广西壮族自治区来宾市第八中学2024-2025学年高一下学期4月期中 数学试题（含详解）

来宾市第八中学2025年春季学期段考
高一数学
（试卷满分：150分； 考试时间：120分钟； 考试模式：闭卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果复数，那么( )
A. B.2 C.4 D.8
2．复数1+i的虚部是( )
A.1 B.-1 C.i D.1i
3．已知，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4．化简( )
A. B. C. D.
5．已知球的体积为,则它的半径为( )
A.2 B. C.4 D.
6．已知，，，则( )
A. B. C.5 D.
7．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中，已知a=3，b=5，c=，则最大角与最小角的和为(　　)
A.90° B.120° C.135° D.150°
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量,,则( )
A.若与垂直，则 B.若，则的值为-5
C.若，则 D.若，则与的夹角为
10．设，，表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得的是( )
A.， B.， C.， D.，
11．已知复数，以下说法正确的是( )
A.z的实部是3 B.
C. D.z在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知i为虚数单位，则____________.
13．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为_________.
14．若球的表面积为,则该球的半径是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分） 在△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，解这个三角形.
16．（15分）已知一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，求这个圆柱的侧面积.
17．（15分）如图,在正方体中，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积.
18.（17分） 已知，.
（1）求证：，不共线:
（2）若，求实数m，n的值;
（3）若与平行，求实数k的值.
19 .（17分）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证：
B1C1∥平面A1EF.
平面A1EF∥平面BCGH.
参考答案
1．答案：A
解析：∵，
∴.
故选：A.
2．答案：A
3．答案：A
解析:由已知,又,
,
故选:A.
4．答案：D
解析：,
故选:D
5．答案：A
解析：设球的半径为r,则,解得.
故选：A.
6．答案：C
解析：由，，得，
所以.
故选：C
7．答案：A
解析：由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
答案：B
解析：在△ABC中,因为a=3,b=5,c=,
所以最大角为B,最小角为A.
所以cos C===.
因为C∈(0°,180°),所以C=60°.
所以A+B=120°,所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.
故选B.
9．答案：ABC
解析：对于A,若与垂直,则,解得,故A正确;
对于B,若,则,解得,此时,故B正确;
对于C,若,则,故C正确;
对于D,若,则,注意到此时,
与的夹角的余弦值为,故D错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：对于A，若，，则，可能相交，A选项错误.
对于B，若，，则，B选项正确.
对于C，若，，则，C选项正确.
对于D，若，，则，可能相交，D选项错误.
故选：BC
11．答案：ABC
解析：,则z的实部是3,故A正确;,B正确;,C正确,z在复平面内对应的点的坐标是,在第四象限,故D错误.故选ABC.
12．答案：2
解析：.
故答案为：2.
13．答案：2
解析：如图，将直观图还原，
则，
的面积为.
故答案为：2.
14．答案：1
解析：设球的半径为R,依题意,解得（负值已舍去）.
故答案为：1.
15．解:因为A=45°,C=30°,
所以B=180°-(A+C)=105°.
由=,
得a==10×=10.
因为sin B=sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=,
所以b==10×
=20×=5+5.
16．答案：
解析：由题意可知，圆柱的底面半径为，母线长为，
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为在正方体中,,,
所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面ACE,平面ACE,
所以平面ACE.
（2）因为正方体的棱长是1,E是的中点,所以,
三角形ABC的面积,
三棱锥的体积.
18. 答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）,,由于,故,不共线,
（2）,
则,,解得,.
（3）,
与平行,则,得.
19.证明:(1)因为E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
又在三棱柱ABCA1B1C1中,BC∥B1C1,
所以B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF,EF 平面A1EF,
所以B1C1∥平面A1EF.
(2)由(1)知EF∥BC,EF 平面BCGH,BC 平面BCGH,
所以EF∥平面BCGH.
又因为F,G分别为AC,A1C1的中点,
故FC=AC,A1G=A1C1.
又因为AC∥A1C1,AC=A1C1,
所以FC∥A1G,FC=A1G.
所以四边形FCGA1为平行四边形.
所以A1F∥GC.
又因为A1F 平面BCGH,GC 平面BCGH,
所以A1F∥平面BCGH.
又因为A1F∩EF=F,A1F,EF 平面A1EF,
所以平面A1EF∥平面BCGH.