苏科版九年级数学下册 5.1 二次函数 同步练习（含解析）

5.1二次函数
一、单选题
1．若方程y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2
2．如果函数y＝（m﹣1）x|m|+1﹣3x+2是二次函数，则m的值是（　　）
A．±1 B．﹣1 C．2 D．1
3．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝ax2+bx+c
C． D．
4．若y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，则m＝（　　）
A．7 B．﹣1
C．﹣1或7 D．以上都不对
二、填空题
5．若是关于x的二次函数，则m的值为 　 　．
6．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　．
7．若函数y＝mx2+x﹣3是关于x的二次函数，则m满足条件是 　 　．
8．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　 　．
9．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a﹣2）x2+（b+2）x﹣3．
（1）当　 　时，x，y之间是二次函数关系；
（2）当　 　时，x，y之间是一次函数关系．
10．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函数是　 　．（填写序号）
三、解答题
11．已知函数是关于x的二次函数，求m的值．
12．已知函数y＝（a+3）（a+2）x+3．
（1）当a为何值时，y为x的二次函数？
（2）当a为何值时，y为x的一次函数？
13．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3；
（2）y＝﹣2x2﹣7；
（3）y＝﹣x2+x；
（4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2．
14.直角三角形的一条直角边长为x cm，两条直角边的和为7cm，面积为y cm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数．
15．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这个函数是二次函数吗？为什么？
（3）求自变量的取值范围．
16.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x（m），面积为y（m2）．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．
17．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
18.随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万元/台）与签约后的月份数x（1≤ x ≤12且为整数）满足关系式： ．估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．
(1)求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式；
(2)求前4个月中，第几个月的利润为6万元？
(3)请估计这一年中签约后的第几个月实际销售利润W最高，最高为多少万元？
19.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离之和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P(2，3)、Q(1，4)两点即互为“和谐点”．
(1)已知点A的坐标为(-3，1)．
①在点(0，3)、(-1，-3)、(2，2)中，点A的“和谐点”有 （写出坐标）；
②点B是第一象限内直线上的点，且A、B两点互为“和谐点”，则点B的坐标为 ；
(2)直线l与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若(-1，)、(4，)是直线l上的两点，且、互为“和谐点”，求k的值；
②当时，点N是线段CD上一点，抛物线，c为常数，且）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐点”，请直接写出常数c的取值范围．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数，
∴m≠0，
故选：B．
2．
【分析】根据题意可知，函数中含x的项的最高次为2次，且其项系数不为零，据此即可作答．
【解答】解：根据题意得：，
解得m＝﹣1，
故选：B．
3．
【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．
【解答】解：A、y＝3x+1是一次函数，不是二次函数，故不符合题意；
B、a＝0时不二次函数，故不符合题意；
C、y是二次函数，符合题意；
D、y不是二次函数，故不符合题意．
故选：C．
4．
【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，
∴m+1≠0且m2﹣4m﹣5＝2，
解得m＝2．
故选：D．
二、填空题
5．
【分析】根据二次函数的定义求解．
【解答】解：∵y＝（m﹣3）2x﹣1是关于x的二次函数，
∴m2﹣2m﹣1＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
6．
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2的二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，
故答案为：3；﹣5．
7．
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【解答】解：∵函数y＝mx2+x﹣3是关于x的二次函数，
∴m≠0．
故答案为：m≠0．
8．
【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2．
∴∠1+∠2＝90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF＝90°，EH＝EF．
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4；
即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y＝2x2﹣4x+4．
9．
【分析】（1）根据二次函数的定义进行解答；
（2）根据一次函数的定义进行解答．
【解答】解：（1）当x，y之间是二次函数关系时，a﹣2≠0即a≠2；
故答案为：a≠2；
（2）当x，y之间是一次次函数关系时，a﹣2＝0且b+2≠0，即a＝2且b≠﹣2；
故答案为：a＝2且b≠﹣2．
10．
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：①a＝0时y＝ax2+bx+c是一次函数，
②y＝（x﹣1）2﹣x2是一次函数；
③y＝5x2不是整式，不是二次函数；
④y＝﹣x2+2是二次函数，
故答案为：④．
三、解答题
11．解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
由①解得：m＝±2，
由②解得：m≠2，
∴m＝﹣2．
12．解：（1）根据题意得a+3≠0且a2+a﹣4＝2，
解得a＝2，
即当a为2时，y是x的二次函数；
（2）当a+3＝0时，即a＝﹣3时，y是x的一次函数；
当a2+a﹣4＝0且a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a；
当a2+a﹣4＝1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a；
即当a为﹣3或或时，y是x的一次函数．
13．解：（1）是二次函数，二次项系数是﹣0.9、一次项系数是2、常数项是﹣3；
（2）是二次函数，二次项系数是﹣2、一次项系数是0、常数项是﹣7；
（3）是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是1、常数项是0；
（4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2
＝x2﹣1﹣x2
＝﹣1，
不是二次函数．
14.解：由题意得：yx（7﹣x）x2x，
∵两条直角边的和为7cm，
∴0＜x＜7．
这个函数是二次函数．
15.解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm，
∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）．
∵矩形的长与宽都增加xcm，
∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2，
∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x，
故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x．
（2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，
∴y＝x2+7x是二次函数；
（3）∵x为矩形增加的长与宽，
∴自变量x的取值范围为x≥0．
16.解：花圃的宽AB为x（m），则长BC为（24﹣3x）m，
∴y＝x（24﹣3x）
＝﹣3x2+24x，
∵墙的最大可用长度为10m，
∴24﹣3x≤10，
∴x，
∵篱笆长为24m，
∴3x＜24，
∴x＜8，
∴x＜8，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x2+24x，自变量x的取值范围是x＜8．
17.解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120
＝240x2+180x+45；
（2）由题意可列方程为
240x2+180x+45＝195，
整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0，
解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去）
∴x＝0.5，
∴2x＝1，
答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．
18.(1)
解：当1≤x＜4，，过点(0，40)，（4，20）代入得：
，
解得：，
∴，
当4≤x≤12，，过点（4，20），（12，36），代入得：
，
解得：，
，
∴，
(2)
解：设利润用w表示，w=（-0.05x+0.4-0.1）（-5x+40）
当x=1，w=（-0.05+0.4-0.1）（-5+40）=8.75，
当x=2，w=（-0.05×2+0.4-0.1）（-5×2+40）=6，
当x=3，w=（-0.05×3+0.4-0.1）（-5×3+40）=3.75，
当x=4，w=（-0.05×4+0.4-0.1）（-5×4+40）=2，
第2月获利5万元
(3)
解：销售利润w=，
当x≥4时，w=0.2x+1.2，k=0.2＞0，w随x的增大而增大，
当x=12时，w=3.6（万元），
∵3.6＜8.75，
∴这一年中签约后的第1个月实际销售利润W最高，最高为8.75万元，
19.（1）①∵点A 到两坐标轴之和为，
又∵(0，3)到两坐标轴之和为，(-1，-3)到两坐标轴之和为，(2，2)到两坐标轴之和为，
∴根据“和谐点”的定义可知，(-1，-3)和(2，2) 为点A的“和谐点”．
故答案为：(-1，-3)和(2，2)；
②设点B坐标为(x，x+2)，且x>0，
则点B到两坐标轴之和为x+ x+2，
∵A、B两点互为“和谐点”，
∴x+ x+2=4
解得：x=1，
∴P点坐标为(1，3)，
故答案为(1，3)；
（2）①将(-1，)、(4，)代入直线解析式，得：．
∵、互为“和谐点”，
∴．
∵，
∴．
分类讨论：ⅰ当时，去绝对值为：
，
解得：；
ⅱ当时，不符题意舍；
ⅲ当时，去绝对值为：
，
解得：；
综上可知k的值为或1；
②时，直线l：，
当x=0时，，当y=0时，，
∴C(6，0)，D(0，-3)．
设N(a，)且()，
∴点N到坐标轴的距离和为．
∵，
∴．
设M(b，)，
∵，，
∴，
∴点M到坐标轴的距离和为．
∵，
∴．
∵M、N两点互为“和谐点”，
∴和有公共解即可，
∴或，
解得：或，
∴或．