7阶段综合评价(三) 万有引力定律
(时间：75分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
解析：选A 设卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则得：G＝mr＝mω2r＝m＝ma，得：T＝2π ，ω＝，v＝ ，a＝，由此可知，卫星的轨道半径越大，周期越大，而角速度、线速度和向心加速度越小，“高分五号”的轨道半径比“高分四号”的小，所以“高分五号”较小的是周期，较大的是角速度、线速度和向心加速度，故选A。
2．“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为
B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
解析：选B 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得＝，又M＝πR3·ρ，解得ρ＝，A错误，B正确；由于＝mg，联立可得g＝，C、D错误。
3.中国行星探测标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
解析：选C 火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错误；角速度大小之比为2∶3，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。
4．2023年4月24日为第八个“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 360 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，选项D正确，选项A、B、C错误。
5．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知每过N年地球比行星多运动一周，即－＝1，再结合开普勒第三定律＝C，有＝＝ ，B正确。
6．人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动，卫星乙是地球同步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的倍，某时刻两卫星和地心在同一直线上，且 乙在甲的正上方(称为相遇)，如图所示。在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了( )
A．4次 B．3次
C．2次 D．1次
解析：选B 由于两卫星只能在题图所示位置或由题图所示位置转过半圈的位置才能相遇，故由T＝2π ∝知T乙＝5T甲，当乙运动0.5圈、1圈、1.5圈时，甲刚好运动了2.5圈、5圈、7.5圈，即甲运动8圈时间内二者相遇3次。
7．嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是( )
A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重
B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等
C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等
D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
解析：选D 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误。嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ运行至P处时的速率小于在轨道Ⅱ运行至P处时的速率；加速过程有外力对嫦娥五号做功，则机械能增大，故B、C错误。根据G＝ma得a＝，可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确。
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
8．“火星冲日”现象是指火星运行至距离地球最近的位置，火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3
B．地球与火星的公转线速度大小之比为∶2
C．地球与火星的公转周期之比为∶
D．地球与火星的向心加速度大小之比为∶
解析：选BC 根据G＝m＝mω2r＝m＝ma，解得ω＝ ，则地球与火星的公转角速度大小之比为，选项A错误；v＝ ，则地球与火星的公转线速度大小之比为，选项B正确；T＝2π ，则地球与火星的公转周期之比为∶，选项C正确；a＝，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，选项D错误。
9．探月工程中，“嫦娥四号”探测器的发射可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100 km圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，探测器将在M点着陆月球表面，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小
B．“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大
C. “嫦娥四号”在轨道1上运动周期比在轨道2上小
D．“嫦娥四号”在轨道1上经过Q点时的加速度小于在轨道2上经过Q点时的加速度
解析：选AB 月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，“嫦娥四号”在轨道1上的运动半径大于月球半径，根据＝m，得线速度v＝ ，可知“嫦娥四号”在轨道1上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A正确。“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过P点若要进入轨道1，需减速，所以在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大，故B正确。 根据开普勒第三定律得“嫦娥四号”在轨道2上运动轨道的半长轴比在轨道1上轨道半径小，所以“嫦娥四号”在轨道1上运动周期比在轨道2上大，故C错误。“嫦娥四号”无论在哪个轨道上经过Q点时的加速度都为该点的万有引力产生的，因为都是同一位置，万有引力在此产生的加速度相等，故D错误。
10．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
解析：选AC 据＝mR，可得T＝2π ，可知半径越大，则周期越长，故选项A正确；据＝m，可得v＝ ，可知轨道半径越大，则速度越小，故选项B错误；如果测得周期，则有M＝，其中R是P的轨道半径；如果测得张角θ，则该星球半径为：r＝Rsin，所以M＝ρV＝πr3ρ＝π3ρ，则ρ＝，故选项C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球密度，选项D错误。
三、非选择题(本题共4小题，共54分)
11．(12分)学完万有引力定律及航天的知识后，两位同学在探究学习时，一位同学设想可以发射一颗周期为1 h的人造环月卫星，而另一位同学表示不可能有这种卫星。这两位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他们记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，地球半径约为6.4×103 km，地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2。经过推理，他们认定不可能有周期为1 h的人造环月卫星，试写出他们的论证方案。
解析：对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：＝mr，解得：T＝2π ；当r＝R月时，T有最小值，又＝g月， 所以Tmin＝2π＝2π＝2π ，代入数据解得Tmin＝1.73 h；
环月卫星最小周期为1.73 h，故不可能有周期为1 h的人造环月卫星。
答案：见解析
12．(12分)量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，静止轨道卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。
解析：设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力
则有G＝m，又r1＝mR，
解得v1＝ ，
对静止轨道卫星，根据万有引力提供向心力
则有G＝m′，又r2＝nR，
解得v2＝ ，
静止轨道卫星与P点有相同的角速度，则有：ω＝＝，
解得v3＝＝ ，
则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为
＝＝。
答案：
13．(14分)设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图所示。设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，试求：
(1)月球的质量。
(2)轨道舱的速度和周期。
解析：(1)设月球的质量为M，
则在月球表面G＝mg，
解得月球质量M＝。
(2)设轨道舱的速度为v，周期为T，
则G＝m，解得v＝R ，
由G＝mr，解得T＝ 。
答案：(1) (2)R
14．(16分)宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v0水平抛出，水平射程为x。已知月球的半径为R，引力常量为G。不考虑月球自转的影响。求：
(1)月球表面的重力加速度大小g0 ；
(2)月球的质量M；
(3)飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v。
解析：(1)设飞船质量为m，设小球落地时间为t，根据平抛运动规律
水平方向x＝v0t，竖直方向h＝g0t2，
解得g0＝。
(2)在月球表面忽略月球自转时，有＝mg0，
解得月球质量 M＝。
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律＝m，
解得 v＝。
答案：(1) (2) (3)
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第三章 万有引力定律
一、主干知识成体系
二、迁移交汇辨析清
(一)天体运动中四组易混概念的比较
1．两个半径——天体半径和卫星轨道半径
(1)天体半径R：在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小。
(2)卫星轨道半径r：卫星绕中心天体做圆周运动的轨道圆的半径。
[特别提醒] 当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为r ＝ R 。
2．三种速度——运行速度、发射速度和宇宙速度
[典例1] [多选]我国长征八号运载火箭的成功研制更加有利于开展空间科学技术试验研究。现假设探测到两个未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列说法正确的是( )
A．行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等
B．行星A的同步卫星的线速度与行星B的同步卫星的线速度相等
C．行星A、B表面的重力加速度与行星半径的比值相等
D．行星A的第一宇宙速度与行星B的第一宇宙速度相等
答案：AC
[针对训练]
1．[多选]下列关于三种宇宙速度的说法正确的是 ( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．我国发射的“天问一号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
2．[多选]如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则 ( )
A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析：11.2 km/s是卫星脱离地球引力束缚的发射速度，而同步卫星仍然绕地球运动，故选项A错误；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星做圆周运动最大的环绕速度，同步卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，故选项B错误；P点是椭圆轨道Ⅰ上的近地点，故卫星在P点的速度大于在Q点的速度，卫星在轨道Ⅰ上的Q点做向心运动，只有加速后才能沿轨道Ⅱ运动，故选项C、D正确。
答案：CD
(二)近地卫星、静止轨道卫星与赤道上物体的比较
续表
[典例2] [多选]如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、静止轨道卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是 ( )
A．三者的周期关系为TA＜TB＜TC
B．三者向心加速度大小关系为aA＞aB＞aC
C．三者角速度的大小关系为ωA＝ωC＜ωB
D．三者线速度的大小关系为vA＜vC＜vB
[解题指导] 分析本题抓住以下两个关键：
(1)A、C的共同点：具有相同的周期和角速度。
(2)B、C的共同点：F万＝F向。
解决两类卫星与赤道上物体问题的三点提醒
(1)近地卫星与静止轨道卫星的共同点是卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。
(2) 静止轨道卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的周期和角速度。
(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动参量时，借助静止轨道卫星这一纽带，往往会使问题迎刃而解。
三、模型构建探本质
天体运动中的“追及相遇”问题
1．天体运动中的“追及相遇”问题
是指有些星体绕同一中心天体做圆周运动，他们的轨道共面，绕行方向一致，在运行中会出现相距“最近”与“最远”的问题：
(1)当它们在中心天体同侧与中心天体共线时相距最近，称为“相遇”；
(2)当它们在中心天体异侧与中心天体共线时相距最远。
2．处理方法
绕同一中心天体做圆周运动的两颗星体之间的距离最近或最远时，它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不重合，因此在相距最近和最远的问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过星体运动转过的圆心角来比较。
从两个星体的位置在中心天体同侧且与中心天体共线时开始计时，内侧轨道的星体所转过的圆心角与外侧轨道的星体所转过的圆心角之差：
(1)等于2π的整数倍时就是相距最近的时刻，即
ω内t－ω外t＝k·2π ，k＝1,2,3，…
(2)等于π的奇数倍时就是相距最远的时刻，即
ω内t－ω外t＝(2k－1)·π ，k＝1,2,3，…
[针对训练]
答案：AB
2．[多选]天文爱好者熟知的“土星冲日”现象是指土星和太阳正好分别处在地球的两侧，三者几乎成一条直线。该天象每378天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨道都近似为圆，地球绕太阳公转周期和半径以及引力常量均已知，根据以上信息可求出 ( )
A．土星质量 B．地球质量
C．土星公转周期 D．土星和地球绕太阳公转速度之比
四、创新应用提素养
(一)飞船对接问题
1．低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
2．同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
[针对训练]
1．我国发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行。已知对接轨道处所处的空间存在极其稀薄的空气，下列说法正确的是 ( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，组合体的速率会增加
C．先让“天舟一号”进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接
D．航天员在睡觉时处于平衡状态
2．我国先发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是 ( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析：若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，则飞船将做离心运动，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则空间实验室将做近心运动，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误。
答案：C
(二)天体运动与抛体运动的综合
关于万有引力定律的应用考查，也常与抛体运动综合命题。在地球上所有只在重力作用下的运动形式：如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，要特别注意在不同的天体上重力加速度一般不同。
[针对训练]
3．[多选]宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( )
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
