16.角的平分线
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课件14张PPT。16.4角的平分线（1）2009.12问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题 1、 观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？探究 在△ADC和△ABC 中
AB=AD（已知）
AC=AC（公共边）
DC=BC（已知）
∴ △ADC≌△ABC (SSS)
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等）
∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）
证明 ：已知：AB=AD，BC=DC。
求证：AC是∠BAD的平分线已知： ∠ＡＯＢ(如图)
求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.2、基本作图：平分已知角思考：当∠AOB的两边成一条直线（即∠AOB=180° ），。通过上面的步骤得到射线OC后， OC是这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？1、折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？
PD和PE相等吗？
2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？
3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论。3、观察折纸，思考问题：将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
求证:PD=PE
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）
在△OPD和△OPE 中
∠DOP=∠BOP （已证）
∠ODP=∠OEP （已证）
OP=OP （已知）
∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS)
∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。DCs已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。应用与提高证明：
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）1、如图，连接角平分仪的
边BD、AC，那么AC与BD
有什么关系？为什么?提高与拓展2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？
角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。
1、 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
3、角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
作业：课堂内外
思考: 1、到一三角形三边距离相等的点有几个?画图说明.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
谢谢！2007 11 26
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题 1、 观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？探究 在△ADC和△ABC 中
AB=AD（已知）
AC=AC（公共边）
DC=BC（已知）
∴ △ADC≌△ABC (SSS)
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等）
∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）
证明 ：已知：AB=AD，BC=DC。
求证：AC是∠BAD的平分线已知： ∠ＡＯＢ(如图)
求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.2、基本作图：平分已知角思考：当∠AOB的两边成一条直线（即∠AOB=180° ），。通过上面的步骤得到射线OC后， OC是这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？1、折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？
PD和PE相等吗？
2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？
3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论。3、观察折纸，思考问题：将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
求证:PD=PE
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）
在△OPD和△OPE 中
∠DOP=∠BOP （已证）
∠ODP=∠OEP （已证）
OP=OP （已知）
∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS)
∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。DCs已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。应用与提高证明：
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）1、如图，连接角平分仪的
边BD、AC，那么AC与BD
有什么关系？为什么?提高与拓展2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？
角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。
1、 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
3、角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
作业：课堂内外
思考: 1、到一三角形三边距离相等的点有几个?画图说明.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
谢谢！2007 11 26