2024-2025学年人教A版数学必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步课堂练习(含详解)

第六章　6.1平面向量的概念
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．设点O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( )
A．平行向量 B．有相同终点的向量
C．相等向量 D．模相等的向量
3．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是( )
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
4．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A．一条线段 B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
6．(多选题)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( )
A．＝
B．∥
C．||＝||
D．＝
7．如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
A．||＝||
B．与共线
C．与共线
D．与共线
8．(多选题)在下列结论中，正确的是( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
二、填空题
9．零向量与单位向量的关系是_ __(填“共线”“相等”“无关”)．
10．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出___个互不相等的非零向量．
11.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
(1)图中与共线的向量有　；
(2)图中与相等的向量有　；
(3)图中与的模相等的向量有　；
(4)图中与相等的向量有　.
12．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于_ __.
13．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是___.
三、解答题
14．如图，线段AE的四等分点分别是B，C，D，写出以A，B，C，D，E中的两点为起点和终点，且分别满足下列条件的向量：
(1)与共线且长度为||的所有向量；
(2)与相等的所有向量．
15.如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
16．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
第六章　6.1平面向量的概念
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　由物理学知识知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定义．故选B．
2．设点O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( D )
A．平行向量 B．有相同终点的向量
C．相等向量 D．模相等的向量
[解析]　画出图形如图所示，显然向量，，，是模相等的向量．
3．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
[解析]　如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
4．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( B )
A．一条线段 B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
[解析]　由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．
5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( B )
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
[解析]　如图，因为D，E分别是AB，AC的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以与共线．
6．(多选题)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( ABC )
A．＝
B．∥
C．||＝||
D．＝
[解析]　由正六边形的性质可得＝，∥，||＝||＝||，显然与的方向不同，所以≠.
7．如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )
A．||＝||
B．与共线
C．与共线
D．与共线
[解析]　||与||一定相等，和一定共线，和一定共线，若与共线，则BD∥EH，所以∠BDC＝∠DEH，显然不成立，所以与不共线．故选C．
8．(多选题)在下列结论中，正确的是( ACD )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
[解析]　若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A正确，B错误，C、D正确，故选ACD．
二、填空题
9．零向量与单位向量的关系是_共线__(填“共线”“相等”“无关”)．
10．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出_6__个互不相等的非零向量．
[解析]　模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．
11.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
(1)图中与共线的向量有 ，，，，，，　；
(2)图中与相等的向量有 ，　；
(3)图中与的模相等的向量有 ，，，，，，，，　；
(4)图中与相等的向量有 　.
12．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于_3π__.
[解析]　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
13．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是_③④__.
[解析]　①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．
三、解答题
14．如图，线段AE的四等分点分别是B，C，D，写出以A，B，C，D，E中的两点为起点和终点，且分别满足下列条件的向量：
(1)与共线且长度为||的所有向量；
(2)与相等的所有向量．
[解析]　(1)，，，，.
(2)，.
15.如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解析]　(1)与相等的向量为、，与相等的向量为.
(2)，，.
16．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
[解析]　(1)画出所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.