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第五节 机械能守恒定律
核心素养点击
物理观念 (1)知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化
(2)通过机械能守恒定律的学习， 初步建立能量观念、体会守恒思想
(3)知道机械能守恒定律的内容和守恒条件
科学思维 (1)会分析机械能守恒的条件，在具体实例中分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化
(2)理解机械能守恒定律的推导过程
(3)会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题
科学态度与责任 (1)通过对机械能守恒定律的验证，能认识科学规律的建立需要实验证据的检验
(2)能认识机械能守恒定律对日常生活的影响
1．填一填
(1)机械能：物体的 与 (包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，表达式为E＝Ep＋Ek。
(2)动能与势能的相互转化。
①重力势能与动能：过山车向下运动，则重力势能 ，动能 ， 转化成了动能；过山车向上运动，重力做负功，则 转化为 。
②弹性势能与动能：射箭时，弓的弹性势能 ，箭的动能 ， 转化为动能。
动能
势能
减少
增加
重力势能
动能
重力势能
减少
增加
弹性势能
2．判一判
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。 ( )
(2)弹性势能发生了改变，一定有弹力做功。 ( )
3．想一想
毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄……弯弓射大雕”。
试分析在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之
间的转化？
提示：箭被射出过程中，弓的弹性势能转化为箭的动
能；箭上升过程中，箭的动能转化为重力势能；箭下落过程中，箭的重力势能转化为动能。
√
√
1．填一填
(1)机械能守恒定律：在只有 或 做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量 。
(2)表达式： 或E1＝E2。
(3)守恒条件：物体系统内只有 或 做功。
2．判一判
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。 ( )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。 ( )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。 ( )
(4)物体向上运动时，其机械能也可能守恒。 ( )
重力
弹力
保持不变
Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2
重力
弹力
×
×
√
√
3．想一想
用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前由静止释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释原因。
提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能打到鼻子。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。
(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和
势能怎么变化？机械能守恒吗？
提示：过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能保持不变。
[重难释解]
1．机械能守恒的条件
(1)从做功的角度看，只有重力(或系统内弹力)做功，机械能守恒。
①只有重力做功，单个物体的动能和重力势能相互转化，物体的机械能守恒。
②只有系统内弹力做功，物体的动能和弹簧的弹性势能相互转化，物体与弹簧组成的系统机械能守恒。
③只有重力和弹力做功，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒。
(2)从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化，系统机械能守恒。
2．机械能守恒的判断
(1)做功分析法(常用于单个物体)。
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)。
[多选]如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 ( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
[解题指导] 判断机械能是否守恒的关键：一是注意系统的选择；二是看系统内重力、弹力之外的力是否做功。
解析：甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，物体A的机械能减少，A错；物体B下滑，物体B对A的弹力做功，A的动能增加，物体B的机械能减少，B错；丙图中A、B组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C对；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，机械能守恒，D对。
答案：CD
[素养训练]
1．关于以下四幅图，下列说法中正确的是 ( )
A．图甲中“蛟龙号”载人潜水器被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中火车在匀速转弯时动能不变，故所受合外力为零
C．图丙中握力器在手的压力作用下弹性势能增加了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
解析：题图甲中“蛟龙号”载人潜水器被吊车吊下水的过程，钢绳对它做负功，所以机械能不守恒，故A错误；题图乙中火车在匀速转弯时做匀速圆周运动，所受的合外力指向圆心且不为零，故B错误；题图丙中握力器在手的压力下形变增大，所以弹性势能增大，C正确；题图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能，所以运动员的机械能不守恒，故D错误。
答案：C
2．以下四种情境中，物体a机械能守恒的是(不计空气阻力) ( )
解析：物块a在沿固定斜面匀速下滑和沿粗糙的圆弧面加速下滑过程中都受到摩擦力作用，有内能的产生，物块a的机械能不守恒，故A、B错误；摆球a由静止释放，自由摆动过程中只有重力做功，摆球a的动能和重力势能相互转化，机械能守恒，故C正确；小球a由静止释放至最低点的过程中，小球a和弹簧组成的系统机械能守恒，小球a的机械能不守恒，故D错误。
答案：C
如图所示，小球在高处由静止下落，设下落过程中经过高度为h1
的A点时速度为v1，经过高度为h2的B点时速度为v2。用学过的知识
(动能定理和重力做功与重力势能的关系)，分析下落过程中A、B两位
置的机械能之间的数量关系。
[重难释解]
1．机械能守恒定律的不同表达式和意义
表达式 特点
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统中，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量
2．应用机械能守恒定律的基本思路
把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆(如图所示)，
摆长为l，最大
偏角为θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速
度大小是多少？
[解题指导] 在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。
小球在最高点只有重力势能，动能为0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出小球在最低点的动能，从而算出小球在最低点的速度。
应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件。
(3)恰当地选取零势能参考平面，确定研究对象的运动过程的初状态和末状态的机械能(包括动能和势能)。
(4)根据机械能守恒定律列方程求解。
如图所示，绕过光滑定滑轮两端分别拴有A、B两个小球，A球的质量为
3m，B球的质量为m，现将两球从距地面高度为h处由静止释放。若细绳足够长，细绳的质量、空气的阻力均不计。求：
(1)A球落地的瞬间，B球的速度多大？
(2)B球上升到距地面的最大高度为多少？
2．固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
一、培养创新意识和创新思维
情境：小明同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩
的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖
就伸出。如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，
在压下后突然放手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度。
问题：在某次实验中，小明用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度
为12 cm，请你帮他分析：
(1)圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中，能量发生了怎样的变化？
(2)从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？(g取10 m/s2)
二、注重学以致用和思维建模
1.如图是某城市广场喷泉喷出水柱的场景。从远处看，喷泉喷出的水柱超过了40层楼的高度；靠近看，喷管的直径约为10 cm。请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大？
2.蹦极是一项非常刺激的运动，为了研究蹦极过程，可将人视为质
点，人的运动沿竖直方向，人离开蹦极台时的初速度、弹性绳的
质量、空气阻力均可忽略。某次蹦极时，人从蹦极台跳下，到A点
时弹性绳恰好伸直，人继续下落，能到达的最低位置为B点，如图
所示。已知人的质量m＝50 kg，弹性绳的弹力大小F＝kx，其中x
为弹性绳的形变量，k＝200 N/m，弹性绳的原长L0＝10 m，整个
过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内。取重力加速度g＝10 m/s2，在人离开蹦极台至第一次到达B点的过程中，机械能损失可忽略。PAGE
课时跟踪检测（二十一） 机械能守恒定律
A组—重基础·体现综合
1．如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是( )
A．甲图运动员把弯弓拉开将箭射出
B．乙图跳伞运动员匀速下落
C．丙图跳水运动员从空中下落
D．丁图运动员骑自行车冲向坡顶
解析：选C 运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，动能不变，高度变小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误。
2．(2024·重庆高考)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
解析：选C 组合体在减速阶段有加速度，合外力不为0，故A错误；组合体在悬停阶段加速度为0，处于平衡状态，合外力为0，但仍受重力和向上的力，故B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。
3.[多选]竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图所示。迅速放手后(不计空气阻力)( )
A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B．小球和弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C．小球的机械能守恒
D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
解析：选BD 放手瞬间小球受弹簧弹力和重力，故其加速度大于重力加速度，A错；整个系统(包括地球)的机械能守恒，B对，C错；在向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，D对。
4．铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
解析：选D 由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy＝gt，则被水平推出后速度大小为v＝，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；铅球被水平推出后的动能Ek＝mv2＝m，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；由于忽略空气阻力，所以被水平推出后铅球机械能守恒，故D正确。
5．如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面，若以桌面为零势能参考平面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A.mv02＋mgh B.mv02－mgh
C.mv02 D.mv02＋mg(H－h)
解析：选C 小球下落过程机械能守恒，所以EA＝E初＝mv02，C正确。
6．[多选] 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
解析：选BC 甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误。落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确。从投出到落地，重力做功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确。从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。
7.[多选]如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
解析：选AC 在b球向下、a球向上摆动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。
B组—重应用·体现创新
8．[多选]两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图所示。如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是( )
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速率相等
D．它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
解析：选CD 小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则由mgH＝mv2，得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误。
9.如图所示，长为L的匀质链条放在光滑水平桌面上，且有悬于桌面外，链条由静止开始释放，则它刚滑离桌面时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 铁链释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，整个链条的机械能守恒。取桌面为零势能参考平面，整个链条的质量为m。根据机械能守恒有：
－mg·＝ mv2－mg×(0.5 L)，
解得：v＝，B正确。
10.空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站( )
A．绕地运行速度约为2.0 km/s
B．绕地运行速度约为8.0 km/s
C．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
解析：选D 根据题意可知，空间站在地球表面绕地球做圆周运动，其绕地运行的速度应略小于第一宇宙速度7.9 km/s，故A、B错误；在4月份轨道半径出现明显的变大，则可知，机械能不守恒，故C错误；在5月份轨道半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确。
11.滑板运动深得青少年的喜爱。如图所示为滑板运动轨道的示意图，某同学(可视为质点)沿倾角为θ＝30°的倾斜光滑直轨道AB滑下，通过M点时速度为5 m/s，后经水平光滑直轨道BC，冲上光滑轨道CD，到N点速度减小为零。已知该同学质量m＝50 kg，M点与 B点的距离L＝3.0 m，取重力加速度g＝10 m/s2。轨道各部分间均平滑连接，不计一切摩擦和空气阻力。求：
(1)该同学运动到B点时的动能Ek；
(2)N点离水平轨道的高度H。
解析：(1)以水平轨道为零势能参考平面，设该同学经过M点时是速度为vM，由下滑过程中机械能守恒得，该同学运动到B点时的动能：Ek＝mvM2＋mgLsin 30° ，
代入数据得：Ek＝1 375 J。
(2)由于该同学整个运动过程中机械能守恒，有：
mvM2＋mgLsin 30°＝mgH，
代入数据得：H＝2.75 m。
答案：(1)1 375 J (2)2.75 m
12.如图所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r＝0.4 m的细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧，轻弹簧下端固定，上端恰好与管口D端齐平。质量为m＝0.5 kg的小球从曲面上距BC的高度为h＝0.8 m处由静止开始下滑，进入管口C端时的速度为2 m/s，通过CD后压缩弹簧，在压缩弹簧过程中速度最大时弹簧的弹性势能为Ep＝0.125 J。已知小球与BC间的动摩擦因数μ＝0.5。求：
(1)小球到达B点时的速度大小vB；
(2)水平面BC的长度；
(3)在压缩弹簧的过程中小球的最大速度vm。
解析：(1)小球沿AB轨道从静止滑至B点的过程，由机械能守恒得mgh＝mvB2，解得vB＝4 m/s。
(2)小球在BC段运动的过程中，由动能定理得
－μmgs＝mvC2－mvB2，
解得s＝1.2 m。
(3)小球加速度为零时速度最大，此时有
mg＝kx，x＝0.05 m，
小球从C端到速度最大的过程中，由机械能守恒
mg(r＋x)＝Ep＋ mvm2－mvC2，
解得 vm＝ m/s。
答案：(1)4 m/s (2)1.2 m (3) m/s
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