7．【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°．
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
∵∠BFC＝∠COA＝90°，BC＝AC．
∴△BFC≌△COA（AAS），
∴CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：，解得：k＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为；
（2）结合点B的坐标及图象，可得：
当x＜0时，的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）分三种情况求解：如图，
①当AP＝AC时，
∵点P在y轴正半轴，
∴P1符合要求，P2不符合要求，
∵A（0，2），C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴，
∴；
②当AC＝CP时，P3在y轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点P与点A重合，不符合题意，故AC＝CP时，不存在；
③当AP＝CP时，设P4（0，m），
∴P4C＝P4A＝2﹣m，
在Rt△OCP4中，由勾股定理，得
12+m2＝（2﹣m）2，
解得，，
∴，
综上所述，点P坐标为或．
8．【解答】解：（1）∵点A坐标为（3，1）
把点A的坐标代入y中得：k＝3
∴反比例函数的解析式是：y
把点B的坐标为（﹣2，m）代入y中，得：﹣2m＝3，m
∴B（﹣2，）
把A、B两点的坐标代入y＝ax+b中得：，解得：
∴一次函数的解析式为：yx；
（2）如图1，当y＝0时，x0，x＝1，
∴C（1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC；
（3）由图象得：ax+b时x的取值范围是：x＞3或﹣2＜x＜0；
故答案为：x＞3或﹣2＜x＜0；
（4）当△AOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当OA＝OP时，如图2，
∵A（3，1），
∴OA，
∴P1（，0）或P2（，0）；
②当OA＝AP时，如图3，
∴P（6，0）；
③当OP＝AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，
设OP＝x，则AP＝x，PE＝3﹣x，
∴AP2＝AE2+PE2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
x，
∴P（，0）；
综上，P的坐标为（，0）或（，0）或（6，0）或（，0）．
故答案为：（，0）或（，0）或（6，0）或（，0）．
9．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，
∴点A（3，4），
把点A（3，4）代入反比例函数，
可得：k＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点A与点B是关于原点对称的，
∴点B（﹣3，﹣4），
∴根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；
（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∵A（3，4），
∴OG＝3，AG＝4，
在Rt△AOG中，，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OC＝OA＝5，，
∴．
10．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，
解得：k，
把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入y＝得：m＝6．
∴k的值为，m的值为6．
（2）由图象可知：当 x＞2时，yx+2的图象在y的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是：x＞2．
故答案为：x＞2．
（3）当x＝0时，yx+2＝2．
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的一动点，
∴PC＝|a+4|．
∴S△CBPPC OB|a+4|×2＝|a+4|，
S△CAPPC yA|a+4|×3|a+4|，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4||a+4|，
∴a＝3或a＝﹣11．
11．【解答】解：（1）设EC＝x，则AE＝2EC＝2x，
在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝5，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
则BE＝5﹣x，
在△ABE中，根据勾股定理，
得（5﹣x）2+4x2＝25，
解得x＝2，
∴EC＝2，AE＝4，
∴C（2，），
D（5，），
∴4，
解得k．
（2）∵D（5，），C（2，），
∴A（0，），B（﹣3，），
设AB的解析式：y＝kx+b，
代入A，B点坐标，得，
解得，
∴AB的解析式：．
当0时，x＝2，
∴F（2，0），
设P（m，），存在以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵Q在坐标轴上，
①Q在x轴上，设Q（n，0），
当AF，PQ为对角线时，，
解得，
∴Q（﹣3，0），
当AP，FQ为对角线时，得，
解得（舍），
当AQ，FP为对角线，得，
解得，
∴Q（7，0）．
②当Q在y轴上，设Q（0，n），
当AF，PQ为对角线时，，
解得，
∴Q（0，4），
当AP，FQ为对角线时，得，
解得，
∴Q（0，），
当AQ，FP为对角线，得，
解得（舍），
综上，Q点坐标（﹣3，0），（7，0），（0，4）或（0，）．
12．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴k＝4；
（2）由（1）得C（2，2），
∵B（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，
当y＝0时，x＝1，
∴F（1，0），
∴OF＝1，
设点G的坐标为（0，m），
∵MN∥x轴，
∴M（，m），N（，m），
∵FM＝FN，
∴1﹣（）1，
解得：m或m＝0（不合题意舍去），
∴点G的坐标为（0，）；
（3）∵由（1）知k＝4，
∴反比例函数的解析式为y，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：
如图1，若ABPQ为平行四边形，
则0，
解得x＝1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2，若ABQP为平行四边形，
则，
解得x＝﹣1，
此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3，当AB为对角线时，
AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴，
解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．
13．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDO＝90°，
∵AF⊥y轴，
∴∠AFD＝∠DOC＝90°，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠ADF＝∠DCO，
在△CDO和△DAF中，
，
∴△CDO≌△DAF（AAS）；
（2）解：∵C（﹣2，0），D（0，3），
∴OC＝2，OD＝3，
∵△CDO≌△DAF，
∴DF＝OC，AF＝OD，
∴OG＝OF＝OD+DF＝3+2＝5，
∴A（﹣3，5），
设反比例函数的表达式为y（k≠0），把A（﹣3，5）代入，得k＝﹣15，
∴y，
当x＝﹣5时，y3，
∴点E的坐标为（﹣5，3）；
（3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下：
设直线AE的解析式为y＝k′x+b，把A（﹣3，5），E（﹣5，3）代入，
得，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
∵直线l∥AE，
∴设直线l的解析式为y＝x+b′，把C（﹣2，0）代入得﹣2+b′＝0，
解得：b′＝2，
∴直线l的解析式为y＝x+2，
∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点，
∴设P（m，m+2），Q（t，s），
又A（﹣3，5），C（﹣2，0），
当AC、PQ为对角线时，
，
解得：，
∴Q（，）；
当CP、AQ为对角线时，
，
解得：或（舍去），
∴Q（3，﹣1）；
当AP、CQ为对角线时，
，
解得：或，
∴Q（﹣3，5）或（﹣3，5）；
综上所述，在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或﹣3或﹣3．
14．【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，
∴AD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
由菱形的性质得到B（0，5），
设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则
，
解得，
故反比例解析式为y；直线AB的方程为：yx+5；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数y（x＞0）的图象D'点处，
∴点D'的坐标为（4+m，3），
∵点D'在y的图象上，
∴3，
解得m，
∴0≤m；
（3）如图，存在，
理由：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝5，
过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，
∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，
∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，
∴△BON≌△DOE（AAS），
∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，
∴S△OBNOB NFBN ON，
∴NF，
∵点N在直线AB上，
∴N（，），
设M（n，n+5），
∴MH＝n，OHn+5，
∵BM2＝BH2+MH2，
∴22＝（n+5﹣5）2+n2，
∴n＝±，
∵n＞0，
∴M（，）．
15．【解答】解：（1）矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，3），反比例函数的图象经过BC的中点D，
∴D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数得：
，
解得：k＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）反比例函数的图象与AB交于点E，
又∵点B与点E的横坐标相等，
∴把x＝2代入得：
，
∴，
∴，
∵，
∴△BDE的面积；
（3）设点F的坐标为（0，m），则CF＝|m﹣3|，
∵∠BCF＝∠B＝90°，
∴△FBC与△DEB相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得m＝0或m＝6；
综上，点F的坐标为或或（0，0）或（0，6）．
16．【解答】解：（1）把B（8，1）代入反比例函数 ，得k＝8，
∴反比例函数的表达式为，
∵点A（a，4）在 图象上，
∴a＝2，即A（2，4），
把A（2，4），B（8，1）两点代入y1＝mx+n，
解得 ，n＝5，
所以一次函数的表达式为；
（2）由图象可得，当x＞0时，不等式mx+n（x＞0）的解集2＜x＜8；
（3）由（1）得一次函数的表达式为 ，
当x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
即OC＝5，
当y＝0时，x＝10，
∴D点坐标为（10，0），
即OD＝10，
∴，
∵A（2，4），
∴，
设P点坐标为（b，0），当点P在点D左侧，则PD＝10﹣b，
由∠CDO＝∠ADP 可得：
①当△COD∽△APD时，，
∴，
解得b＝2，故点P坐标为（2，0）；
②当△COD∽△PAD时，，
∴，
解得b＝0，
即点P的坐标为（0，0），
因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)