九年级数学下册试题 5.2二次函数的图像和性质复习题--苏科版（含解析）

5.2二次函数的图像和性质复习题
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数的图象经过点，则该图象必过点（ ）
A． B． C． D．
3．若点，，在抛物线上，则下列结论正确的（ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ）
x
y 3 5 3
A．5 B． C． D．
5．把抛物线向上平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
6．若二次函数．当时，随的增大而减小，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与x轴没有交点
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
8．如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，①；②若，是抛物线上的两点，则；③；④．上述4个判断中，正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．已知二次函数的图象开口向上，若点都在该函数图象上，则，三者之间的大小关系是（）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．5或 B．5 C． D．
二、填空题
11．将抛物线向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 ．
12．某航模组制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式．若火箭在升空到最高点时打开降落伞，则降落伞将在离地面 m处打开．
13．二次函数的图象的对称轴是 ．
14．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过第 象限．

15．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ．
16．已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ．
17．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是 ．
18．若二次函数的图象上两点，满足．当时，该函数的最大值为，则t的值为 ．
三、解答题
19．已知二次函数．
(1)求出此二次函数图象的顶点坐标；
(2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围．
20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：．
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
(3)若关于x的一元二次方程（a、b是常数，且）是“邻根方程”，令，求t的最小值．
21．已知二次函数．

(1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
… …
… …
(2)利用图象写出当时，的取值范围是___________．
22．阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”，比如说“阴阳对偶律”导致左右相对的形式在中国装饰艺术中地位突出，对偶的神兽或神人往往相对而列，多半会形成左右相对（包含左右对称）的样式，对偶在数学上也多有渗透，下面我们就研究下多项式中的对偶．
对于的多项式，由于，所以取任意一对互为相反数时，例如当时，即或时，的值均为．那么我们称关于对偶，在学习二次函数时，我们知道二次函数的对称轴是直线，从“形”的角度看，多项式的对偶即二次函数数图像的对称性．
定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如：关于对偶。运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于_______对称；
(2)当或时，关于的多项式的值相等，求的值；
(3)若整式关于对偶，求的值．
23．（1）已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．
（2）已知函数，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
24．定义：在平面直角坐标系中，对于点与某函数图象上的一点，若，则称点Q为点P在该函数图象上的“直差点”．
(1)已知点，求点P在函数图象上“直差点”的坐标；
(2)若点在函数的图象上恰好存在唯一的“直差点”，求m的值；
(3)若点在函数的图象上有且只有2个“直差点”，求的取值范围．
25．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B两点，其中，顶点为C点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，且点D在直线上．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，已知在的左侧，平移前后的两条抛物线y都随x的增大而减小，求k的取值范围_______；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接，已知，求点P的坐标．（提示：平移前后的抛物线均与全等）
参考答案
一、单选题
1．B
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故选：B．
2．C
【分析】求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为轴，
关于轴对称的点为，
该图象必过点，
故选：C．
3．C
【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
【详解】解：时，
时，
时，
∵
∴，
故选：C．
4．D
【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为，
∴和的函数值相同，为；
故选D．
5．D
【分析】根据二次函数的平移规律即可进行解答．
【详解】解：抛物线向上平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是，
故选：D．
6．D
【分析】根据二次函数表达式可得其对称轴为及抛物线开口向上，从而得到在对称轴的左侧随的增大而减小即可．
【详解】解：二次函数中，，
抛物线开口向上，
在对称轴的左侧随的增大而减小，
抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
故选：D．
7．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质判断即可．
【详解】解：A、，抛物线开口向上，正确，不符合题意；
B、，且开口向上，抛物线与x轴没有交点，正确，不符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，正确，不符合题意；
D、抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，错误，符合题意．
故选：D．
8．A
【分析】根据二次函数图象与各项系数的关系逐项进行判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴是直线，
与时的函数值相等，
，
当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，随的增大而增大，
，故②正确；
由图象可知，当时，，
又，，
，故③正确；
不能确定抛物线与轴的交点坐标，
不确定，故④错误；
正确的有：①②③，
故选：A．
9．C
【分析】根据二次函数的图象与性质，结合题意即可判断和的大小．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是，
且
若点都在函数图象上，
则．
故选：C．
10．D
【分析】由题意知对称轴为直线，则，解得，由，可得平移后的解析式为：，将代入得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
由题意得，，解得，
∵，
∴平移后的解析式为：，
将代入得，，
解得，，（舍去），
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】根据二次函数图象的平移规则，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：新抛物线的解析式为；
故答案为：．
12．38
【分析】当时，有最大值，代入原函数即可求解．
【详解】解：当时，有最大值，为：，
则火箭在升空到最高点时，降落伞将在离地面，
故答案为：38．
13．直线
【分析】利用二次函数的对称轴是：直线，运用对称轴公式即可求解．
【详解】解：，
，，
二次函数图象的对称轴是：直线．
故答案为：直线．
14．一、二、三
【分析】根据二次函数图象可知，由此根据一次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
15．
【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴当时，y有最小值2，
把代入得：，
解得：，
∵当时，有最大值3，最小值2，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】根据抛物线的对称轴，求出的值，进而得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为：，
∵点，点都在抛物线上，且函数值相同，
∴两个点关于对称轴对称，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，对称轴为，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，有最大值为，当时，有最小值为：；
∴．
故答案为：．
17．
【分析】由题意得二倍点所在直线为，则联立直线解析式与抛物线解析式可得方程有两个不相等的实数根；根据图示可得和时，抛物线上的点与直线的位置关系，即可建立不等式求解．
【详解】解：由题意得：二倍点所在直线为
令，则；令，则
设，如图所示：

联立和
则有：
∵二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，
∴
解得：
由图可得：
解得：
综上所述：
故答案为：
18．
【分析】根据点的纵坐标相等，得到两点关于对称轴对称，进而得到对称轴的取值范围，以及二次函数的最值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵的纵坐标相等，
∴两点关于对称轴对称，
∵，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数有最大值为：，
解得：；
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：∵，
∴顶点坐标为．
（2）解：∵，
∴对称轴为，
又∵
∴二次函数的图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小．
故y随x的增大而减小时，x的取值范围是．
20．（1）解：∵，
∴，
∴或
解得，
∵，
∴不是“邻根方程”；
（2）解：∵，
∴，
解得，，
∵方程 (是常数)是“邻根方程”，
∴或，
∴或；
（3）解：解方程得：，，
∵关于的方程（是常数，）是“邻根方程”，
∴，
∴，
等号两边平方得：，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴当时，有最小值6．
21．（1）根据画函数图像的步骤：
列表：
… …
… …
描点，
连线；
如图：

（2）根据图象可知：当时，，
故答案为：．
22．（1）解：,
∴多项式关于对偶，
故答案为：．
（2）解：由题意，
∴b＝－8，
故答案为；．
（3）解：原式，
∴，
∴关于对偶，
∴，
故答案为：．
23．解：（1），
的对称轴为直线，
当时，在上随着的增大而减小，
当时，最小，
，
解得：，
，
当时，当时，最小，
，
解得：，
，
当时，在上随着的增大而增大，
当时，最小，
，
解得：，
，
综上所述，当时，恒成立，实数的取值范围为；
（2）作出二次函数的大致图象如图所示：
，
对于任意，都有成立，
，即，
解得：，
实数的取值范围为．
24．（1）解：设点在函数图像上“直差点”的坐标为，
根据“直差点”的定义可得：，解得：，，
点P在函数图象上“直差点”的坐标为或；
（2）解：设点在函数的图像上的“直差点”为，
，
整理得：，
点在函数的图象上恰好存在唯一的“直差点”，
，
解得：，
即m的值为或；
（3）解：设点在函数的图像上的“直差点”为，
，
，
点在函数的图像上有且只有2个“直差点”，
的图像与的图像有且只有2个交点，
在中，令得或，
的图像与x轴交点坐标为，，
如图：

把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
由图像可知，此时点在函数的图像上有且只有2个“直差点”，
的取值范围为，
当直线与只有一个交点时，
如图：

有两个相等的实数根，
，
；
的取值范围为，
综上所述：的取值范围为或．
25．（1）将代入得，
∴；
（2）联立和得．
∴设平移后的抛物线表达式为，
将代入得或（舍去），
∴；

（3）如图,作于,
设 ，
∴平移后的抛物线为：，

当 时,
，
，
，
，
，
，
，
，
(舍去),
当时,；
当时,；
或