阶段综合评价(二) 圆周运动
(时间：75分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图为参加短道速滑比赛中的运动员。假定此时运动员正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则运动员( )
A．所受的合力为零
B．所受的合力大小恒定，方向不变
C．所受的合力大小恒定，方向变化
D．所受的合力大小变化，方向变化
解析：选C 运动员此时做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，合外力大小恒定，方向指向圆心，即始终与速度方向垂直，所以运动员所受合力大小恒定，方向变化，A、B、D错误，C正确。
2.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
解析：选A 圆周运动中线速度定义为单位时间内通过的圆弧长，即v＝，所以线速度大小之比为4∶3，A正确；角速度定义为单位时间内转过的弧度角，即ω＝，且运动方向改变角度等于圆心角，所以角速度大小之比为3∶2，B错误；半径R＝，即半径之比为8∶9，C错误；向心加速度a＝vω，即向心加速度大小之比为2∶1，D错误。
3．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，如图甲所示，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。对于摩托车的运动，可以简化成如图乙所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，车轮和接触面间没有侧向滑动趋势，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的角速度将越大
D．摩托车做圆周运动的向心力大小随h的变化而改变
解析：选B 摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力和支持力的合力，如图所示，侧壁对摩托车的支持力F＝不变，则摩托车对侧壁的压力不变，摩托车做圆周运动的向心力Fn＝mgtan θ，可知向心力不随h变化而变化，A、D错误； 根据mgtan θ＝m，可知，h越高，r越大，则v越大，B正确；根据mgtan θ＝mrω2，可知，h越高，r越大，则ω越小，C错误。
4.如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中a、b两点( )
A．角速度大小相同
B．线速度大小相同
C．周期大小不同
D．转速大小不同
解析：选A 因为两轮同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，故A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v＝ωr可知，线速度大小不同，故B错误。
5.近几年各学校流行跑操。某学校学生跑操队伍在通过圆形弯道时，每一列的连线沿着跑道，每一排的连线是一条直线，且必须与跑道垂直，在跑操过程中，每位同学之间的间距保持不变。如图为某班学生队伍以整齐的步伐通过圆形弯道时的情形，此时刻( )
A．同一排学生的线速度相同
B．同一列学生的线速度相同
C．全班同学的角速度相同
D．同一列学生的向心加速度相同
解析：选C 全班同学同轴转动，所以角速度相同，根据v＝ωr可知同一排学生半径不同，线速度大小不同，故A错误，C正确；同一列学生线速度方向不同，故B错误；同一列学生向心加速度方向不同，故D错误。
6．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是( )
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力逐渐减小
D．当v由值逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
解析：选B 由题可知，v的极小值为0，选项A错误；当v在0～范围内逐渐变大时，根据mg－FN＝m可知，FN逐渐减小；当v在大于范围内逐渐变大时，根据mg＋FN＝m可知，FN逐渐变大， 故选项B正确，C、D错误。
7．半径为R＝1 m的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O点的正上方将一个可视为质点的小球以4 m/s的速度水平抛出，半径OA方向恰好与该初速度的方向相同，如图所示，若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，则圆盘转动的角速度大小可能是( )
A．2π rad/s B．4π rad/s
C．6π rad/s D．8π rad/s
解析：选D 小球平抛运动的时间为t＝＝s＝0.25 s，小球平抛运动的时间和圆盘转动的时间相等，则有t＝nT＝n，解得ω＝＝8nπ，n＝1,2,3，…
当n＝1时，ω＝8π rad/s；当n＝2时，
ω＝16π rad/s，故D正确。
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
8.如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
解析：选BD 座舱的运动周期T＝＝，A错误；根据线速度与角速度的关系，可得v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，故C错误、D正确。
9.如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则( )
A．飞镖击中P点所需的时间为t＝
B．圆盘的半径可能为
C．圆盘转动角速度的最小值为
D．P点随圆盘转动的线速度大小可能为
解析：选AD 飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则有t＝，故A正确；飞镖击中P点时，P恰好在最下方，有2r＝gt2，
解得圆盘的半径r＝，故B错误；
飞镖击中P点，则P点转过的角度满足
θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0,1,2，…)
可得ω＝＝，
则圆盘转动角速度的最小值为，故C错误；P点随圆盘转动的线速度为
v＝ωr＝×＝，
当k＝2时，v＝，故D正确。故A、D正确。
10．如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，则(不计摩擦)( )
A．M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B．M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C．v2与r成正比
D．ω2与r成正比
解析：选AC 物体N静止不动，绳子拉力与物体N重力相等，物体M做匀速圆周运动，绳子拉力完全提供向心力，即T＝mNg＝F向，所以M所需向心力大小等于N所受重力的大小，A正确，B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝m，则v2与r成正比，C正确；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝mω2r，则ω2与r成反比，D错误。
三、非选择题(本题共5小题，共54分)
11．(7分)根据公式F向＝m和F向＝mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力。如图甲所示，用一根细绳(可视为轻绳)一端拴一个小物体，绳上离小物体40 cm处标为点A,80 cm处标为点B。将此装置放在光滑水平桌面上(如图乙所示)抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时。
操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1。
操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2。
操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3。
(1)小物体做匀速圆周运动的向心力由______________提供；
(2)操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的________________相同；
(3)如果在上述操作中突然松手，小物体将做________________________。
解析：(1)小物体做匀速圆周运动时，竖直方向受到重力与支持力，二力平衡，向心力由绳子拉力提供。
(2)操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期(或角速度、转速)相同。
(3)在上述操作中突然松手，绳子的拉力突然消失，小物体将做匀速直线运动。
答案：(1)绳子拉力 (2)周期(或角速度、转速)
(3)匀速直线运动
12．(9分)某学习小组做探究向心力与向心加速度关系实验。实验装置如图甲：一轻质细线上端固定在拉力传感器O点，下端悬挂一质量为m的小钢球。小球从A点静止释放后绕O点在竖直面内沿着圆弧ABC摆动。已知重力加速度为g，主要实验步骤如下：
(1)用游标卡尺测出小球直径d。
(2)按图甲所示把实验器材安装调节好。当小球静止时，如图乙所示，毫米刻度尺0刻度与悬点O水平对齐(图中未画出)，测得悬点O到球心的距离L＝________ m。
(3)利用拉力传感器和计算机，描绘出小球运动过程中细线拉力大小随时间变化的图线，如图丙所示。
(4)利用光电计时器(图中未画出)测出小球经过B点过程中，其直径的遮光时间为Δt；可得小球经过B点瞬时速度为v＝________(用d、Δt表示)。
(5)若向心力与向心加速度关系遵循牛顿第二定律，则小球通过B点时物理量m、v、L、g、F1(或F2)应满足的关系式为：____________________________________________。
解析：(2)由题图所示刻度尺可知，其分度值为1 mm，其示数为：86.30 cm＝0.863 0 m(0.862 5～0.863 5均正确)；
(4)小球经过B点时的瞬时速度：v＝；
(5)由题图所示图像可知，小球经过B点时绳子的拉力为F2，绳子的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：F2－mg＝m。
答案：(2)0.863 0 (0.862 5～0.863 5均可) (4)
(5)F2－mg＝m
13．(10分)如图是一种高速喷射流测速器，金属环的半径为R，以角速度ω旋转，当狭缝P经过喷射口时，粒子就进入圆环，如果环不转动，粒子应沿直径打在A点，由于环高速转动，因此粒子将落到A′点。OA′与OA间夹角为θ，则喷射流的速度为多少？(重力和空气阻力不计)
解析：设喷射流的速度为v，据题知：粒子落到A′点时金属环转过的角度α＝θ＋2πn，n＝0,1,2，…
根据＝，解得v＝，n＝0,1,2，…。
答案：(n＝0,1,2，…)
14．(12分)A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与A球相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴上，如图所示。当球A、B均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。
(1)此时弹簧伸长量多大？细线拉力多大？
(2)将细线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
解析：(1)B球受到的弹簧弹力提供做圆周运动的向心力，设弹簧伸长量为Δl，满足kΔl＝m2ω2(l1＋l2)，
则弹簧伸长量Δl＝，
A球受细线拉力FT和弹簧弹力F，做匀速圆周运动，满足FT－F＝m1ω2l1，
细线拉力FT＝m1ω2l1＋m2ω2(l1＋l2)。
(2)细线烧断瞬间，
A球加速度a1＝＝，
B球加速度a2＝＝ω2(l1＋l2)。
答案：(1) m1ω2l1＋m2ω2(l1＋l2)
(2) ω2(l1＋l2)
15．(16分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的轻绳长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其重力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。
解析：(1)当物体恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零，此时符合条件的角速度最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω02r，得ω0＝ 。
(2)当ω＝ 时，ω＞ω0，此时绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时有F＋μmg＝mω2r，
解得F＝μmg。
答案：(1) (2)μmg
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第二章 圆周运动
一、主干知识成体系
二、迁移交汇辨析清
三类平面上的圆周运动问题
类型(一) 水平面上的圆周运动
[典例1] (2024·广东高考)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
答案：A
解析：物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，解得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
答案：C
三、模型构建探本质
(一)圆锥摆模型
1．物理模型
细线下面悬挂一个小球，设法使小球在某个水平面内做匀速圆周运动，形成一个圆锥摆，如图所示。
2．向心力的来源
细线拉力FT与小球所受重力mg的合力提供向心力，或者说是细线拉力在水平面内指向圆心的分力提供向心力。
[针对训练]
1．[多选] 如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是 ( )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速率越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
2．(2024·江苏高考)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处的水平面内做匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处的水平面内做匀速圆周运动，不计一切摩擦，则( )
A．线速度vA> vB
B．角速度ωA>ωB
C．向心加速度aA< aB
D．向心力FA>FB
答案： C
(二)圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题。这类问题的一般解题思路是：分别隔离物体，准确受力分析，正确画出受力示意图，确定轨道平面和半径，注意约束关系。在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系。常见实例如下：
情景示例 情景图示 情景说明
情景1 A、B两小球固定在轻杆上，随杆一起绕杆的端点O做圆周运动。注意：计算杆OA段的拉力时，应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象
情景2 A、B两物块用细绳相连沿半径方向放在转盘上，随转盘一起转动，当转盘转速逐渐增大时，物块A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动(设A、B两物块与转盘间的动摩擦因数相等)
情景3 A、B两物块叠放在一起随转盘一起转动，当求转盘对物块B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心运动时，注意比较两接触面间的动摩擦因数大小
续表
情景4 A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上，随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等，角速度相同，圆周运动的轨道半径与小球质量成反比
续表
[针对训练]
4．[多选]如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等均为m的两个物体A和B(A、B可以看作质点)，它们与盘面间的动摩擦因数均为μ，A、B之间细线的长度为L，细线长度等于B到圆盘圆心的距离，下列说法正确的是 ( )
