课时跟踪检测（十二） 认识万有引力定律
组—重基础·体现综合
1．(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小
解析：选A 根据万有引力公式F＝G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。
2．下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳的距离成反比
解析：选A 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力，是同一性质的力，遵循牛顿第三定律，大小相等，大小与太阳和行星质量的乘积成正比，与行星和太阳的距离的二次方成反比，故A正确，B、C、D错误。
3.如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球心之间的距离。两球的万有引力F＝G，故D正确。
4．设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为( )
A．零 B．无穷大
C．G D．无法确定
解析：选A 设想把物体放到地球的中心，此时F＝G已不适用，地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零，故应选A。
5．关于万有引力F＝G和重力，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是一个比例常数，没有单位
B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的
C．m1、m2受到的万有引力是一对平衡力
D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力也变为原来的一半
解析：选B G的单位是N·m2/kg2，故A错误；设地球质量为M，半径为R，则地球表面的重力加速度为，到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为，所以B正确；m1、m2受到的万有引力是一对作用力与反作用力，故C错误；根据万有引力公式，若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力应变为原来的4倍，故D错误。
6．对于太阳与行星间的引力表达式F＝G，下列说法错误的是( )
A．太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
B．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，太阳和行星都处于平衡状态
C．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
D．公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
解析：选B 太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，二者大小相等，故A、C正确，B错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关，故D正确。
7．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B. C. D.
解析：选D 地球表面处的重力加速度和离地心距离为4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
在地球表面：G＝mg0 ①
离地心距离为4R处：G＝mg ②
由①②两式得＝2＝，故D正确。
8．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
解析：选D 根据F＝G，可得＝·，代入数据可知，太阳对地球上相同质量海水的引力远大于月球对其的引力，则A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确。
9．事实证明，行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间，已知地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时(如图所示)，宇宙飞船受到地球与月球引力的合力为零。问：此时飞船在空间什么位置？(已知地球与月球中心间距离是3.84×105 km)
解析：设地球、月球和飞船的质量分别为M地、M月和m，x表示飞船到地球球心的距离，则F地＝F月，即＝，代入数据解得x＝3.46×108 m。
答案：在地球与月球的连线上，距地球球心距离为3.46×108 m
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC 利用万有引力公式计算，地心与卫星间的距离为r，地球与一颗卫星间的引力大小为，故A错误，B正确；由几何知识可得，两颗卫星之间的距离为r，两颗卫星之间利用万有引力定律可得引力大小为，故C正确；三颗卫星对地球的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两个力夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于零，故D错误。
11．地球表面重力加速度为g地、地球的半径为R地、地球的质量为M地，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g火、火星的半径为R火，由此可得火星的质量为( )
A.M地 B.M地
C.M地 D.M地
解析：选A 星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G＝mg，得M＝，所以＝，所以M火＝M地，故A正确。
12．某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体受到卫星中的支持物的支持力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示地球表面重力加速度，g取10 m/s2)
解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F＝G，
在地球表面G＝mg， ①
在上升至离地面高度为h时，
FN－G＝ma， ②
由①②式得＝，
则h＝， ③
将m＝16 kg，FN＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km。
答案：1.92×104 km
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物理观念 (1)知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围
(2)知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G
科学思维 (1)理解万有引力定律的推导过程
(2)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题
科学态度与责任 (1)通过万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜想与严格求证的重要性
(2)知道万有引力定律的发现，使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一
(3)知道引力常量G的测定在科学史上的重大意义
第二节 认识万有引力定律
核心素养点击
一、行星绕日运动的探索 万有引力定律的发现
1．填一填
(1)行星绕太阳运动的原因猜想：太阳对行星的 。
(2)模型建立：
行星以太阳为圆心做 运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
匀速圆周
引力
正比
2．判一判
(1)行星与太阳间的引力大小相等，方向相反。 ( )
(2)太阳对行星的引力与行星的质量成正比。 ( )
(3)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。( )
(4)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。 ( )
√
√
√
×
3．想一想
如图，行星绕太阳的运动近似为匀速圆周运动。思考以下问题：
(1)太阳对行星的万有引力的效果是什么？
提示：提供行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)太阳的质量远远大于行星的质量，太阳对行星的引力F和行星对太阳的引力F′是否相等？
提示：根据牛顿第三定律可知F＝F′。
牛顿
吸引
连线
二次方
引力常量
N·m2/kg2
卡文迪许
乘积
×
√
×
√
3．选一选
现欲发射一颗火星探测卫星。在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离，用F表示卫星受地球的引力。如图所示图像中正确的是 ( )
答案：D
探究(一) 对万有引力定律的理解
[问题驱动]
如图所示，图甲为两个靠近的人，图乙为行星围着太阳运行，他们都是有质量的。
(1)任意两个物体之间都存在引力吗？
提示：任意两个有质量的物体间都存在着引力。
(2)为什么通常两个人之间感受不到引力？而太阳对行星(或地球对月球、人造卫星)的引力可以使行星(或月球、人造卫星)围绕太阳(地球)运转？
提示：由于引力常量G的数值很小，人的质量很小，故两个人之间的引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用。
[重难释解]
1．万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
(1)适用条件：适用于计算两个质点间的万有引力。
(2)引力常量G的理解：
①数值：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
②物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
③G的测定：由英国科学家卡文迪许在实验室里首先通过扭秤装置测出的。
④测定G的意义：证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(3)距离r的理解：r是两个质点间的距离。
①对于两个质量均匀分布的球体，r应是两球心间的距离。
②对于一个均匀球体与球外一个质点，r应是球体球心到质点的距离。
③对于两个物体间的距离比物体本身大得多时，物体可以看成质点，r应是两个物体间的距离。
2024年6月2日，我国嫦娥六号着陆器和上升器组合体成功着陆在月球背面预选着陆区。在嫦娥六号着陆器和上升器组合体“奔向”月球的过程中，用h表示嫦娥六号着陆器和上升器组合体与月球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
答案：A
3．从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了
由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半
径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球
车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为 ( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
探究(二) 万有引力与重力的关系
[问题驱动]
某个人做环球旅行，假如可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
提示： 在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。
(2)该人在各地点所受的重力与万有引力有什么关系？
提示：由于地球自转的影响：
①赤道上某点：G＝F万－F向，方向指向地心；
②北极点、南极点：G＝F万，方向指向地心；
③南半球、北半球的某点：G为F万的一个分力，方向不指向地心。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为 ( )
[素养训练]
1．将物体由赤道向两极移动，则 ( )
A．它的重力减小 B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小 D．向心力方向、重力的方向都指向地心
解析：地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，选项D错误。物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，选项A、B错误，C正确。
答案：C
2．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为 ( )
一、培养创新意识和创新思维
“填补法”计算物体间的万有引力
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。
2．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起，三个球心在一条直线上，试计算它们之间的万有引力大小。
二、注重学以致用和思维建模
1．如图所示，木星是太阳系中最大的行星，与太阳的距离为7.8×108 km，木星和太阳的质量分别为1.9×1027 kg和2.0×1030 kg。试求木星与太阳之间的万有引力大小。
2．两个质量均为50 kg中学生距离1 m。
(1)假设两个中学生可以看成质点，请计算其万有引力F的大小。
(2)g＝10 N/kg，请计算其万有引力F与一位中学生的重力比值。
(3)比较(2)结果你能得到什么启发？
