高中数学必修4第一章总结
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高中数学必修4第一章三角函数专题复习学案
教学目的：
1. 对必修4第一章重点知识进行专题复习
2. 对必修4第一章热点问题进行专题探究
二. 重点、难点：
1. 任意角和弧度制问题的解题策略
2. 扇形的弧度和面积问题常见题目及解法
3. 活用诱导公式解题
4. 三角函数的图象及性质知识总结
5. 求初相的题型及解法分析
知识分析：
（一）任意角和弧度制问题的解题策略
有关任意角和弧度制问题的求解是“三角函数”中的常见问题，也是高考中的热点问题之一。解决这类问题应根据题设的特点，灵活采用相应的解题策略，如：
1. 特殊化策略
例1. 已知集合，，那么集合A、B的关系是什么？
解析：考虑在内，A、B的子集分别为
再利用周期性，知B是A的真子集。
点评：本题如果使用常规解法就比较抽象了，而且不易得出结论，考虑到它们有共有的周期，利用周期性通过研究它们在一个周期内的元素间的关系而得出两个集合的关系是一个聪明的做法。特殊化方法（如特殊值法等）是数学解题中非常常用的方法。
2. 数形结合
例2. 已知集合，，求A∩B。
解析：如图1，集合A中角的终边在阴影（Ⅰ）内，集合B中的角的终边在阴影（Ⅱ）内，因此集合A∩B中的角的终边在阴影（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分，所以
图1
点评：借助单位圆研究角的范围的问题既直观又方便。
3. 一个结论
结论：已知是第m象限角（m=1，2，3，4），求是第几象限角的问题，可先将各象限分成n等分，然后从x轴正方向上方的第一个区域起，按逆时针方向顺序标上1，2，3，4，1，2，3，4，依次循环，直至填充所有区域，其中标记数字m的区域对应着的范围。
例3. （2005全国）已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A. 第一或第二象限
B. 第二、第三或第四象限
C. 第一、第三或第四象限
D. 第一、第二、第三或第四象限
解析：如图2所示，先将各象限分成三等分，然后从x轴正方向上方的第一个区域起，按逆时针方向顺序标上1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，这样填满所有区域，其中标记数字3的区域对应着的范围（如图2），显然所在的象限是第一、第三或第四象限，应选（C）
图2
点评：本题如果采用不等式直接求解也可以，但解法抽象且易出错，而运用结论求解，数形结合，直观、准确。
（二）扇形的弧度和面积问题常见题目及解法
我们知道，扇形的弧长公式和面积公式，描述了S、l、α、r这四个量之间的内在联系，已知两个量，就可以求另外的两个量。
例题：解答下列各题：
（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的面积；
（3）已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：（1）设扇形的圆心角的弧度数为，弧长为l，半径为r，依题意得
消去l得：
解之得
当r＝1时，l＝8，此时，不合题意，应舍去
当r＝4时，l＝2，此时
（2）设扇形弧长为l，半径为r。
（3）设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则
∴当半径为r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时。
（三）活用诱导公式解题
诱导公式的推导和记忆是一个重点，但灵活且广泛的应用是它的又一大特色。
1. 三角形问题
例1. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
解：
即
∵B、C是△ABC的内角
故△ABC是等腰三角形
2. 奇偶性问题
例2. 函数的奇偶性是（ ）
A. 既非奇函数又非偶函数 B. 奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 偶函数
解：
所以，为偶函数，选D。
3. 分类讨论问题
例3. 求的值（）
解析：（1）当n为奇数时
原式
（2）当n为偶数时
原式
4. 最大值问题
例4. 求下列函数的最大值：
（1）；
（2）
解：（1）
其中
又
∴当且仅当时，
（2）
当时，
（四）三角函数的图象及性质知识总结
1. 能熟练画出函数的草图，会研究其奇偶性，单调性，周期，最值。已知图象会求A，ω，φ，B。
2. 熟练掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的图象、奇偶性、单调性、最值
3. 求三角函数的周期最常用的四种方法：
（1）公式法：的最小正周期是；
（2）的最小正周期是；
（3）图象法：利用图象变换画出函数图象观察其周期；
（4）定义法。
4. 三角函数最值的求法：
同角三角函数基本关系式，诱导公式及两角和差倍角公式化归为如下类型求解：
（1）基本型
（2）一元二次函数型；
（3）单调型（利用函数单调性求解）
5. 三角函数变换要抓住如下三个要点：
（1）变换前后的两个函数必须函数名相同、系数同正同负才能开始变换，否则先用诱导公式变形。这由教材不难得出如上结论。
（2）在图象变换顺序上、周期与相位的变换要注意，每一次变换都是对x而言。如：
而不是
（3）正难则反：正面难解，反面求之，往往出其不意，效果甚佳。
6. 三角函数奇偶性的判定方法：
（1）定义法：先求定义域，化简，判断。
（2）图象法。
7. 形如的三角函数单调性的判定方法：
（1）复合函数法；
（2）若能化成A>0且ω>0可用还原法求解；
（3）图象法求解。
8. 型如三角函数的对称中心、对称轴的求法（A>0，B≠0）
图1
图2
（五）求初相的题型及解法分析
在三角函数问题中，我们经常遇到求函数的初相的问题，这一类问题是学习中的难点，又是高考中的热点，对此归纳如下：
1. 由图象求
此类问题，解题的关键是从图象特征入手，寻找解题突破口。
例1. 如图1所示函数的图象，则有（ ）
图1
A.
B.
C.
D.
解析：由已知易得A＝2；而函数图象过（0，1）和，再考虑到
故选C
例2.函数得部分图象如图2所示，则（ ）
图2
A.
B.
C.
D.
解析：由图象知
∵点（3，0）是在函数的单调递减的那段曲线上
因此
∴令k＝0，得
故选C
2. 由奇偶性求
例3.已知函数是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间上是单调函数，求的值。
解析：由是偶函数，得，即
所以对任意x都成立，且ω>0
所以，又由，解得：
3. 由最值求
例4. 函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则的一个值是（ ）
A. B. C. D.
解析：
∵当x＝2时取得最大值
即
，
当k＝0时，
故选A
4. 由对称性求
例5.设函数，图象的一条对称轴是直线，求
解析：因为图象的一条对称轴是直线，所以
于是有
又因为，所以
【模拟试题】
1. 如果扇形所在圆的半径为R，其圆心角的弧度数，则扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的值域是（ ）
A. B.
C. D.
5. 给出下列四个函数，其中在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 给出下列四个函数，其中既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为_____________。
8. 设a<0，角α的终边经过点P（-4a，3a），那么的值为__________。
9. 函数与的图象在上交点的个数是__________。
10. 由函数与函数的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_______________。
11. 已知扇形OAB，OA＝160cm，，求：
（1）∠AOB的弧度数；
（2）扇形OAB的面积。
12. 已知，求的值。
13. 设，求的值。
14. 已知，是否存在常数，使得的值域为？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由。
【试题答案】
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. A
7. 2 8. 9. 1 10.
11. （1）
（2）
12. 解：，则
又
13. 解：
又，
而
14. 解：存在，
若存在这样的有理数a、b，则
（1）当a>0时，不可能；
（2）当a<0时，
，即存在a、b且。
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高中数学必修4第一章三角函数专题复习学案
教学目的：
1. 对必修4第一章重点知识进行专题复习
2. 对必修4第一章热点问题进行专题探究
二. 重点、难点：
1. 任意角和弧度制问题的解题策略
2. 扇形的弧度和面积问题常见题目及解法
3. 活用诱导公式解题
4. 三角函数的图象及性质知识总结
5. 求初相的题型及解法分析
知识分析：
（一）任意角和弧度制问题的解题策略
有关任意角和弧度制问题的求解是“三角函数”中的常见问题，也是高考中的热点问题之一。解决这类问题应根据题设的特点，灵活采用相应的解题策略，如：
1. 特殊化策略
例1. 已知集合，，那么集合A、B的关系是什么？
解析：考虑在内，A、B的子集分别为
再利用周期性，知B是A的真子集。
点评：本题如果使用常规解法就比较抽象了，而且不易得出结论，考虑到它们有共有的周期，利用周期性通过研究它们在一个周期内的元素间的关系而得出两个集合的关系是一个聪明的做法。特殊化方法（如特殊值法等）是数学解题中非常常用的方法。
2. 数形结合
例2. 已知集合，，求A∩B。
解析：如图1，集合A中角的终边在阴影（Ⅰ）内，集合B中的角的终边在阴影（Ⅱ）内，因此集合A∩B中的角的终边在阴影（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分，所以
图1
点评：借助单位圆研究角的范围的问题既直观又方便。
3. 一个结论
结论：已知是第m象限角（m=1，2，3，4），求是第几象限角的问题，可先将各象限分成n等分，然后从x轴正方向上方的第一个区域起，按逆时针方向顺序标上1，2，3，4，1，2，3，4，依次循环，直至填充所有区域，其中标记数字m的区域对应着的范围。
例3. （2005全国）已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A. 第一或第二象限
B. 第二、第三或第四象限
C. 第一、第三或第四象限
D. 第一、第二、第三或第四象限
解析：如图2所示，先将各象限分成三等分，然后从x轴正方向上方的第一个区域起，按逆时针方向顺序标上1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，这样填满所有区域，其中标记数字3的区域对应着的范围（如图2），显然所在的象限是第一、第三或第四象限，应选（C）
图2
点评：本题如果采用不等式直接求解也可以，但解法抽象且易出错，而运用结论求解，数形结合，直观、准确。
（二）扇形的弧度和面积问题常见题目及解法
我们知道，扇形的弧长公式和面积公式，描述了S、l、α、r这四个量之间的内在联系，已知两个量，就可以求另外的两个量。
例题：解答下列各题：
（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的面积；
（3）已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：（1）设扇形的圆心角的弧度数为，弧长为l，半径为r，依题意得
消去l得：
解之得
当r＝1时，l＝8，此时，不合题意，应舍去
当r＝4时，l＝2，此时
（2）设扇形弧长为l，半径为r。
（3）设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则
∴当半径为r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时。
（三）活用诱导公式解题
诱导公式的推导和记忆是一个重点，但灵活且广泛的应用是它的又一大特色。
1. 三角形问题
例1. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
解：
即
∵B、C是△ABC的内角
故△ABC是等腰三角形
2. 奇偶性问题
例2. 函数的奇偶性是（ ）
A. 既非奇函数又非偶函数 B. 奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 偶函数
解：
所以，为偶函数，选D。
3. 分类讨论问题
例3. 求的值（）
解析：（1）当n为奇数时
原式
（2）当n为偶数时
原式
4. 最大值问题
例4. 求下列函数的最大值：
（1）；
（2）
解：（1）
其中
又
∴当且仅当时，
（2）
当时，
（四）三角函数的图象及性质知识总结
1. 能熟练画出函数的草图，会研究其奇偶性，单调性，周期，最值。已知图象会求A，ω，φ，B。
2. 熟练掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的图象、奇偶性、单调性、最值
3. 求三角函数的周期最常用的四种方法：
（1）公式法：的最小正周期是；
（2）的最小正周期是；
（3）图象法：利用图象变换画出函数图象观察其周期；
（4）定义法。
4. 三角函数最值的求法：
同角三角函数基本关系式，诱导公式及两角和差倍角公式化归为如下类型求解：
（1）基本型
（2）一元二次函数型；
（3）单调型（利用函数单调性求解）
5. 三角函数变换要抓住如下三个要点：
（1）变换前后的两个函数必须函数名相同、系数同正同负才能开始变换，否则先用诱导公式变形。这由教材不难得出如上结论。
（2）在图象变换顺序上、周期与相位的变换要注意，每一次变换都是对x而言。如：
而不是
（3）正难则反：正面难解，反面求之，往往出其不意，效果甚佳。
6. 三角函数奇偶性的判定方法：
（1）定义法：先求定义域，化简，判断。
（2）图象法。
7. 形如的三角函数单调性的判定方法：
（1）复合函数法；
（2）若能化成A>0且ω>0可用还原法求解；
（3）图象法求解。
8. 型如三角函数的对称中心、对称轴的求法（A>0，B≠0）
图1
图2
（五）求初相的题型及解法分析
在三角函数问题中，我们经常遇到求函数的初相的问题，这一类问题是学习中的难点，又是高考中的热点，对此归纳如下：
1. 由图象求
此类问题，解题的关键是从图象特征入手，寻找解题突破口。
例1. 如图1所示函数的图象，则有（ ）
图1
A.
B.
C.
D.
解析：由已知易得A＝2；而函数图象过（0，1）和，再考虑到
故选C
例2.函数得部分图象如图2所示，则（ ）
图2
A.
B.
C.
D.
解析：由图象知
∵点（3，0）是在函数的单调递减的那段曲线上
因此
∴令k＝0，得
故选C
2. 由奇偶性求
例3.已知函数是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间上是单调函数，求的值。
解析：由是偶函数，得，即
所以对任意x都成立，且ω>0
所以，又由，解得：
3. 由最值求
例4. 函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则的一个值是（ ）
A. B. C. D.
解析：
∵当x＝2时取得最大值
即
，
当k＝0时，
故选A
4. 由对称性求
例5.设函数，图象的一条对称轴是直线，求
解析：因为图象的一条对称轴是直线，所以
于是有
又因为，所以
【模拟试题】
1. 如果扇形所在圆的半径为R，其圆心角的弧度数，则扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的值域是（ ）
A. B.
C. D.
5. 给出下列四个函数，其中在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 给出下列四个函数，其中既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为_____________。
8. 设a<0，角α的终边经过点P（-4a，3a），那么的值为__________。
9. 函数与的图象在上交点的个数是__________。
10. 由函数与函数的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_______________。
11. 已知扇形OAB，OA＝160cm，，求：
（1）∠AOB的弧度数；
（2）扇形OAB的面积。
12. 已知，求的值。
13. 设，求的值。
14. 已知，是否存在常数，使得的值域为？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由。
【试题答案】
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. A
7. 2 8. 9. 1 10.
11. （1）
（2）
12. 解：，则
又
13. 解：
又，
而
14. 解：存在，
若存在这样的有理数a、b，则
（1）当a>0时，不可能；
（2）当a<0时，
，即存在a、b且。
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