5.3.2 函数的最大(小)值 课件(共22张PPT)2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共22张PPT)
第2课时
第五章
函数的最大(小)值
5.3.2函数和极值与最大（小）值
复习
1.设函数f(x)=xex，则
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点
√
令f'(x)=ex+x·ex=(1+x)ex=0，
得x=-1.
当x<-1时，f'(x)<0；
当x>-1时，f'(x)>0.
故x=-1为f(x)的极小值点.
2.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是
A.(-∞，2) B.(3，+∞)
C.(2，+∞) D.(-∞，3)
∵f'(x)=6x2+2ax+36，且在x=2处有极值，
√
√
∴f'(2)=0，即24+4a+36=0，解得a=-15，
∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3)，
由f'(x)>0得x<2或x>3.
知识梳理
在某区间I上，
单调递增
单调递减
f'(x)≥0
f'(x)≤0
若f'(x)<0 函数f(x)在I上 .
若f'(x)>0 函数f(x)在I上 ；
在某区间I上，
若函数f(x)在I上单调递增 ；
若函数f(x)在I上单调递减 .
见课本P86
复习导数与增减性
知识梳理
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
而且在点x=a附近的左侧 ，右侧 ，
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近
其他点处的函数值都小，f'(a)=0；
f'(x)<0
f'(x)>0
极小值点
极小值
则把a叫做函数y=f(x)的 ，f(a)叫做函数y=f(x)的 .
复习导数与极小值
(2)极大值点与极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他
点处的函数值都大，f'(b)=0；
而且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，
则把b叫做函数y=f(x)的 ，f(b)叫做函数y=f(x)的 .
(3)极大值点、极小值点统称为 ，极大值和极小值统称为 .
f'(x)>0
f'(x)<0
极大值点
极大值
极值点
极值
复习导数与极大值
1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值.
2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题.
3.能根据最值求参数的值或取值范围.
学习目标
知识梳理
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
那么它必有最大值和最小值.
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，
则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；
若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，
则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.
见课本P93
(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；
<<<
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值
和最小值的充分不必要条件.
(1)如图是函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象，写出
函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
例 1
由题图可知，y=f(x)在x1，x3处取得极小值，
在x2处取得极大值，
所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；
比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，
最大值在b处取得，最大值为f(b).
(2)求函数f(x)=2x3-12x，x∈[-2，3]的最值.
反
思
感
悟
求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求在(a，b)内方程f'(x)=0的所有根；
(2)计算(1)中所有根对应的函数值；
(3)把(2)中计算的函数值与f(a)，f(b)比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
见课本P93-P94
见课本P93例6上一段：
不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函
数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。
(1)设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论
中正确的是
A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
跟踪训练 1
√
根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，
f(x)的最值点不一定是极值点，
可能是区间的端点。
连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点。
所以C正确.
反
思
感
悟
含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，
其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.
若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，
最值在端点处取得；
若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，
再与端点值比较后确定最值.
已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值.
例 3
由题设知a≠0，否则f(x)=b为常数函数，与题设矛盾.
求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，
令f'(x)=0，得x1=0，x2=4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，
f'(x)，f(x)的变化情况如表：
由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b，
也就是函数在[-1，2]上的最大值，
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3，
f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29，
解得a=2.
②当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[-1，2]上的最小值，
∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)，
∴f(2)=-16a-29=3，解得a=-2.
综上可得，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
反
思
感
悟
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
跟踪训练 3
∵h(x)=x3+3x2-9x+1，
∴h'(x)=3x2+6x-9.
令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1，
当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如表：
∴当x=-3时，h(x)取极大值28；
当x=1时，h(x)取极小值-4.
而h(2)=3∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，
则k≤-3.
∴k的取值范围为(-∞，-3].
课堂小结
1.知识清单：
(1)求函数的最值.
(2)求含参数的函数的最值.
(3)根据最值求参数的值或范围.
2.方法归纳：
转化法、分类讨论.
3.常见误区：
分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.
1.下列结论正确的是
A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，
√
极值一定不会在端点处取得，
而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
√
由题意得，f'(x)=3ax2，则f'(1)=3a=6，解得a=2，
所以f'(x)=6x2≥0，
故f(x)在[1，2]上单调递增，则f(2)=2×23+c=20，解得c=4.
√
√