课时跟踪检测（十五） 万有引力定律与航天
A组—重基础·体现综合
1．北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大 B．线速度大
C．角速度大 D．加速度大
解析：选A 近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得G＝m，解得线速度v＝，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得G＝mr2，解得周期T＝2π ，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得G＝ma，解得加速度a＝G，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。
2.如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是( )
A．A、B卫星的线速度vA
B．A、B卫星的向心加速度aAC．t一定大于TA
D．t一定大于
解析：选D 设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得G＝m＝ma，可得v＝ ，a＝。由v＝ 知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA＞vB，故A错误；由a＝知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n＝1,2,3，…)，
则有·t－·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，
可得t＝(n＝1,2,3，…)，
即t一定大于，故C错误，D正确。
3．[多选]北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗IGSO 3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗 M3卫星运行轨道为中圆地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6 400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是( )
A．北斗IGSO 3卫星的线速度大于北斗 M3卫星的线速度
B．北斗IGSO 3卫星的周期大于北斗 M3卫星的周期
C．北斗IGSO 3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h
D．北斗IGSO 3卫星与地面上的北京市的距离恒定
解析：选BC 根据G＝m＝mr，可知v＝ ，T＝2π ，因北斗 IGSO3卫星的轨道半径大于北斗 M3卫星的轨道半径，则北斗 IGSO3卫星的线速度小于北斗 M3卫星的线速度，北斗 IGSO3卫星的周期大于北斗 M3卫星的周期，选项A错误，B正确；北斗 IGSO3卫星运行轨道为倾斜地球同步轨道，可知其周期为24 h，可以在每天的同一时刻经过地球上某点的上空，则卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h，但是不能定点在北京市的上空，故选项C正确，D错误。
4．由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”拟对一个超紧凑双白矮星系统产生的引力波进行探测。该计划采用三颗相同的卫星岱(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形，三角形边长约为地球半径的27倍，地球恰好处于三角形中心，卫星将在以地球为中心的圆轨道上运行，如图所示(只考虑卫星和地球之间的引力作用)，则( )
A．卫星绕地球运行的周期大于近地卫星的运行周期
B．卫星绕地球运行的向心加速度大于近地卫星的向心加速度
C．卫星绕地球运行的速度等于第一宇宙速度
D．卫星的发射速度应大于第二宇宙速度
解析：选A 根据G＝mr，可知轨道半径越大，周期越大，故卫星绕地球运行的周期大于近地卫星的运行周期，A正确；由G＝ma，可知轨道半径越大，向心加速度越小，所以卫星绕地球运行的向心加速度小于近地卫星的向心加速度，故B错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，该卫星绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，所以C错误；地球卫星的发射速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，所以D错误。
5.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越小，T越大
解析：选B 双星系统中两星间距不变，角速度相等，根据v＝rω，因为rBvB，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrB ω2，因为rBmA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律得G＝mArA＝mBrB，其中rA＋rB＝L，联立解得：T＝2π ＝2π ，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D错误。
6．[多选]甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍
解析：选CD 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由ma＝，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误，由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，选项D正确。
7．半径R＝4 500 km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1 kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝，力F随时间变化的规律如图所示(取沿斜面向上方向为正)，2 s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。试问：
(1)该星球的质量大约是多少？
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)
解析：(1)设星球表面的重力加速度为g。小物块在力F1＝20 N作用过程中有：F1－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，
1 s末速度为v＝a1t1，
小物块在力F2＝4 N作用过程中有：
F2＋mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，
且有 v＝a2t2，
联立以上四式，解得 g＝8 m/s2，
由G＝mg，
得 M＝＝ kg＝2.4×1024 kg。
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，抛出物体的最小速度为v′，必须满足：mg＝m，
得v′＝＝ m/s＝
6×103 m/s＝6.0 km/s。
答案：(1)2.4×1024 kg (2)6.0 km/s
组—重应用·体现创新
8．(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
解析：选B 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，解得在捕获轨道运行周期T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
9．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
解析：选A a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α＝mω2，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。
10．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX 3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω。由牛顿第二定律，有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，又FA＝FB，
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，
由以上各式得r＝r1， ①
由万有引力定律，有FA＝G，
将①代入上式得FA＝G，
令FA＝G，
可得m′＝。 ②
(2)由牛顿第二定律，有G＝m1， ③
可见星A的轨道半径r1＝， ④
由②③④式解得＝。 ⑤
答案：(1) (2)＝
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习题课二 万有引力定律与航天
综合提能(一) 天体运动问题的分析
[知识贯通]
天体运动问题的分析
1．一种模型
无论自然天体(如火星、地球、月球等)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体在万有引力作用下做匀速圆周运动。
[典例1] 在距地面不同高度的太空中有许多飞行器。其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则 ( )
A．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度
C．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度
应用万有引力定律应注意的问题
(1)卫星的a、v、ω、T与卫星的质量无关，仅由被环绕的天体的质量M和轨道半径r决定。
(2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球的公转周期是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2。
[集训提能]
1．(2024·济南高一检测)如图所示是一人造地球卫星轨道示意图，其中圆轨道a、c、d的圆心均与地心重合，a与赤道平面重合，b与某一纬线圈共面，c经过地球两极正上空。下列说法正确的是( )
A．a、b、c、d都有可能是卫星的轨道
B．轨道a上卫星的线速度大于7.9 km/s
C．轨道c上卫星的运行周期可能与地球自转周期相同
D．仅根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，不能求出地球质量
答案：C
2． “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 ( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
综合提能(二) 人造卫星的变轨问题
[知识贯通]
1．变轨问题概述
2．变轨问题的两种常见形式
(1)渐变。
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)。
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小。
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小。
(2)突变。
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上
的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
[典例2] 如图所示，某次发射静止轨道卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入静止轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
卫星变轨问题的三点提醒
(1)卫星在轨道上的变轨点的线速度v增大或减小，但向心加速度a不变。
(2)卫星在圆轨道上由低轨道变轨至高轨道后，线速度v将减小，角速度ω将减小，周期T将增大，向心加速度a将减小。
(3)卫星在椭圆轨道上由近地点运动至远地点，线速度v将减小，加速度a将减小。
[集训提能]
1． [多选]如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是( )
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道的周期大于2轨道的
C．飞船在1轨道的速度大于2轨道的
D．飞船在1轨道的加速度大于2轨道的
答案：D
2．[多选]在完成各项既定任务后，载人宇宙飞船要安全返回地面。如图所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的一点，M为轨道Ⅰ上的另一点。关于飞船的运动，下列说法中正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅱ上经过P点的速度小于经过Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上经过P点的速度小于在轨道Ⅰ上经过M点的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．飞船在轨道Ⅱ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M点的加速度
解析：飞船在轨道Ⅱ上运行时，P为远地点，从P到Q速度越来越大，所以经过P点的速度小于经过Q点的速度，选项A正确；飞船在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，故飞船经过P、M两点时的速率相等，由于飞船在P点进入轨道Ⅱ时相对于轨道Ⅰ做近心运动，可知飞船在轨道Ⅱ上P点速度小于在轨道Ⅰ上P点速度，选项B正确；根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，选项C错误；根据牛顿第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上经过P点的加速度与在轨道Ⅰ上经过M点的加速度大小相等，选项D错误。
答案：AB
3．(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
解析：空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的运动周期大，故B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的速度大，比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的速度小，故D错误。
答案：A
[典例3] 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
解双星问题的两个关键点
(1)对于双星系统，要抓住三个相等，即向心力、角速度、周期相等。
(2)万有引力公式中L是两星球之间的距离，不是星球做圆周运动的轨道半径。