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第七节 生产和生活中的机械能守恒
核心素养点击
物理观念 了解机械能守恒定律在生产、生活中的具体应用
科学思维 结合生产和生活实际，建立物理模型，解决落锤打桩机、跳台滑雪、过山车等问题
科学态度与责任 能用机械能守恒定律分析生产和生活中的有关问题
1．填一填
(1)构造：主要由桩锤、卷扬机和导向架组成。
(2)原理：打桩时，桩锤在卷扬机用吊钩提升到设计高度，然后使桩锤沿导向架_________打击管桩。桩锤自由下落过程中机械能守恒。
2．判一判
(1)桩锤在卷扬机提升过程中机械能守恒。 ( )
(2)桩锤自由下落过程中机械能守恒。 ( )
(3)桩棰打击管桩过程中机械能守恒。 ( )
自由下落
×
√
×
3．想一想
某建筑工地落锤打桩机桩锤的质量为m，每次桩锤都从高度为h的地方落下，重力加速度为g，则桩锤每一次落下对管桩的冲击动能是多少？
提示：Ek＝mgh
1．填一填
(1)情境：运动员从助滑坡由静止下滑，到起跳平台跃入空中，使整个身体在空中飞行一小段时间后落在山坡上。
(2)原理：忽略摩擦力和空气阻力影响，运动员在跳台滑雪过程中 守恒。
机械能
2．判一判
(1)助滑坡越高，运动员开始时的重力势能越大。 ( )
(2)运动员从平台跃起时的速度与运动员开始时的重力势能无关。 ( )
(3)运动员从平台飞出时的运动可以看作平抛运动。 ( )
3．想一想
运动员在整个跳台滑雪过程中，如果不能忽略摩擦力和空气阻力，那么运动员在助滑坡上的运动机械能是否守恒？运动员在平台飞出的运动能否看作平抛运动？
提示：机械能不守恒，不能看作平抛运动。
√
×
√
1．填一填
(1)情境：过山车轨道位于竖直平面内，由一段倾斜轨道和与之相切的圆形轨道连接，过山车从倾斜轨道由静止下滑通过圆形轨道运行。
(2)原理：忽略轨道阻力作用，过山车运行过程中 守恒。
机械能
×
√
√
3．选一选
一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进
入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半
径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道
2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力大小为 ( )
A．2mg B．3mg
C．4mg D．5mg
[重难释解]
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义
从不同状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的一般思路
荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动(如图)。若
秋千绳的长度l＝2 m，荡到最高点时秋千绳与竖直方向的夹角θ＝60°。取重力加速度g＝9.8 m/s2，求荡到最低点时秋千的速度大小。(忽略阻力及秋千绳的质量，且人在秋千上的姿势可视为不变)
解析：以人和秋千座椅组成的系统为研究对象并将其视为质点，受力分析如图所示。选择秋千在最低位置时的水平面为零势能参考平面。设秋千荡到最高点A处为初状态，在最低点B处为末状态。
[讨论] 在现实中，若人在荡秋千时姿势不变，秋千将逐渐停下来，这是有阻力的缘故。因此，人荡秋千时，只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下，其机械能才守恒。为什么有的人可以越荡越高，他是怎么做到的呢？请分析原因。
提示：人荡秋千时越荡越高，是在荡秋千的过程中，人通过做一些合适的动作做功，将人体内的化学能转化为人和秋千的机械能的缘故。
[迁移] 下列问题能否运用牛顿运动定律或机械能守恒定律解答？请试一试。
1924年，跳台滑雪被列为首届冬奥会比赛项目。如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时，速度为多少？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多少？(假设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦力和空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2)
3.滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行。如图所示，abcde为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R＝2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点。运动员脚踩滑板从高H＝3 m处由静止出发，沿轨道自由滑下。运动员连同滑板可视为质点，其总质量m＝60 kg。忽略摩擦阻力和空气阻力，取g＝10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。
[重难释解]
1．轻绳连接的物体系统
(1)常见情景(如图所示)。
(2)三点提醒。
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．轻杆连接的物体系统
(1)常见情景(如图所示)。
(2)三大特点。
①平动时两物体速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3．轻弹簧连接的物体系统
(1)题型特点。
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒。
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定
滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面高度为0.8 m。求：(g取10 m/s2)
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆
的另一端和中点分别固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为
L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度分别是多少？
解析：把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置所在的水平面为零势能参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL。
多物体机械能守恒问题的分析技巧
(1)对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的距离关系和速度关系。
①距离关系：也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升，另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关系找出它们之间的距离关系。
②速度关系：也就是两物体间的速度大小关系。若是通过轻杆或轻绳连接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴转动，相同时间内转过的角度相等。
(3)列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式。
2．[多选]如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕水平轴O沿顺时针方向转动，则杆从释放到转动90°的过程中( )
A．B球的动能增加，机械能增加
B．A球的重力势能和动能都增加
C．A球的机械能增加量等于B球的重力势能减少量
D．A球和B球的总机械能守恒
解析：A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能增大，故A球的机械能增加。B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小。对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增加，故B球的机械能减少，故A球的机械能增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误，B、D正确。
答案：BD
3．[多选]如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，
质量分别为M、m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑
轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用
手按住物体M，此时M距离挡板的距离为s，滑轮两边的细绳恰好伸直而没有力的作用。已知M＝2m，不计空气阻力。松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是 ( )
A．M和m组成的系统机械能守恒
B．当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零
C．若M恰好能到达挡板处，则此时m的速度为零
D．若M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和
解析：在运动过程中，M、m与弹簧组成的系统机械能守恒，A错误；当M速度最大时，弹簧的弹力等于Mgsin 30°＝mg，此时m对地面的压力恰好为零，B正确；然后M做减速运动，恰好能到达挡板，也就是速度刚好减小到零，之后M立刻上升，所以此时弹簧弹力大于mg，即此时m受到的绳拉力大于自身重力，m还在加速上升，C错误；根据功能关系，M减小的机械能等于m增加的机械能与弹簧增加的弹性势能之和，而M恰好到达挡板时，动能恰好为零，因此减小的机械能等于减小的重力势能，即等于重力对M做的功，D正确。
答案：BD
[重难释解]
机械能守恒定律和动能定理的比较
项目 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
项目 机械能守恒定律 动能定理
应用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
关注角度 守恒的条件和初末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合外力做功情况
(1)当h＝1.5 m时：
①求滑块经过D速度大小vD及所受支持力大小FD；
②求游戏成功时的x，以及滑块经过J时的动能Ek；
(2)求游戏成功且滑块经过J时，滑块所受支持力大小FJ与h的关系式。
动能定理与机械能守恒定律的选择
(1)能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦。
(2)能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。
[素养训练]
1.如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块(未画出)，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，它沿CBA运动，通过A处，最后落在水平地面上的D处，求C、D间的距离x(取重力加速度g＝10 m/s2)。
2.如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上。已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0。
一、培养创新意识和创新思维
跳水运动员跳水过程中能量的转化
跳水运动员在弹离跳板后，先上升到一定的高度，在空中完成一系列复杂而优美的动作后入水。请你分析一下，从运动员起跳到入水的全过程中，有哪些能量发生了相互转化。说出你的判断依据，并与同学讨论交流。
提示：(1)跳水运动员在走板和起跳时要先使跳板上下振动，此过程运动员将身体储存的化学能转化为跳板的弹性势能。
(2)然后跳板的弹性势能转化为运动员身体起跳的动能，运动员离开跳板上升的过程中，动能逐渐转化为重力势能。
(3)当运动员到达最高点下降时，重力势能逐渐转化为动能。
(4)运动员入水后，受水的阻力作用，运动员的重力势能和动能都减少，转化为水和运动员的内能等。
二、注重学以致用和思维建模
1．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是 ( )
解析：人上楼、跳绳过程中机械能不守恒，从能量转化角度看都是消耗人体的化学能；水滴石穿，水滴减少的机械能转变为内能；箭射出过程中是弹性势能与动能、重力势能的相互转化，只有重力和弹力做功，机械能守恒。
答案：D
2.滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由
坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最
低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中 ( )
A．所受合外力始终为零 B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为零 D．机械能始终保持不变
解析：运动员从A点滑到B点的过程做匀速圆周运动，合外力
指向圆心，不做功，故A错误，C正确。如图所示，沿圆弧切
线方向运动员受到的合力为零，即f＝mgsin α，下滑过程中α
减小，sin α变小，故摩擦力f变小，故B错误。运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故D错误。
答案：C
3.质量为25 kg的小孩坐在秋千板上，小孩重心离拴绳子的横梁
距离为2.5 m，如果秋千摆到最高点时，绳子与竖直方向的夹
角是60°，秋千板摆到最低点时，忽略手与绳间的作用力，
求小孩对秋千板的压力大小。(不计空气阻力，g取10 m/s2)PAGE
课时跟踪检测（二十三） 生产和生活中的机械能守恒
组—重基础·体现综合
1．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－4 000 J B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
解析：选B 下坡过程中，重力做功WG＝mgh＝100×10×8 J＝8 000 J，支持力不做功，阻力做功为W，由动能定理得WG＋W＝mvt2－mv02，代入数据解得W＝－3 800 J。
2.如图所示，质量为M的电梯在地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则( )
A．地板对物体的支持力做的功等于mv2
B．地板对物体的支持力做的功等于mgH
C．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D．合力对电梯做的功等于Mv2
解析：选D 对物体由动能定理得W支－mgH＝mv2，故W支＝mgH＋mv2，A、B均错误；钢索拉力做的功W拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，C错误；由动能定理知，合力对电梯做的功应等于电梯动能的变化Mv2，D正确。
3.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为( )
A. B.
C. D．0
解析：选B 对弹簧和小球A，根据机械能守恒定律得小球A下降h高度时弹簧的弹性势能Ep＝mgh；对弹簧和小球B，当小球B下降h高度时，根据机械能守恒定律有Ep＋×2mv2＝2mgh；解得小球B下降h时的速度v＝，故选项B正确。
4.如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0抛出，不计空气阻力，以水平地面为零势能面，则当它到达B点时的机械能为( )
A.mv02＋mgh B.mv02＋mgH
C．mgH－mgh D.mv02＋mg(H－h)
解析：选B 抛出的物体在不计空气阻力的情况下满足机械能守恒，所以在B点时的机械能等于A点时的机械能，选地面为零势能面，则物体在A、B点机械能都是mv02＋mgH，故B正确。
5.如图所示，用平行于斜面的推力F，使质量为m的物体从倾角为θ的光滑斜面的底端，由静止向顶端做匀加速运动。当物体运动到斜面中点时，撤去推力，物体刚好能到达顶端，则推力F为( )
A．2mgsin θ B．mg(1－sin θ)
C．2mgcos θ D．2mg(1＋sin θ)
解析：选A 设斜面的长度为2L，对全过程，由动能定理可得FL－mgsin θ·2L＝0，解得F＝2mgsin θ，故A正确。
6.如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是( )
A．小球从A到B过程与从B到A过程，时间相等
B．小球从A到B过程与从B到A过程，动能变化量的大小相等
C．小球从A到C过程与从C到B过程，时间相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，动能变化量的大小相等
解析：选D 因斜面粗糙，小球在运动中机械能不断减小，可知小球回到A点的速度小于v0，再由匀变速直线运动中＝可知小球在从A运动到B的过程中平均速度大于小球从B返回A的过程中的平均速度，而两过程中位移大小相同，故运动时间不等，故A错误。由动能定理可知小球动能的变化量等于合外力所做的功，两过程位移大小相同，而从A到B过程中合力FAB＝mgsin θ＋f大于返回时合力FBA＝mgsin θ－f，故小球从A运动到B的过程中合外力做功多，动能变化大，B错误。小球从A到C过程中最小速度等于小球从C到B过程中的最大速度，小球从A到C与从C到B的两过程中位移大小是相等的，故运动时间不等，C错误。小球在从A到C过程与从C到B过程中所受合力相等，由动能定理可知动能变化量的大小相等，D正确。
7．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则( )
A．hA＝hB＝hC B．hA＝hBC．hA＝hB>hC D．hA＝hC>hB
解析：选D A球和C球上升到最高点时速度均为零，而B球上升到最高点时仍有水平方向的速度，即仍有动能。对A、C球由机械能守恒得mgh＝mv02，得h＝。对B球mgh′＋mv2＝mv02，得h′＝8.如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。求：
(1)小球到达B点时的速率；
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
(3)若空气阻力不能忽略，则初速度需变为v0′＝3时才可以恰好到达最高点B，则小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
解析：(1)小球恰能到达最高点B，则在最高点有mg＝，小球到达B点时的速率v＝ 。
(2)从A至B的过程，由机械能守恒定律得：
－mg＝mv2－mv02，
解得v0＝ 。
(3)空气阻力是变力，设小球从A到B的过程中克服空气阻力做功为Wf，由动能定理得－mg－Wf＝mv2－mv0′2，解得Wf＝mgL。
答案：(1) (2) (3)mgL
组—重应用·体现创新
9.如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A，使弹簧处于原长且A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
解析：选A 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力大小，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝，故A正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力，此时B的速度恰好为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误。
10．如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中轻杆没有作用力
C．整个下滑过程中A球机械能的减少量为 J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J
解析：选C A、B两球均在斜面上滑动的过程中，设轻杆的作用力大小为F。根据牛顿第二定律，对整体有(mA＋mB)gsin 30°＝(mA＋mB)a，对B有F＋mBgsin 30°＝mBa。联立解得F＝0，即在斜面上滑动的过程中，只有重力对A球做功，所以A球在B球到地面之前，在斜面上运动时机械能守恒。在斜面上下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，得mAg(h＋Lsin 30°)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s。在斜面上下滑的整个过程中B球机械能的增加量为ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J。根据系统的机械能守恒知，A球机械能的增加量为ΔEA＝－ΔEB＝－ J，则由分析可知A在斜面上、B在水平面上运动过程中轻杆有作用力，故A、B、D错误，C正确。
11．如图所示，弯曲斜面与半径为R的竖直半圆组成光滑轨道，一个质量为m的小球从高度为4R的A点由静止释放，经过半圆的最高点D后做平抛运动落在水平面的E点，忽略空气阻力(重力加速度为g)，求：
(1)小球在D点时的速度vD；
(2)小球落地点E离半圆轨道最低点B的位移x；
(3)小球经过半圆轨道的C点(C点与圆心O在同一水平面)时对轨道的压力大小。
解析：(1)小球从A到D，根据机械能守恒定律可得
mg(4R－2R)＝mvD2，整理可以得到vD＝2。
(2)小球离开D点后做平抛运动，根据平抛运动规律可以得到
水平方向有x＝vDt，竖直方向有2R＝gt2，
整理可以得到x＝4R。
(3)从A到C，根据机械能守恒定律得：
mg(4R－R)＝mvC2，
在C点，根据牛顿第二定律FN＝m，
整理可以得到FN＝6mg。
由牛顿第三定律可知，小球经过半圆轨道的C点时对轨道的压力大小为6mg。
答案：(1)2 (2)4R (3)6mg
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