机密★启用前
2025届高三5月适应性考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A={x1x一1<3}，则A∩Z=
A.⑦
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3》
D.{-1,0,1,2,3》
2.某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分
在前15名的同学才能进入决赛.若某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只
需要知道这29位同学的预赛积分的
A.中位数
B.众数
C.平均数
D极差
知椭圆C,十y=1(m>0)的离心率为3m,则C的短轴长为
.2
B.1
C.2
D.3
展开式中x2项的系数为
A.10
B.-10
C.-5
D.5
5.记x,y为实数，设甲：y>x>0,乙：x一cosyA.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【高三数学试题第1页（共4页）】
6.已知函数f(x)=sin(2x十)(lg<)在区间（0，)上单调，则g的取值范围为
B(-]
c-
[-6]
7.现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这
两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为
A号
6
c唱
2√3
D.3
8设函数x)）3的两个极值点分别为xx则过，广x》,x(x》两点的直线斜
率为
B.3
c
A.3
D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9.已知双线C号号=1，则
A.C的实轴长为6
B.C的渐近线方程为y=
4
C.C的焦点坐标为（士4,0）
D.C的焦点到其渐近线的距离为√7
10.定义域为R的函数f(x)满足：①f(f(x+y)=f(x)+f(y),②f(x)的图象过点(1,1)，则
A.f(0)=0
B.f(x)为偶函数
C红)的图象关于点(2，号)中心对称
D.f(2025)=2026
11.记圆O是△ABC的外接圆，且AB=6,AC=4,18AO=8AB+3AC,则
A.2 AO=OB+OC
B.A0·AB=18
C.△ABC的面积为6√3
D.圆0的周长为42T元
3π
【高三数学试题第2页（共4页）】２０２５届高三５月适应性考试 数学
参考答案、提示及评分细则
１．【答案】D
【解析】因为A＝{x||x－１|＜３}＝{x|－２＜x＜４},故A∩Z＝{－１,０,１,２,３},故选D．
２．【答案】A
【解析】因为２９位同学的积分,中位数是第１５名,所以知道中位数即可判断是否在前１５,故选 A．
３．【答案】B
【解析】依题意, ,即 １ １－m
２ １
０＜ ３m＜１ ０＜m＜ ,则C 的焦点在y 轴上,因此 ３m＝ ,所以 ,故 的
３ １
m＝２ C
短轴长为２m＝１,故选B．
４．【答案】C
５
【解析】易得 ( １ ) 展开式的通项公式为 r ( １ ５－r－１ T ＝C ) (－１)rr＋１ ５ ＝(－１)r r －５－rC５x ２ ,令 ５－r－ ２ ＝－２,解x x
得r＝１．将r＝１代入通项公式可得(－１)１C１５x－２＝－５x－２,故展开式中x－２项的系数为－５,故选C．
５．【答案】A
【解析】令函数f(x)＝x＋cosx,求导得f′(x)＝１－sinx≥０,故f(x)在 R上递增,由y＞x＞０,得f(y)＞
f(x),即x－cosy＜y－cosx,即充分性成立;同理可得:当x－cosy＜y－cosx 时,可得y＞x,故必要性不成
立,综上可知,甲是乙的充分条件但不是必要条件,故选 A．
６．【答案】B
【解析】已知 π π π π πx∈ (０, ) ,令t＝２x＋φ,则t∈ (φ, ＋φ) ,因为|φ|＜ ,所以φ∈ ( － , ) ．故原条件等价于６ ３ ２ ２ ２
ì π≥－
φ ２
已知函数y＝sint在区间 (φ,π ) ＋φ 上单调,而函数 π π３ y＝sint在区间 ( － , ) 上单调,所以 ,又２ ２ í
π π ＋ ≤ ３ φ ２
因为 π πφ∈ ( － , ) ,故 π π２ ２ φ∈ ( － , ,故选２ ６ ] B．
７．【答案】D
【解析】由正四面体木料知,底面为边长为２的正三角形,故底面面积为 ３,因为平面平行于该木料底面,故该
平面在木料上的截面也为正三角形,设该正三角形与底面的相似比为k,则该平面在木料上的截面面积为
【高三数学试题参考答案 第 １ 页(共６页)】
３k２,截下部分一部分为小四面体,一部分为正三棱台,其中小四面体部分的表面积即４ ３k２,正三棱台表面
积为４３－３３k２＋ ３k２＝４３－２３k２,故
２
４ ３k２＝４ ３－２ ３k２,解得k２＝ ,所以该平面在木料上的截３
面面积为２３,故选
３ D．
８．【答案】A
【解析】由题易得 ２x－３lnx－３f′(x)＝ ( ,故 , 满足 , ,也即２x－３)２ x１ x２ ２x１－３lnx１－３＝０２x２－３lnx２－３＝０ lnx１＝
x１
１(
１ １ xlnx ３ ２x１－３
)
( １ １
３ ２x１－３
),lnx １ １２＝ (３ ２x２－３
)．而f(x１)＝ ＝ ,同理 ( ) ,故过２x１－３ ２x１－３ ＝３x１ f x２ ＝３x２
１ １
３x１－３x２( １x１,f(x１)),(x２,f(x２))两点的直线斜率k＝ ,故选x１－x ＝ A．２ ３
９．【答案】ACD
【解析】x
２ y２
９－７＝１
中a＝３,b＝ ７,故C 的实轴长为６,故 A正确;c２＝a２＋b２＝９＋７＝１６,故c＝４,易得C 的
焦点坐标为(±４,０),故C正确;易得C 的渐近线方程为
b ７
y＝± x＝± x,故B错误;由对称性,不妨取焦a ３
点(４,０)到渐近线
|４７|
３y＋ ７x＝０的距离为d＝ ＝ ７,故D正确,故选 ACD．
９＋７
１０．【答案】AC
【解析】对于 A,令x＝１,y＝０,则f(f(１))＝f(１)＋f(０),由②可知f(１)＝１,所以f(１)＝f(１)＋f(０),解
得f(０)＝０,故 A正确;对于 B,令y＝－x,则f(f(x－x))＝f(x)＋f(－x),得f(f(０))＝f(x)＋
f(－x),由A可知f(０)＝０,所以f(０)＝f(x)＋f(－x)＝０,即f(－x)＝－f(x),故f(x)为奇函数,故B
错误;对于C,令y＝１－x,则f(f(x＋１－x))＝f(x)＋f(１－x)＝f(f(１))＝f(１)＝１,即f(x)＋
１ １
f(１－x)＝１,即f(x)的图象关于点 ( , ) 中心对称,故 C正确;对于 D,由于f(x)＋f(１－x)＝１且２ ２
f(－x)＝－f(x),则有f(x)－f(x－１)＝１,即f(x)＝f(x－１)＋１,所以f(２)＝f(１)＋１＝２,f(３)＝
f(２)＋１＝３, ,f(２０２５)＝２０２５,故D错误,故选 AC．
１１．【答案】BCD
【解析】因为圆O 是△ABC 的外接圆,所以O 是△ABC 的外心,O 在BC 的中垂线上,若O 符合２AO→＝OB→
＋O→C,则A 也应在BC 的中垂线上,因为AB≠AC,故 A 错误;因为O 是△ABC 的外心,所以O 在AB 的
→ ２
中垂线上,AO→
|AB|
AB→＝|AO→| |AB→|cos∠OAB＝ ２ ＝１８
,故B正确;对等式１８AO→＝８AB→＋３A→C两边
【高三数学试题参考答案 第 ２ 页(共６页)】
同时乘以AB→,则１８AO→ AB→＝８AB→ AB→＋３A→C AB→ １８×１８＝８×３６＋３A→C AB→,解得A→C AB→＝
１２,故
１ ３
cosA＝ ,sinA＝ ,△ABC 的面积为
１ １ ３
２ ２ ２AB×ACsinA＝
,故 正确;由余弦定
２×４×６×２＝６ ３ C
２ ２ ２
理可得 １ AB ＋AC －BCcosA＝ ＝ ,解得BC＝２ ７,由正弦定理,
BC ２７
２ ２AB×AC sinA＝２R＝
,所以圆O 的半径为
３
２
２ ２１,其周长为４ ２１ ,故 正确,故选
３ ３ π D BCD．
１２．【答案】４
【解析】因为z＝(１＋i)(２＋i)＝２＋i＋２i＋i２＝１＋３i,所以z的实部为１,虚部为３,和为４,故答案为４．
５
１３．【答案】２４
【解析】由题意可得 ２tanθ ８,解得 １或 (舍去),故２cosθ－３sinθ ２－３tanθtan２θ＝１－tan２θ＝１５ tanθ＝４ tanθ＝－４ ４sinθ＋５cosθ＝４tanθ＋５＝
５,故答案为５
２４ ２４．
１２２
１４．【答案】２４３
【解析】记事件A 为“Sk 为奇数”,设事件A′为“Sk＋１为奇数”,分析可知,当Sk 为奇数时,若ak＋１＝２,则Sk＋１
仍然为奇数,若Sk 为偶数,ak＋１＝１或３时,Sk＋１仍然为奇数,从而:p２ P(A)＋P(A) (p１＋p３)＝
P(A′),(其中pi 表示ak＋１＝i的概率,i＝１,２,３),设P(A)＝qk,P(A′)＝qk＋１,从而有:
１ ２
－３qk＋３＝qk＋１
１ １ １ １ k－１ １ １ ２ １ １ １ k－１
－ (qk－ ) ＝ (qk＋１－ ) ,进而 ( － ) (q１－ ) ＋ ＝qk,q１＝ qk＝ ＋ ( － ) ＝P( )３ ２ ２ ３ ２ ２ ３ ２ ６ ３ A
１ １ １２２ １２２
q５＝２＋４８６＝
,故答案为
２４３ ２４３．
１５．【解析】(１)由列联表可得s＝２９０－１６０＝１３０, ２分
t＝４００－２００＝２００． ４分
(２)由题意可得１８~２２岁青年群体对新产品感兴趣的频率为:
１６０
＝０．８, ６分２００
２３~２７岁青年群体对新产品感兴趣的频率为:
１３０
＝０．６５． ８分２００
(３)零假设为 H０:对新产品感兴趣与青年的年龄段无关联．
因为χ２ ４００
(１６０×７０－４０×１３０)２
＝(１６０＋４０)(１３０＋７０)(
, 分
１６０＋１３０)(４０＋７０)≈１１．２８５＞１０．８２８ １２
则根据小概率值α＝０．００１的独立性检验,我们推断 H０ 不成立,即认为对新产品感兴趣与青年的年龄段
有关． １３分
【高三数学试题参考答案 第 ３ 页(共６页)】
１６．【解析】(１)由题意可知:f(x)的定义域为(０,＋∞), １分
且 ( １
(２x＋１)(ax－１)
f′x)＝２ax＋(a－２)－ ＝ , x x ２
分
当a≤０时,f′(x)＜０,可知f(x)在(０,＋∞)上单调递减; ３分
当 １a＞０时,由f′(x)＞０得x＞ ;由f′(x)＜０得
１
０＜x＜ ; 分a a ４
可知 ( )在 ( １ １f x ０, 上单调递减,在 , 上单调递增; 分a ) (a ＋∞ ) ５
综上所述:当a≤０时,f(x)的单调减区间为(０,＋∞),无单调增区间; ６分
当a＞０时,f(x)的单调减区间为 (０,１ ) ,单调增区间为 ( １,＋∞ ) ． ７分a a
(２)解法一:(参变分离法)由已知得ax２＋(a－２)x－lnx≥０在(０,＋∞)上恒成立, ８分
等价于 ２x＋lnx ２x＋lnxa≥ ２ 在(, )上恒成立,设 ( ) , , 分x ＋x ０ ＋∞ g x ＝ x２＋x x＞０ １０
( １２＋ ) (x２x ＋x)－(２x＋lnx)(２x＋１) (则 ( ) ２x＋１)(１－x－lnx)g′x ＝ (x２＋x)２ ＝ (２ , 分x ＋x)２ １２
设h(x)＝１－x－lnx,x＞０,可知h(x)在(０,＋∞)上单调递减,且h(１)＝０, １３分
当０＜x＜１时,h(x)＞０,即g′(x)＞０;当x＞１时,h(x)＜０,即g′(x)＜０;可知g(x)在(０,１)上单调递增,
在(１,＋∞)上单调递减, １４分
则g (x)max＝g(１)＝１,可得a≥１,即a 的取值范围为[１,＋∞)． １５分
解法二:(分类讨论法)由题意可知:f (x)min≥０在(０,＋∞)上恒成立, ８分
由(１)知,当a≤０时,f(x)在(０,＋∞)上单调递减,且f(１)＝２a－２＜０,不合题意; １０分
当a＞０时,可知f ( )
１ １
x min＝f( ) ＝１－ ＋lna≥０, 分a a １２
设 () １m a ＝１－ ＋lna,a＞０,可知m(a)在(０,＋∞)上单调递增, １３分a
且m(１)＝０,若f (x)min≥０,则m(a)≥０,可得a≥１,故a 的取值范围为[１,＋∞)． １５分
１７．【解析】(１)证明:由折叠知,AD１⊥D１C, １分
又因为平面ACD１⊥平面BCD１,AD１ 平面ACD１,平面ACD１∩平面BCD１＝CD１, ３分
故AD１⊥平面BCD１． ４分
又AD１ 平面ABD１,所以平面BCD１⊥平面ABD１． ６分
【高三数学试题参考答案 第 ４ 页(共６页)】
(２)由(１)知AD１⊥BD１,在△ABD１ 内,过点D１ 作D１H⊥AB．易得D１H⊥平面ABC,在 Rt△ABD１ 内,
BD ＝ ６２１ －４２ ＝２５． ７分
又 １ １ ４×２５ ４５S△ABD１＝２×|AD１|×|BD１|＝２×|AB|×|D１H|
,即|D１H|＝ ＝ , ６ ３ ８
分
进而 ８ １０AH＝ ,３ BH＝３．
如图,以点B 为原点,B→C为x 轴正方向,BA→为y 轴正方向建立空间直角坐标系,则A(０,６,０),C(４,０,０),
D１ ( １００, ,４５) ,B(０,０,０), ３ ３ ９分
AD→１＝ (０, ８,４５－３ ３ ) ,
１０４５
A→C＝(４,－６,０),BD→１＝ (０, , ) ．设平面３ ３ ACD１ 法
向量为m＝(x,y,z), １０分
m AD→＝０ ì ８ ４５{ １ － y＋则 ,即 í ３ ３z＝０, １１分m A→C＝０ ４x－６y＝０
取x＝３５,则m＝(３５,２５,４)为平面ACD１ 的一个法向量, １２分
|m BD→|
设 与平面 １２５ ２BD１ ACD１ 所成角为θ,则sinθ＝
１ ＝ ＝ , １４分
|m||BD→１| ９×２５ ３
故直线BD１ 与平面ACD１ 所成角的正弦值为
２
． ３ １５
分
【 】() (,) p p１８．解析 １ 点C ４０ 满足|CF|＝３|OF|,则４－ ＝３ ,解得p＝２． 分２ ２ ２
故E:y２＝４x,准线方程:x＝－１． ３分
x＝my＋１
(２)设直线AB:x＝my＋１(m≠０),A(x ２１,y１),B(x２,y２),联立{ 得y －４my－４＝０,故y１y２＝y２＝４x
y２ ２
－４,xx ＝ １
y２
１ ２ ＝１, 分１６ ５
由抛物线定义有|AF|＝x１＋１,|BF|＝x２＋１,
１ １ １ １ x１＋x２＋２ x１＋x则 ２＋２ ,得证 分
|AF|＋|BF|＝x ＋１＋x ＋１＝xx ＋x ＋x ＋１＝１ ２ １ ２ １ ２ x１＋x２＋２＝１ ． ８
(３)令y１＝２t(t＞１),则
２
y２＝－ ,令x ＝t２１ ,则
１
x２＝ ２,即 (
１ ２
t t At
２,２t),B (t２,－ ) , ９分t
由于AB⊥AM,
y
且直线 AB 的斜率k＝ １
－y２ ２t ,故直线 : ２ ２t ( ),即
x１－x ＝２ t２－１ AM x－t ＝－t２－１ y－２t x＝
２t t４＋３t２
－ ２ y＋ ２ , 分t －１ t －１ １０
t４则点 横坐标 ＋３t
２
,由 ( １ ２
２
M xM ＝ ,t２－１ B t２ －t ) ,C(４,０)可得直线
４t －１
BC:x＝ y＋４, 分２t １１
【高三数学试题参考答案 第 ５ 页(共６页)】
ì ２t t
４＋３t２
x＝－t２－１y＋ t
２－１ (４ ２ )
联立 í ,解得点 纵坐标
２tt －t ＋４
N yN ＝ ４ ２ , １３分
４t２－１ ４t －t ＋１
x＝
２t y＋４
１ １ ３(x２,( ) ( ) １－x ＋４
)２
因此 S １１－S２ S３＝２|CF||y１＋y２| xM －４|yN|＝
, 分
２ ４x２１－x
１４
１＋１
(x２－x＋４)２ (x－２)(x２ )( ２记 －x＋４ ８x ＋１３x－１
)
f(x)＝ , ,则 ( ) , 分４x２－x＋１ x＞１ f′x ＝ (４x２－x＋１)２ １５
故f(x)在区间(１,２)上单调递减,在(２,＋∞)上单调递增, １６分
因此当 ３６x１＝２时,(S１－S２)S３ 取到最小值 ,此时A(２,２２)． ５ １７
分
１９．【解析】(１)由题可知:a１,a２, ,a１０为公差为１的等差数列,故a１０＝a１＋９＝１０, ２分
a１０,a１１, ,a２０为公差为d 的等差数列,故a２０＝a１０＋１０d＝４０, ３分
解得d＝３． ４分
(２)由题可知:a１,a２, ,ak 为公差为１的等差数列,故ak＝a１＋(k－１) １＝k; ５分
ak,ak＋１, ,a２k为公差为d 的等差数列,故a２k＝ak＋kd＝k(１＋d)． ６分
a ２２k,a２k＋１, ,a３k为公差d 的等差数列,故a ＝a ＋kd２＝k(１＋d＋d２３k ２k )． ７分
１ ２ ３ ３ ３
a３k＝k[ (d＋ ) ＋ ,又 为正整数,故 , 分２ ４ ] ≥４k k ４k＞０ ８
即 ３a３k的最小值为 k． ９分４
(３)由题可知:n＝ks＋t．当s≥１时,aks,a sks＋１, ,ak(s＋１)是公差为d 的等差数列． １０分
而ak(s＋１)＝aks＋kds,aks＝ak(s－１)＋kds－１,依次类推,ak＝a１＋k－１,也即a －a ＝kdsk(s＋１) ks , １１分
a s－１ ２ks－ak(s－１)＝kd ,依次类推,ak－a１＝k－１,累加得ak(s＋１)＝k(１＋d＋d ＋ ＋ds)． １２分
当d＝１时,ak(s＋１)＝k(s＋１)． １３分
１(１－ds＋１)当 , １－d
s＋１
d≠１ak(s＋１)＝k ＝k 分１－d １－d ． １４
ì ks,d＝１ ì ks＋t,d＝１
也即aks＝ í １－ds ．由题,t∈[０,k),则aks＋t＝aks＋td
s＝ í s , １６分
k ,
１－d
１－d d≠１ k
１－d ＋td
s,d≠１
ì n,d＝１
当s＝０时,aks＋t＝at＝t,仍然满足上式．综上,an＝ í １－ds ． １７分 k １－d ＋td
s,d≠１
【评分细则】:本题第三问若考生引入高斯函数来表示余数及整数部分,只要过程严谨合理均酌情给分．
【高三数学试题参考答案 第 ６ 页(共６页)】2025届高三5月适应性考试
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卡
15.(本小题满分13分)》
16.(本小题满分15分)
姓名
班级
贴条形码区
考号
考生禁填缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右面的缺考标记。
1,答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条
正确填涂
形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条
填
注
形码粘贴在规定的位置。
错误填涂
涂
意2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作容
样
事字体工整、笔迹清楚。
例
项3，考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答
案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。
选择题（请用2B铅笔填涂）
1[A][B][C][D]
5[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
2[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
10[A][B][C][D]
3[A][B][C][D]
7[A][B][C][D]
1I[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）
12.(5分)》
13.(5分)
14.(5分)
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17.(本小题满分15分)
18.(本小题满分17分)
19.(本小题满分17分)
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高三数学第2页（共2页）
