1.4 角平分线的性质 课件 (7)（30PPT）

课件30张PPT。角平分线的性质一、教学目标：
1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理．
2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理
3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力.
4.能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.
5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，养成永无止境的科学探索精神.
二、教学重点、难点： 1.教学重点：掌握角的平分线的性质定理及其逆定理.
2.教学难点：角平分线定理和逆定理的应用 将∠AOB对折,画出第一条折痕OC，在折痕OC上任取一点Ｐ;
　　将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使折痕OP为斜边),然后展开,画出第二条折痕PD、PE,并标出垂直符号，思考：PD和PE之间有什么大小关系? 动手折一折探究结论角的平分线上的点到角两边的距离相等.结论：在角平分线上的点到角两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.∵ PD⊥OA，PE⊥OB,证明：∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°∴在△POD和Rt△PEO中　
∴ △PDO≌△PEO（AAS）　∠ PDO＝∠PEO
∠ POD＝∠POE
OP=OPC∵ OC平分∠AOB,∴ ∠POD= ∠POE∴ PD= PE角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等．∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE用数学语言表示为：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的一边的距离的是（ ）
课堂点兵（Ａ）（Ｂ）Ａ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）练习：∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√不必再证全等合作探究′逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.OCBAPDE证明:
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
　 ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△PDO和Rt△PEO中
　 PO＝PO（公共边） PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
　 ∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上已知：如图,∠AOB中，PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．P过点O,P做射线OP逆定理: 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 用符号语言表示为:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足
分别是D,E,且PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.OCBAPDE二.角平分线性质定理的逆定理 1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离相等总结归纳基本应用填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)∠1＝∠2
　　　　　　　　　DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等例1.已知:如图,∠C=900,∠B=300,
AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD＝2CD. ABCDE例:已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定）B·OABCP300m┒┓S解：300m＝30000cm
30000÷20000=1.5cm已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。变一变已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。应用与提高证明：
∵　AD平分∠CAB
　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴　CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
　　 CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.1.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线. 2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON的平分线交于点O，PD⊥MN， 垂足为D，且PD=2米
求： △MON的面积到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE课堂小结用数学语言表示为：课堂作业2、如图,在△ABC中,已知AC=BC,
∠C=900,AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD＝4cm，AC的长(2)求证:AB＝AC＋CD.1：如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC， 且PB=PC，D是AP上一点。 求证： ∠BDP= ∠CDP例 2 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等DEF 如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上　　　练习小结:1：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.你发现了什么？