湖南省祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学有关二次函数的应用存在性问题专题训练（含答案）

湖南省祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学有关二次函数的应用存在性问题专题训练
1．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　 个水杯，月销售利润是　 　 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出　 　 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
（4）在涨价的前提下，利润是否存在最大值？若能，求出最大值及售价；若不能，请说明理由．
2．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米．
（1）当x＝10米时，y＝ 　 　 米，S＝ 　 　 平方米；
（2）求S与x之间的函数表达式；
（3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由．
3．某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，平均月销售量240件：若每件商品的售价上涨1元，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为x元，月销售数量为y件，月销售利润为w元．
（1）求y与x、w与x的函数关系式；
（2）若月销售利润2640元，求x的值；
（3）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
4．某网店专门销售江西特色产品——赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本为8元．根据销售大数据分析得出：当每千克脐橙的售价为10元时，平均月销售量为600千克；若每千克脐橙的售价每上涨1元，月销售量就会减少100千克．设每千克脐橙的售价为x元，月销售量为y千克，月销售利润为w元．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）月销售利润w是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
5．把一个足球垂直于地面向上踢，t秒后该足球的高度h米满足关系式h＝﹣5t2+at．已知该足球被踢出4秒后回到地面．
（1）a的值为 　 　 ．
（2）若t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否存在这样的情况：（t+1）秒后足球的高度比t秒后足球的高度高18米？若存在，请通过计算进行说明；若不存在，请说明理由．
6．【课题学习】
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化． 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．
2．根据电路图连结实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
（1）在素材1中，当l＝ 　 　 时，场地的面积S最大；
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；
（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．
7．用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个．
（1）填表：
n 1 2 3 4 …
s 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式．
（3）第10个图形中的正方体木块有多少个？
（4）是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由．
8．2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，如图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为x cm．
（1）若此包装盒的容积为1500cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值．
（2）是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1560cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm．
（1）底面的长AB＝ 　 　 cm，宽BC＝ 　 　 cm（用含x的代数式表示）
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
10．如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（2）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由；
（3）矩形围栏ABCD面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏BC的长；不存在请说明理由．
11．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
12．问题探究
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，点P为边CD的中点，Q为边AD上一点，且DP+DQ＝5，连接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面积；
问题解决
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照规划要求，点P、Q分别在边CD、AD上，满足DP+DQ＝40米，连接BP、PQ、BQ，其中△PBQ为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的长；若不存在，请说明理由．
13．甲、乙、丙三同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线．已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距AB为6米，手到地面的距离AD和BC都为1.3米，身高为1.6米的丙同学站在距点D的水平距离为1米的E点处，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F．以点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线解析式，并注明x的取值范围；
（2）如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F，丙同学在CD之间是否存在除E外的另一站点，若存在，求该站点到点D的距离；若不存在，说明理由．
14．某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O，P，M，N分别在边BC，CD，AE，AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800米，BC＝1200米，CD＝600米，AE＝900米．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．
15．为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃ABCD的边长为8米，现将它阴影部分4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形EFGH种植南瓜．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当四边形EFGH的面积为40平方米时，求AE的值；
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
16．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数y＝（k+2）x2﹣（3k﹣2）x+2k﹣4（实数k为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论k取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数k的值；若不存在，请说明理由．
17．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数y＝（a﹣1）x2+（3﹣a）x﹣2a﹣2（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的正半轴的公共点都是整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
18．现有一个三角形广场ABC，如图所示，经测量，AC的长度为100米，点B到线段AC的距离为50米，∠A，∠C均为锐角．点E为AB边上的一动点（点E不与点A，B重合），点F为BC边上一动点（点F不与点B，C重合），且EF∥AC．
（1）当EF的长为50米时，△BEF的面积为 　 　 平方米；
（2）设点B关于EF的对称点为B'，△B'EF与四边形EFCA的重叠部分的面积记为S平方米，现准备在该重叠部分内种花．请问重叠部分的面积S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值及此时EF的长；若不存在，请说明理由．
19．郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车，新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新，新桥的中跨大拱的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB为120米，与AB中点O相距30米处有一高度为27米的系杆EF，以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正中间系杆OC的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的？请说明理由．
20．问题探究
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝BD＝8，对角线AC、BD相交于点O，点P在AB上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AP＝2，求四边形PEOF的面积；
问题解决
（2）如图2，菱形ABCD是某生态农庄的规划缩略图，管理人员计划在该农庄规划一个四边形PEFD的垂钓中心，使点P、E分别在AD、AC上，且PE⊥AC，∠PEF＝∠ADF，DF平分∠ADC，，AC＝8cm．为了让更多的游客能够同时进行垂钓，要求垂钓中心（四边形PEFD）的面积尽可能的大，请问垂钓中心的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）每上涨1元，其月销售量就减少10个．当每个水杯的售价为45元时，依题意得：
600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元），
故答案为：550；8250；
（2）依题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯，
故答案为：（600﹣10x）；
（3）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
当x1＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500，
当x2＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200，
又∵要尽量减少库存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50，
答：每个水杯的售价为50元；
（4）在涨价的前提下，利润存在最大值；理由如下：
设月销售利润为y元，依题意得：
∴y＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，
∴每个书包涨价25元时，利润最大，此时书包的售价为25+40＝65元，
∴书包的售价为65元时，最大利润为12250元．
2．解：（1）根据题意得：当x＝10米时，y＝60﹣2x＝60﹣2×10＝40（米），S＝xy＝10×40＝400（平方米）．
故答案为：40，400；
（2）根据题意得：S＝xy＝x（60﹣2x），
∴S＝﹣2x2+60x．
∵，
∴9≤x＜30，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+60x（9≤x＜30）；
（3）S＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为450，
∴围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15．
3.解：（1）根据题意得：y＝240﹣10（x﹣30），
∴y＝﹣10x+540；
w＝（x﹣20）（﹣10x+540），
∴w＝﹣10x2+740x﹣10800；
（2）当w＝2640时，﹣10x2+740x﹣10800＝2640，
整理得：x2﹣74x+1344＝0，
解得：x1＝32，x2＝42．
答：x的值为32或42；
（3）w＝﹣10x2+740x﹣10800＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w取得最大值，最大值为2890．
答：月销售利润存在最大值，这个最大值为2890，此时x的值为37．
4.解：（1）设每千克脐橙的售价为x元，那么相比10元上涨了（x﹣10）元，则月销售量减少100（x﹣10）千克，
∴y＝600﹣100（x﹣10）＝﹣100x+1600；
（2）由每千克脐橙的成本为8元，售价为x元，月销售量为y＝﹣100x+1600件，
月销售利润w为w＝（x﹣8）（﹣100x+1600）＝﹣100x2+2400x﹣12800，
∵a＝﹣100＜0，
∴该函数图象开口向下，存在最大值，
当，可得最大利润，最大利润为w＝﹣100×122+2400×12﹣12800＝1600（元），
答：月销售利润w存在最大值，最大值为1600元，此时x的值为12．
5．解：（1）由题意，∵足球被踢出4秒后回到地面，
∴﹣5×42+4a＝0．
∴a＝20．
故答案为：20．
（2）由题意，抛物线h＝﹣5t2+20t的对称轴为直线t＝2．
∵t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，
∴t+t+2＝2×2．
∴t＝1．
（3）不存在．理由：由题意得，﹣5（t+1）2+20（t+1）﹣（﹣5t2+20t）＝18，
∴（不合题意，舍去），故不存在这样的情况．
6.解：（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为60÷2﹣l＝30﹣l，
所以，S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，
所以，当l＝15，场地的面积S最大，最大为225平方米；
故答案为：15；
（2）50×51和51×50的积最大，理由如下：
设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，
则y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），
对称轴为，因为x是正整数，且1≤x≤100，
所以x取50或51时，y最大为2550；
（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，
则，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25，
∵﹣1＜0，则抛物线W开口向下，且0≤x≤5，
∴当x＝3时，W取最大值为25，
此时I取最小值为，两支路电阻分别为2+3＝5Ω和8﹣3＝5Ω，两支路电阻相等，
∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
7.解：（1）∵第1叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；
第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有1+1+4＝6个；
第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有1+1+4+1+2×4＝15个；
第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是2×42﹣4＝28个；
…
∴第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有1+1+1×4+1+2×4+1+3×4+…+1+4（n﹣1）＝n+4n（n﹣1）＝2n2﹣n个，
故答案为：1；6；19；28，2n2﹣n；
（2）二次函数的表达式为s＝2n2﹣n；
（3）当n＝10时，s＝2×102﹣10＝190，
答：第10个图形中的正方体木块有190个；
（4）当s＝1770时，即2n2﹣n＝1770，
解得：n＝119（负值舍去），
∴存在，它是第30个图形．
8.解：（1）设包装盒的高为x cm，由图得宽为，高为x cm，包装盒的长为15cm，
∵此包装盒的容积为1500cm3，
∴（20﹣x）×15x＝1500，
解得：x1＝x2＝10，
∴x的值为10；
（2）设该包装盒的容积为y cm3，依题意得：
∴y＝（20﹣x）×15x＝﹣15（x﹣10）2+1500．
∵﹣15＜0，
∴当x＝10时，此包装盒的容积最大，最大容积为1500cm3，
∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1560cm3．
9．解：（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，
设小正方形的边长为xcm，
∴底面的长AB＝（50﹣2x）cm，宽BC＝（30﹣2x）cm，
故答案为：50﹣2x，30﹣2x；
（2）依题意，得：
（50﹣2x）（30﹣2x）＝300
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）
当x1＝10时，盒子容积＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm3）；
（3）盒子的侧面积为：
S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）
＝100x﹣4x2+60x﹣4x2
＝﹣8x2+160x＝﹣8（x2﹣20x）
＝﹣8[（x﹣10）2﹣100]
＝﹣8（x﹣10）2+800
∵﹣8（x﹣10）2≤0，
∴﹣8（x﹣10）2+800≤800，
∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800．
10.解：（1）∵设栅栏BC长为x米，
∴DC＝49+2﹣3x＝（51﹣3x）米，
依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞28，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（2）矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米；理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米；
（3）矩形围栏ABCD面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏ABCD面积为S，
根据题意得，51﹣3x＞0，
∴x＜17，
∴，
∵﹣3＜0，
∴当时，即米时，S有最大值．
11.解：（1）∵在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形，
在△AEH中，AE＝x，AH＝BE＝AB﹣AE＝4﹣x，∠A＝90°，
∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH
＝2x2﹣8x+16；
（2）正方形EFGH的面积为：y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8（0＜x＜4），
∴当x＝2时，y有最小值8，即四边形EFGH的面积最小为8．
12.解：（1）如图，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC的延长线于点N，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠DCN＝∠D＝60°，
在菱形ABCD中，AB＝4，点P为边CD的中点，
∴DP＝CP＝2，
∵DP+DQ＝5，
∴DQ＝3，
∴AQ＝1，
在Rt△ABE中，BE＝AB sin60°＝2，
在Rt△CPN中，PN＝CP sin60°，
在Rt△DPM中，PM＝DP sin60°，
∴S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ
＝4×21×243
．
（2）∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝40米，BC＝AD＝60米，
设DP＝x米，则CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，
∴S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ
＝40×6040（20+x）60×（40﹣x）x（40﹣x）
x2﹣10x+800
（x﹣10）2+750．
∴当x＝10时，S△BPQ的最小值为750．
∴按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）存在最小面积，最小面积为750平方米，此时DP的长为10米．
13.解：（1）设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，
由题意得点A（0，1.3），F（1，1.6），B（6，1.3），
代入 y＝ax2+bx+c 得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.06x2+0.36x+1.3（0≤x≤6）；
（2）存在，理由：
设站点到点D的距离为x，
则﹣0.06x2+0.36x+1.3＝1.6，
解得x＝1或5，
∵x＝1即为站点E，
∴存在另一站点到点D的距离为5米．
14.解：存在，如图延长AE、CD相交于点F，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF＝BC＝1200，AB＝FC＝800，
∵AM＝OC，BO＝2AN＝2CP，
∴MF＝BO，BN＝FP，
设AN＝x，则CP＝x，BO＝MF＝2x，AM＝OC＝1200﹣2x，BN＝FP＝800﹣x，
此时 S四边形OPMN＝S ABCF﹣S△BNO﹣S△ANM﹣S△FMP﹣S△CPO
＝960000﹣（1600x﹣2x2）﹣（1200x﹣2x2）
＝960000﹣2800x+4x2
＝4（x﹣350）2+470000，
∵4＞0，
∴当x＝350时，S四边形OPMN有最小值470000平方米，
当x＝350时，AN＝350米，AM＝1200﹣2x＝500米＜AE＝900米，
CP＝x＝350米＜CD＝600米，
∴存在符合设计要求的面积最小值为470000平方米的四边形人工湖OPMN，
此时点N到点A的距离为350米．
15.解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为8，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，AE＝DH＝x，BE＝AH＝8﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD．
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
∴y＝AE2+AH2＝x2+（8﹣x）2＝2x2﹣16x+64；
（2）当y＝40时，即2x2﹣16x+64＝40，
∴x2﹣8x+12＝0．
解得x＝2或x＝6，
答：当AE取2或6时，四边形EFGH的面积为40；
（3）∵y＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32，
∵2＞0，
∴y有最小值，最小值为32．
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为32．
16.（1）证明：当k+2＝0时，
函数y＝8x﹣8，该函数和x轴有交点（1，0）；
当k+2≠0时，
∵Δ＝（2﹣3k）2﹣4（k+2）（2k﹣4）＝（k﹣6）2≥0，
故该函数和x轴有交点，
故图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在，理由：
∵k为非负整数，
则k+2≠0，
令y＝（k+2）x2﹣（3k﹣2）x+2k﹣4＝0，
解得：x＝1或，
而x2，
当k＝0，2，6时，x＝﹣2，0，1，符合题意，
故k＝0或2或6．
17.（1）证明：当a＝1时，函数表达式为y＝2x﹣4，
令y＝0得：x＝2，
∴此时函数y＝（a﹣1）x2+（3﹣a）x﹣2a﹣2（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
当a≠1时，
y＝（a﹣1）x2+（3﹣a）x﹣2a﹣2为二次函数，
∴Δ＝（3﹣a）2﹣4（4a﹣1）（﹣2a﹣2）＝9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2≥0，
∴函数y＝（a﹣1）x2+（3﹣a）x﹣2a﹣2（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
当a＝1时，图象与x轴交于（2，0），符合题意；
当a≠1时，令y＝0得：
0＝（a﹣1）x2+（3﹣a）x﹣2a﹣2，
[（a﹣1）x+（a+1）]（x﹣2）＝0，
解得x＝2或x，
∵x1，a是整数，
∴当a﹣1是2的因数时，x是整数，
∵图象T与x轴的正半轴的公共点都是整点，
∴2，
解得：a＝2，
∴a＝1或a＝2．
18.解：（1）不妨设点B到线段EF，AC的距离分别为h小，h大，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
解得h小＝25，
∴S△BEF50×25＝625，
故答案为：625；
（2）存在．由题意得，
设EF的长度为x米，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠A，∠BFE＝∠C，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
∴，
分两种情况讨论：
①当点B'落在四边形EFCA内或AC边上时，0＜x≤50
如图1，此时S＝S△BEFx2，
所以当0＜x≤50时，S的最大值为625m2；
②当B'落在四边形EFCA外时，50＜x＜100，
如图2，连接BB'，与EF交于点M，与AC交于点N，
连接EB'，与AC交于点G，连接FB′，与AC交于点H，
∵EF∥AC，
∴即，
∴，
∴，
∴B'N＝BB'﹣BN＝x﹣50，
∴（）2，
即（）2，
∴S△B′GH＝x2﹣100x+2500，
∴S＝S四边形EFHG＝SΔG'EF﹣S△B'GH，
当时，S最大，最大值为．
综上所述，当m时，S最大，最大值为．
19.解：（1）结合图象由题意可知：B（60，0），E（30，27），设该抛物线解析式为：y＝ax2+c，则：
，解得：，∴y36．
（2）当x＝0时，y＝36，∴正中间系杆OC的长度是36米．
设存在一根系杆的长度是OC的，即这根系杆的长度是12米，则1236，
解得：x＝±20．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标OC在y轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴x＝±20与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的．
20.解：（1）∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEA＝∠BOA，∴PE∥BO，∴△PEA∽△BOA，∠PAE＝∠BPF，又∵∠PEA＝∠BFP＝90°，∴△PEA∽△BFP，∴，，∵菱形ABCD中AB＝BD＝8，∴AC⊥DB，DO＝BO＝4，∴Rt△ABO中，，∴，∴，∴，即四边形PEOF的面积为；
（2）连接DB，
∵菱形ABCD，
∴DB⊥AC，AO＝CO，DO＝BO，DB平分∠ADC，
又∵DF平分∠ADC，∴F在DB上，∵，AC＝8cm，∴AO＝CO＝4cm，
∴Rt△ABO中，，∵PE⊥AC，DF⊥AC，∴∠PEO＝∠DOC＝90°，∴PE∥DF，∴∠PEF＝∠EFO，又∵∠PEF＝∠ADF，∴∠ADF＝∠EFO，∴PD∥EF，同理可得△PEA∽△DOA，△PEA∽△FOE，设AE＝a cm，
∴，，
∵，∴，，
∴，
当时，S四边形PEFD有最大值为2cm2．
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