课时跟踪检测（九） 圆周运动的两种模型和临界问题
A组—重基础·体现综合
1．如图甲所示是杂技演员表演的“水流星”节目，在长为1.8 m的细绳的两端，各系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的中点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图乙所示，若“水流星”通过最高点时的速率为3 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：选B 水流星在最高点的临界速度v＝＝3 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B。
2．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析：选B 水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m，解得v ≤，故选项B正确。
3.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)( )
A．1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D．3 rad/s
解析：选B 对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。
4．[多选]球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接，如图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么( )
A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B．球A转动的半径是球B转动半径的一半
C．当A球质量增大时，球A向外运动
D．当ω增大时，球B向外运动
解析：选BC 因为杆光滑，两球的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故选项A错误；由F＝mω2r，mA＝2mB，得rB＝2rA，故选项B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，故选项C正确；当ω增大时，球B不动，故选项D错误。
5．某特技演员曾飞车挑战世界最大环形车道。如图所示，环形车道竖直放置，半径为6 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，特技演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态
B．汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N
C．汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s
D．若要挑战成功，汽车在最高点的速率不可能低于12 m/s的恒定速率运动
解析：选B 汽车通过最低点时，加速度方向竖直向上，特技演员处于超重状态，故A错误；汽车在最高点，根据牛顿第二定律得，FN＋mg＝m，解得FN＝m－mg＝14 000 N，故B正确；汽车在环形车道上的角速度ω＝＝ rad/s＝2 rad/s，故C错误；要想通过最高点，临界情况是轨道对汽车的压力为零，根据牛顿第二定律得，mg＝m，解得v′＝＝ m/s＝2 m/s，即最小速度为2 m/s，故D错误。
6．[多选]如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则( )
A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等
D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等
解析：选BC 在最高点，若小球对内壁为压力，则mg－FN＝，解得FN＝mg－；若小球对外壁为压力，则mg＋FN′＝，解得FN′＝－mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝，解得FN＝＋mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误。
7．长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。
解析：小球在最高点的受力如图所示。
(1)杆的转速为2 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s，
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N，
即杆对小球有138 N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n′＝π rad/s，
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N，
力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，即杆对小球有10 N的向上的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。
答案：(1)138 N，方向竖直向上
(2)10 N，方向竖直向下
B组—重应用·体现创新
8.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
解析：选D 设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。
9.(多选)如图所示，倾角θ＝30°的斜面体C固定在水平面上，置于斜面上的物块B通过细绳跨过光滑定滑轮(滑轮可视为质点)与小球A相连，连接物块B的细绳与斜面平行，滑轮左侧的细绳长度为L，物块B与斜面间的动摩擦因数μ＝。开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力，现让A在水平面内做匀速圆周运动，物块B始终静止，则A的角速度可能为( )
A. B.
C. D.
解析：选ACD 开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力，则有mAg＝mBgsin θ，解得mB＝2mA。当A以最大角速度做圆周运动时，要保证B静止，此时绳子上的拉力FT＝mBgsin θ＋μmBgcos θ＝2mAg。设A以最大角速度做圆周运动时绳子与竖直方向的夹角为α，则cos α＝＝，α＝60°，对A受力分析可知，物体A做圆周运动的半径R＝Lsin α＝L，向心力为Fn＝FTsin α＝mAg，由向心力公式Fn＝mAω2R，代入数据解得ω＝，故角速度小于等于，A、C、D正确。
10.如图所示，一辆厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。重力加速度g取10 m/s2。
(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，货车的最大速度vmax是多大？
(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？
解析：(1)设货车的总质量为M，转弯时恰好不发生侧滑时，货车有最大速度，有
μMg＝，
解得vmax＝8 m/s。
(2)货车沿平直路面匀速运动时
F＝mg＝4 N，m＝0.4 kg，
此次转弯时小球受细线的拉力F′＝5 N，
有cos θ＝＝0.8，则θ＝37°，
设小球受到的合力为F合，
tan θ＝，
则有mgtan θ＝m，
解得v′＝＝2 m/s。
答案：(1)8 m/s (2)37° 2 m/s
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习题课一 圆周运动的两种模型和临界问题
综合提能(一) 竖直平面内圆周运动的两种模型
[知识贯通]
1．模型建立
在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类：
(1)“轻绳模型”(无支撑)。
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳模型”。
(2)“轻杆模型”(有支撑)。
小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图丙所示；小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图丁所示，都称为“轻杆模型”。
2．两种模型对比
续表
[典例1] 一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小(取g＝9.8 m/s2)。
(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是由沿半径方向指向圆心的合力提供向心力。
(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。
[典例2]长L＝0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m＝
2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：(取g＝10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
解答竖直平面内物体的圆周运动问题的两个关键
(1)确定是属于“轻绳模型”，还是“轻杆模型”；
(2)注意区分两者在最高点的最小速度的要求，区分绳与杆的施力特点。
2．如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为 ( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
3．[多选]如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是 ( )
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
综合提能(二) 圆周运动的临界问题
[知识贯通]
圆周运动的临界问题，主要涉及临界速度与临界力的问题，常常与绳的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关。在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度等，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。
①绳子断与不断的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力；
②绳子松弛的临界条件：绳子的张力F＝0。
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。
相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)与接触面有关的圆周运动临界问题。
接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。
[典例3] (2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)，则( )
A．离轴OO′越远的陶屑质量越大
B．离轴OO′越近的陶屑质量越小
C．只有平台边缘有陶屑
D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
答案：D
[典例4] 如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？(g取10 m/s2)
解析：两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
(1)BC恰好拉直，但拉力T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有Fx＝T1sin 30°＝mω12Lsin 30°，
Fy＝T1cos 30°－mg＝0，联立解得ω1≈2.40 rad/s。
(2)AC由拉紧变为恰好拉直，则T1为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin 45°＝mω22Lsin 30°，
Fy＝T2cos 45°－mg＝0，
联立解得ω2≈3.16 rad/s，
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
[典例5]如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
2.如图所示，一长L＝0.4 m的轻杆，可绕通过中点O的水平轴在竖直平面内转动，在轻杆两端分别固定小球A、B。当A球通过最低点，B球通过最高点，且旋转的角速度ω＝10 rad/s时，转轴对轻杆恰好无作用力，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切摩擦和阻力，则A、B两个小球的质量之比为( )
A．mA∶mB＝1∶3 B．mA∶mB＝1∶1
C．mA∶mB＝2∶3 D．mA∶mB＝9∶11
答案：A
3. 如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则 ( )
A．绳的拉力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力一定增大
D．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力仍保持不变
解析：由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于零，故A错误。绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为零，故B错误。由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C错误，D正确。
答案：D
