物理
第讲 机械振动
(对应人教版选择性必修第一册相关内容及问题)
第二章第1节阅读“弹簧振子”这一部分内容，为什么说弹簧振子是一个理想化模型？
提示：摩擦和空气阻力不计，弹簧质量不计。
第二章第1节阅读“弹簧振子的位移—时间图像”这一部分内容，弹簧振子的位移—时间图像中的位移指的是相对于哪点的位移？
提示：小球的平衡位置。
第二章第2节[做一做]“测量小球振动的周期”，简谐运动的周期与振幅有关吗？
提示：无关。
第二章第2节[例题]，再做该题，对简谐运动，小球在T时间内通过的路程一定是2A吗？在T时间内通过的路程一定是A吗？
提示：小球在T时间内通过的路程一定是2A；在T时间内通过的路程不一定是A，小球只有自最大位移处或平衡位置处开始计时，在T时间内通过的路程才是A。
第二章第2节[练习与应用]T4；T5。
提示：T4：如图所示。
T5：x甲＝0．5sin(5πt＋π) cm，
x乙＝0．2sin cm。
第二章第3节[做一做]，再填该表，体会简谐运动过程中各物理量的变化规律。
提示：
位置 Q Q→O O O→P P
位移的大小 最大 ↘ 0 ↗ 最大
速度的大小 0 ↗ 最大 ↘ 0
动能 0 ↗ 最大 ↘ 0
弹性势能 最大 ↘ 0 ↗ 最大
机械能 不变 不变 不变 不变 不变
第二章第3节[练习与应用]T1、T2，再做这两道题，体会用动力学方法分析简谐运动。
提示：T1：由简谐运动的定义出发，先确定平衡位置，再分析什么是回复力，进而论证。
T2：(1)木筷受力平衡的位置为振动的平衡位置，分析木筷所受合力F合与其下端偏离平衡位置的位移x是否满足F合＝－kx。
(2)小球受到重力和圆弧面支持力的作用，分析这两个力的合力沿圆弧切线方向的分力F与小球偏离最低点的位移x是否满足F＝－kx。
第二章第4节阅读“单摆的回复力”这一部分内容，单摆做简谐运动的条件是什么？
提示：摆角很小。
第二章第4节[练习与应用]T4。
提示：(1)l＝≈1 m；
(2)θmax＝arcsin＝2．3°。
第二章阅读“5 实验：用单摆测量重力加速度”这一节内容，思考：除通过公式计算求平均值，还能用什么方法处理实验数据，得到重力加速度？
提示：设小球半径为r，摆线长为L，则摆长l＝L＋r，由T＝2π，得L＝T2－r，由L T2图像的斜率即可求出g。
第二章第6节“共振现象及其应用”这部分的[做一做]图2．6 3，使D摆偏离平衡位置后释放，在振动稳定后其余各摆中哪个摆的振幅最大？
提示：A摆、G摆。
第二章[复习与提高]B组T1、T2、T5，再做这几道题，体会动力学观点和能量观点在分析振动问题时的应用。
提示：T1：E＝nΔE＝nmgΔh＝×0．2×10×(1．5－1．2)×10－2 J＝3×10－2 J。
T2：＝＝，又＝m摆g1，＝m摆g2，解得：＝。
T5：由力的周期性变化分析单摆的周期。
(1)0．8π s，1．6 m；
(2)(3)设单摆的最大摆角为θ，则从最高点到最低点，由机械能守恒定律有：
mg(l－lcosθ)＝mv
受力分析：在最高点时，Fmin＝mgcosθ
在最低点时，Fmax－mg＝m
联立解得：m＝＝5×10－2 kg；
vm＝ m/s。
考点一 简谐运动的特征
1．简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2．平衡位置
振动物体原来静止时的位置。
3．回复力
(1)定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。
(2)方向：总是指向平衡位置。
(3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
4．描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量
周期 振动物体完成一次全振动所需要的时间 描述振动的快慢，两者关系：T＝
频率 振动物体完成全振动的次数与所用时间之比
相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
1．简谐运动是匀变速运动。( ) 2．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。( )
1．受力和运动特征
(1)回复力F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)做简谐运动的物体的加速度大小与其位移大小成正比而方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a均增大，v减小，衡位置时则相反。
2．能量特征
简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。振幅越大，能量越大。远离平衡位置时，Ek减小，Ep增大；衡位置时则相反。
3．周期性特征
(1)相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。
(2)做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。
4．对称性特征
(1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。
如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。
(2)如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，相对于平衡位置的位移大小相等，速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。
(3)如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
例1 (2023·上海高考)真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列关于Q的情况有可能发生的是( )
A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小
C．速度增大，加速度不变 D．速度减小，加速度不变
例2 (2021·河北高考)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达B点。已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5．6 m，则该简谐运动的周期为________ s，振幅为________ m。
考点二 简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运
动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相位。
2．简谐运动的图像
(1)如图所示。
(2)物理意义：表示振动质点的位移随时间变化的规律。
从振动图像可以获得的信息
(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。
(4)可以确定质点的速度方向：任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示质点的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示质点的速度沿x轴负方向。
也可以通过下一时刻质点偏离平衡位置的位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，速度方向就是背离平衡位置；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向平衡位置。
(5)可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。
例3 (2025·四川省绵阳市高三上月考)如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动
D．第3 s末振子的势能最大
例4 (粤教版选择性必修第一册·第二章第二节[练习]T4改编)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin cm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin cm，则( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 cm，B的振幅是10 cm
B．周期是标量，A、B振动的周期都是100 s
C．A振动的相位始终超前B振动的相位
D．A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50 Hz
考点三 单摆
1．单摆：将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径和线的长度相比可以忽略，与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆做简谐运动的分析
(1)条件：最大摆角θ<5°。
(2)回复力：如图，F＝mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。
(3)周期：T＝2π，式中l为摆长，g为重力加速度。
1．单摆无论摆角多大都做简谐运动。( ) 2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。( )
等效单摆
在等效单摆模型中，周期公式可变换为T＝2π。
(1)l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。
(2)g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。
③如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。
例5 (多选)如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，做简谐运动，M、N是摆球所能到达的最远位置，设向右为正方向，图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．单摆振动的周期为0．4 s
B．单摆振动的频率是1．25 Hz
C．t＝0时摆球在M点
D．单摆的摆长约为0．16 m
例6 (2024·江苏省苏州市高三下三模)如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，可以( )
A．使斜面倾角变大 B．使单摆摆长变长
C．使摆球质量变大 D．使单摆振幅变大
考点四 受迫振动和共振
1．振动中的能量损失
(1)阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，这种振动称为阻尼振动。
(2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为内能；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去。
2．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。
3．共振
如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大，这种现象称为共振。
1．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。( ) 2．物体在发生共振时的振动是受迫振动。( )
简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动类型项目 简谐运动 受迫振动 共振
受外力情况 没有外力干预，仅受系统内部的相互作用力 受到周期性的驱动力作用 受到周期性的驱动力作用
振动周期和频率 由系统本身的性质决定，即固有周期和固有频率 由驱动力的周期和频率决定：T＝T驱，f＝f驱 T驱＝T固 f驱＝f固
振动能量 振动系统的机械能守恒 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子，单摆(θ<5°) 机器运转时底座发生的振动 共振筛， 转速计
例7 如图所示，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，小球振动的频率为4 Hz。现使圆盘以600 r/min的转速匀速转动，经过一段时间后达到稳定，下列说法正确的是( )
A．稳定后小球振动的周期为0．25 s
B．稳定后小球振动的周期为0．1 s
C．使圆盘以900 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来大
D．使圆盘以300 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来小
跟进训练 (2021·浙江1月选考)(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
课时作业
[A组 基础巩固练]
1．(2025·四川省泸州市高三上一模)如图所示，水平地面上倾角θ＝30°的固定斜面底端有一挡板，轻弹簧一端与挡板相连，另一端系着质量m＝1 kg的物块P，物块P通过轻绳绕过定滑轮系着质量M＝2 kg的小球Q。开始时两物体均处于静止状态，若剪断连接P、Q的轻绳，物块P将做简谐运动。已知轻弹簧的劲度系数k＝100 N/m，轻绳与斜面平行，一切摩擦和空气阻力不计，取重力加速度g＝10 m/s2。则物块P做简谐运动的振幅为( )
A．0．25 m B．0．20 m
C．0．15 m D．0．05 m
2．(2024·贵州高考)(多选)如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝1．5T时刻( )
A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零
3．如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，a、b为振动过程中的最大位移处，若从质点通过O点开始计时，经过1 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过 s质点第二次经过M点，则质点的振动周期为( )
A． s B． s
C． s D． s
4．(2025·四川省内江市高三上零模)(多选)如图，是一质点做简谐运动的振动图像，则下列结论中正确的是( )
A．质点速度最大、而加速度为零的时刻分别是0．1 s、0．3 s、0．5 s、0．7 s
B．质点速度为零、而加速度为负方向最大值的时刻分别是0 s、0．4 s、0．8 s
C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0．2 s
D．振动系统势能最大、而加速度为正方向最大值的时刻是0．3 s
5．(2024·山西省晋中市高三二模)(多选)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．该简谐运动的周期为5×10－2 s，振幅为28 cm
B．该简谐运动的表达式为x＝14sin cm
C．t＝0．5×10－2 s时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向
D．t＝0．5×10－2 s时质点的位移为－7 cm
6．(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．摆长为1．6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2．5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1．6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2．5 m，A、B点的速度相同
7．(多选)如图，飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根两端带有配重的弹性杆。用户在健身训练时，使杆体发生振动，从而使杆体带动手臂肌肉运动，改变配重可以改变杆体振动快慢，以达到最佳锻炼效果。若杆体振动越快，则( )
A．手臂肌肉的振动快慢程度保持不变
B．手臂肌肉的振动一定越快
C．手臂肌肉的振动幅度一定越大
D．手臂肌肉的振动幅度不一定越大
8．(人教版选择性必修第一册·第二章第6节[练习与应用]T4改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0．5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
[B组 综合提升练]
9．(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0．2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0．2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin(2．5πt) m/s2
10．(多选)如图所示是两个理想单摆在同一地点做简谐振动的图像，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法中正确的是( )
A．t＝2 s时，甲单摆的摆线拉力为0，乙的速度为0
B．增大乙的摆球质量，乙的周期有可能与甲的相等
C．甲摆球和乙摆球永远不可能同时均处于动能最小的状态
D．乙摆球位移随时间变化的关系式为x＝sin cm
11．(多选)某学生在粗细均匀的木筷下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中(如图甲)。现把木筷向上提起一段距离后放手，之后木筷做简谐运动，以向上为正方向，以某时刻为计时起点，作出了木筷振动的位移—时间图像，如图乙所示。不计水的阻力，则( )
A．木筷在振动过程中机械能守恒
B．前1．6 s内，木筷运动的路程为0．32 m
C．t＝0．4 s时，木筷的重力小于其所受的浮力
D．木筷的位移与时间的关系为x＝0．04·sin m
12．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后使其开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过5°。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切阻力。下列说法正确的是( )
A．t＝0．1π s时小球位于B点
B．t＝0．4π s时小球位于C点
C．O、A之间的距离为1．5 m
D．O、P之间的距离为1．2 m
[C组 拔尖培优练]
13．(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
(答案及解析)
1．简谐运动是匀变速运动。( ) 2．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。( ) 答案：1．× 2．×
例1 (2023·上海高考)真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列关于Q的情况有可能发生的是( )
A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小
C．速度增大，加速度不变 D．速度减小，加速度不变
[答案] B
[解析] 由题意可知，微粒Q以P点为平衡位置做简谐运动，可知越衡位置，微粒Q的速度越大，加速度越小，则微粒Q的速度增大，加速度一定减小，速度减小，加速度一定增大，A、C、D错误，B正确。
例2 (2021·河北高考)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达B点。已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5．6 m，则该简谐运动的周期为________ s，振幅为________ m。
[答案] 4 2．8
[解析] 根据简谐运动的对称性可知，A、B两点关于平衡位置对称，从向右经过A到第一次到达B经过了半个周期的振动，则周期为T＝2×2 s＝4 s，路程为s＝2A＝5．6 m，解得振幅为A＝2．8 m。
例3 (2025·四川省绵阳市高三上月考)如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动
D．第3 s末振子的势能最大
[答案] B
[解析] 由题图可读出振动周期为T＝4 s，振幅为A＝8 cm，故A错误；第2 s末振子处于负向最大位移处，速度为零，由a＝－可知加速度为正向的最大值，故B正确；从第1 s末到第2 s末振子由平衡位置向负向最大位移处运动，速度减小，位移增加，振子在做加速度增大的减速运动，故C错误；第3 s末振子在平衡位置，势能最小，故D错误。
例4 (粤教版选择性必修第一册·第二章第二节[练习]T4改编)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin cm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin cm，则( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 cm，B的振幅是10 cm
B．周期是标量，A、B振动的周期都是100 s
C．A振动的相位始终超前B振动的相位
D．A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50 Hz
[答案] C
[解析] 振幅和周期只有大小没有方向，是标量，根据两物体的振动位移表达式可知，A振动的振幅是3 cm，B振动的振幅是5 cm，A、B振动的周期为TA＝TB＝＝ s，故A、B错误；根据两物体的位移表达式可知，A振动的初相位为φA0＝，B振动的初相位为φB0＝，因此两物体振动的相位差为Δφ＝φA0－φB0＝－＝，即A振动的相位始终超前B振动的相位，故C正确；由于两物体振动的周期相同，因此A、B振动的频率相同，频率大小为fA＝fB＝＝ Hz，故D错误。
1．单摆无论摆角多大都做简谐运动。( ) 2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。( ) 答案：1．× 2．×
例5 (多选)如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，做简谐运动，M、N是摆球所能到达的最远位置，设向右为正方向，图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．单摆振动的周期为0．4 s
B．单摆振动的频率是1．25 Hz
C．t＝0时摆球在M点
D．单摆的摆长约为0．16 m
[答案] BCD
[解析] 由题图乙知，单摆振动的周期T＝0．8 s，A错误；频率f＝＝1．25 Hz，B正确；由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以t＝0时摆球在M点，C正确；由单摆做简谐运动的周期公式T＝2π，得l＝≈0．16 m，D正确。
例6 (2024·江苏省苏州市高三下三模)如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，可以( )
A．使斜面倾角变大 B．使单摆摆长变长
C．使摆球质量变大 D．使单摆振幅变大
[答案] B
[解析] 设斜面倾角为θ，单摆摆长为l，则题中模型的等效摆长l′＝l，等效重力加速度g′＝gsinθ，故该单摆在光滑斜面上做简谐运动的周期T＝2π＝2π，可知若要使其做简谐运动的周期变大，可以让摆长变长或斜面倾角变小，且周期大小与摆球质量和振幅无关，故B正确，A、C、D错误。
1．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。( ) 2．物体在发生共振时的振动是受迫振动。( ) 答案：1．√ 2．√
例7 如图所示，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，小球振动的频率为4 Hz。现使圆盘以600 r/min的转速匀速转动，经过一段时间后达到稳定，下列说法正确的是( )
A．稳定后小球振动的周期为0．25 s
B．稳定后小球振动的周期为0．1 s
C．使圆盘以900 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来大
D．使圆盘以300 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来小
[答案] B
[解析] 由题意可知，小球和弹簧组成的系统的固有频率为4 Hz，则其固有周期为0．25 s，圆盘转速为600 r/min，则圆盘转动的频率为10 Hz，周期为0．1 s，圆盘转动使小球做受迫振动，故稳定后小球振动的周期与驱动力的周期一致，为0．1 s，故A错误，B正确；圆盘转速为900 r/min时，驱动力频率为15 Hz，与小球的固有频率相差比原来更大，故稳定后小球振动的振幅比原来小，圆盘转速为300 r/min时，驱动力频率为5 Hz，和固有频率相差比原来小，故稳定后小球振动的振幅比原来大，故C、D错误。
跟进训练 (2021·浙江1月选考)(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
答案：AD
解析：根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率可能不同，则针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；不同粗细树干的固有振动频率不同，则打击杆对不同粗细的树干打击结束后，树干自由振动的振动频率不同，C错误；树干在振动器的周期性驱动力下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。
课时作业
[A组 基础巩固练]
1．(2025·四川省泸州市高三上一模)如图所示，水平地面上倾角θ＝30°的固定斜面底端有一挡板，轻弹簧一端与挡板相连，另一端系着质量m＝1 kg的物块P，物块P通过轻绳绕过定滑轮系着质量M＝2 kg的小球Q。开始时两物体均处于静止状态，若剪断连接P、Q的轻绳，物块P将做简谐运动。已知轻弹簧的劲度系数k＝100 N/m，轻绳与斜面平行，一切摩擦和空气阻力不计，取重力加速度g＝10 m/s2。则物块P做简谐运动的振幅为( )
A．0．25 m B．0．20 m
C．0．15 m D．0．05 m
答案：B
解析：剪断轻绳前，设轻绳的拉力大小为T，弹簧的伸长量为x0，根据平衡条件，对Q有T＝Mg，对P有T＝mgsinθ＋kx0；剪断轻绳后，当P做简谐运动到达平衡位置时，设弹簧的压缩量为x1，由平衡条件有kx1＝mgsinθ，P做简谐运动的振幅A＝x0＋x1，代入数据解得A＝0．20 m，故选B。
2．(2024·贵州高考)(多选)如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝1．5T时刻( )
A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零
答案：AC
解析：由题意可知，小球在未施加力前处于静止状态时的位置为其平衡位置，规定竖直向上为正方向，在t＝0时由静止释放后，小球将向上运动，结合简谐运动规律知，小球在t＝0时刻位移最大，方向为负，则小球在t＝1．5T时刻位移最大，方向为正，小球受到的回复力和加速度均最大，方向均为负，且速度为零，故A、C正确，B、D错误。
3．如图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，a、b为振动过程中的最大位移处，若从质点通过O点开始计时，经过1 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过 s质点第二次经过M点，则质点的振动周期为( )
A． s B． s
C． s D． s
答案：A
解析：若质点从O点向右到达M点所用时间为t1＝1 s，从M点经b点回到M点所用时间为 s，由简谐运动的对称性可知，质点由M点到b点所用时间为t2＝× s＝ s，则质点由O点到b点所用时间为t0＝t1＋t2＝ s，质点振动周期为T＝4t0＝ s；若质点向左经a点到达M点所用时间为1 s，则1 s>，从M点经b点再回到M点所用时间为 s，则 s<，相互矛盾，即此情况不符合题意，故选A。
4．(2025·四川省内江市高三上零模)(多选)如图，是一质点做简谐运动的振动图像，则下列结论中正确的是( )
A．质点速度最大、而加速度为零的时刻分别是0．1 s、0．3 s、0．5 s、0．7 s
B．质点速度为零、而加速度为负方向最大值的时刻分别是0 s、0．4 s、0．8 s
C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0．2 s
D．振动系统势能最大、而加速度为正方向最大值的时刻是0．3 s
答案：AB
解析：质点在速度最大、而加速度为零时处于平衡位置，由题图可知，这样的时刻分别是0．1 s、0．3 s、0．5 s、0．7 s，A正确；质点加速度的方向始终与位移方向相反，质点在速度为零、而加速度为负方向最大值时处于正方向最大位移处，由题图可知，这样的时刻分别是0 s、0．4 s、0．8 s，B正确；质点所受的回复力方向始终与位移方向相反，质点所受的回复力方向由正变负时，质点的位移由负变正，这样的时刻分别是0．3 s和0．7 s，C错误；振动系统势能最大、而加速度为正方向最大值时，质点处于负方向最大位移处，这样的时刻分别是0．2 s和0．6 s，D错误。
5．(2024·山西省晋中市高三二模)(多选)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．该简谐运动的周期为5×10－2 s，振幅为28 cm
B．该简谐运动的表达式为x＝14sin cm
C．t＝0．5×10－2 s时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向
D．t＝0．5×10－2 s时质点的位移为－7 cm
答案：BD
解析：由题图可知该简谐运动的周期T＝4×10－2 s，振幅A＝14 cm，A错误；圆频率ω＝＝50π rad/s，t＝0时质点位于负方向的最大位移处，所以质点做简谐运动的表达式为x＝14sin cm或x＝14sin cm，B正确；质点位于平衡位置时，速度最大，由题图可知t＝0．5×10－2 s时质点沿x轴正方向运动，且速度不是最大，C错误；当t＝0．5×10－2 s时质点的位移为x＝14sin cm＝－14× cm＝－7 cm，D正确。
6．(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．摆长为1．6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2．5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1．6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2．5 m，A、B点的速度相同
答案：C
解析：由题图可知，该单摆的振动周期为T＝0．8π s，根据单摆的周期公式T＝2π，可得该单摆的摆长为l＝＝1．6 m，故B、D错误；由题图可知，起始时刻，单摆摆球在正方向最大位移处，则此时其速度为零，A、C点单摆摆球的位移相等，则A、C点的速度大小相等，又分析知A、C点的速度方向相同，则A、C点的速度相同，故A错误，C正确。
7．(多选)如图，飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根两端带有配重的弹性杆。用户在健身训练时，使杆体发生振动，从而使杆体带动手臂肌肉运动，改变配重可以改变杆体振动快慢，以达到最佳锻炼效果。若杆体振动越快，则( )
A．手臂肌肉的振动快慢程度保持不变
B．手臂肌肉的振动一定越快
C．手臂肌肉的振动幅度一定越大
D．手臂肌肉的振动幅度不一定越大
答案：BD
解析：手臂肌肉在杆体带动下做受迫振动，手臂肌肉的振动频率等于杆体的振动频率，则杆体振动越快，手臂肌肉的振动一定越快，A错误，B正确；当驱动力的频率越接近固有频率时，做受迫振动物体的振幅越大，杆体振动越快时，其振动频率不一定越接近手臂肌肉的固有频率，则手臂肌肉的振动幅度不一定越大，C错误，D正确。
8．(人教版选择性必修第一册·第二章第6节[练习与应用]T4改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0．5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
答案：B
解析：由共振曲线知此单摆的固有频率为0．5 Hz，则固有周期为2 s，A错误；由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。
[B组 综合提升练]
9．(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0．2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0．2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin(2．5πt) m/s2
答案：D
解析：手机在竖直方向上做简谐运动。由题图乙知，t＝0时，手机的加速度为0，由平衡条件得，弹簧弹力与手机重力等大反向，A错误；由题图乙知，t＝0．2 s时，手机的加速度为正，即方向向上，而加速度的方向始终指向平衡位置，可知手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0．2 s，手机的加速度增大，根据简谐运动规律知，手机向远离平衡位置的方向运动，又加速度的方向始终指向平衡位置，故手机的速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知，手机振动的周期T＝0．8 s，则圆频率ω＝＝2．5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin(2．5πt) m/s2，D正确。
10．(多选)如图所示是两个理想单摆在同一地点做简谐振动的图像，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法中正确的是( )
A．t＝2 s时，甲单摆的摆线拉力为0，乙的速度为0
B．增大乙的摆球质量，乙的周期有可能与甲的相等
C．甲摆球和乙摆球永远不可能同时均处于动能最小的状态
D．乙摆球位移随时间变化的关系式为x＝sin cm
答案：CD
解析：由题图可知，t＝2 s时，甲单摆的摆球恰好运动到最低点，摆球速度最大，细线拉力和重力的合力提供向心力，摆线拉力不为0，t＝2 s时，乙单摆的摆球运动到最高点，乙的速度为0，故A错误；由题图可知，甲的周期T甲＝4 s，乙的周期T乙＝8 s，由单摆周期公式T＝2π可知，其周期与摆球质量没有关系，故B错误；由题图可知，甲摆球动能最小即位移的绝对值最大的时刻，为t1＝(2n＋1) s(n＝0，1，2，…)，乙摆球动能最小的时刻为t2＝(4m＋2) s(m＝0，1，2，…)，若t1＝t2，可得2n＝4m＋1，此式无正整数解，可知t1和t2永远不可能相等，即甲、乙两摆球永远不可能同时均处于动能最小的状态，故C正确；由题图可知，乙单摆的振幅为A乙＝1 cm，圆频率为ω乙＝＝ rad/s，又t＝0时，x＝0，且开始向正方向运动，则初相位φ乙0＝0，则乙摆球位移随时间变化的关系式为x＝A乙sin(ω乙t＋φ乙0)＝sin cm，故D正确。
11．(多选)某学生在粗细均匀的木筷下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中(如图甲)。现把木筷向上提起一段距离后放手，之后木筷做简谐运动，以向上为正方向，以某时刻为计时起点，作出了木筷振动的位移—时间图像，如图乙所示。不计水的阻力，则( )
A．木筷在振动过程中机械能守恒
B．前1．6 s内，木筷运动的路程为0．32 m
C．t＝0．4 s时，木筷的重力小于其所受的浮力
D．木筷的位移与时间的关系为x＝0．04·sin m
答案：BD
解析：木筷在振动过程中，水的浮力对木筷做功，木筷的机械能不守恒(但木筷与水组成的振动系统机械能守恒)，A错误；由题图乙知，振动周期T＝0．8 s，振幅A＝0．04 m，前1．6 s内，木筷振动了2个周期，所以木筷运动的路程为2×4A＝0．32 m，B正确；由题图乙知，t＝0．4 s时，木筷的位移为正，根据F＝－kx可知合力F方向为负，即竖直向下，所以木筷的重力大于其所受的浮力，C错误；简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，木筷振动的圆频率ω＝＝2．5π rad/s，由题图乙可知，t＝0．3 s时，x＝0，将数据代入振动表达式，有0＝0．04sin m，结合题图乙可知＋φ0＝2π，可得初相位φ0＝，则木筷的位移与时间的关系为x＝0．04sin m，D正确。
12．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后使其开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过5°。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切阻力。下列说法正确的是( )
A．t＝0．1π s时小球位于B点
B．t＝0．4π s时小球位于C点
C．O、A之间的距离为1．5 m
D．O、P之间的距离为1．2 m
答案：D
解析：设小球的质量为m，经过B点时速度大小为v，小球从右向左经过B点时，速度不变，摆长突然变短，由牛顿第二定律得F－mg＝m，可知F突然增大，结合题图乙可知，t＝0．6π s和t＝0时刻，小球从右向左经过B点，因t＝0．1π s时摆线拉力最小，可知此时小球位于C点，t＝0．2π s时F突然减小，则小球从左向右经过B点，0．2π s～0．4π s F一直减小，0．4π s后F开始增大，则t＝0．4π s时，小球位于A点，A、B错误；设O、A间距为L1，P、B间距为L2，根据上述分析，并结合题图乙可知，摆长为L1时，摆球做简谐运动的周期为T1＝0．8π s，根据T1＝2π，可得L1＝1．6 m，摆长为L2时，摆球做简谐运动的周期为T2＝0．4π s，根据T2＝2π，可得L2＝0．4 m，则O、P之间的距离为L3＝L1－L2＝1．2 m，C错误，D正确。
[C组 拔尖培优练]
13．(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
答案：D
解析：小球与光源均做简谐运动。根据题图2可知，t1时刻小球位于平衡位置，随后小球的位移为负值，且逐渐增大，可知t1时刻小球向下运动，故A错误；根据题图2可知，t2时刻光源位于正向位移最大处，由简谐运动规律可知，光源此时的加速度向下，故B错误；根据光的直线传播原理，由题图1、2可知，t2时刻影子的位移为负向最大值，即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；分析可知，光源、小球和影子振动的平衡位置在同一高度处，设t3时刻影子的位移为y影子，画出此时光源、小球、影子的位置关系如图所示，根据几何关系有＝，解得y影子＝5A，故D正确。
1(共78张PPT)
第十三章 机械振动
机械波
第1讲 机械振动
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一 简谐运动的特征
考点二 简谐运动的公式和图像
考点三 单摆
考点四 受迫振动和共振
课时作业
4
5
6
教材阅读指导
(对应人教版选择性必修第一册相关内容及问题)
第二章第1节阅读“弹簧振子”这一部分内容，为什么说弹簧振子是一个理想化模型？
第二章第1节阅读“弹簧振子的位移—时间图像”这一部分内容，弹簧振子的位移—时间图像中的位移指的是相对于哪点的位移？
第二章第2节[做一做]“测量小球振动的周期”，简谐运动的周期与振幅有关吗？
提示：摩擦和空气阻力不计，弹簧质量不计。
提示：小球的平衡位置。
提示：无关。
第二章第2节[练习与应用]T4；T5。
第二章第3节[做一做]，再填该表，体会简谐运动过程中各物理量的变化规律。
提示：
位置 Q Q→O O O→P P
位移的大小 最大 ↘ 0 ↗ 最大
速度的大小 0 ↗ 最大 ↘ 0
动能 0 ↗ 最大 ↘ 0
弹性势能 最大 ↘ 0 ↗ 最大
机械能 不变 不变 不变 不变 不变
第二章第3节[练习与应用]T1、T2，再做这两道题，体会用动力学方法分析简谐运动。
提示： T1：由简谐运动的定义出发，先确定平衡位置，再分析什么是回复力，进而论证。
T2：(1)木筷受力平衡的位置为振动的平衡位置，分析木筷所受合力F合与其下端偏离平衡位置的位移x是否满足F合＝－kx。
(2)小球受到重力和圆弧面支持力的作用，分析这两个力的合力沿圆弧切线方向的分力F与小球偏离最低点的位移x是否满足F＝－kx。
第二章第4节阅读“单摆的回复力”这一部分内容，单摆做简谐运动的条件是什么？
第二章第4节[练习与应用]T4。
提示：摆角很小。
第二章阅读“5 实验：用单摆测量重力加速度”这一节内容，思考：除通过公式计算求平均值，还能用什么方法处理实验数据，得到重力加速度？
第二章第6节“共振现象及其应用”这部分的[做一做]图2．6 3，使D摆偏离平衡位置后释放，在振动稳定后其余各摆中哪个摆的振幅最大？
提示： A摆、G摆。
第二章[复习与提高]B组T1、T2、T5，再做这几道题，体会动力学观点和能量观点在分析振动问题时的应用。
考点一 简谐运动的特征
1．简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从_________的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条_________ ，这样的振动是一种简谐运动。
2．平衡位置
振动物体_________时的位置。
正弦函数
正弦曲线
原来静止
3．回复力
(1)定义：使振动物体在平衡位置附近做__________的力。
(2)方向：总是指向_________。
(3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
往复运动
平衡位置
物理量 定义 意义
位移 由________指向物体________的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于_________的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的________ 描述振动的______和能量
4．描述简谐运动的物理量
平衡位置
所在位置
平衡位置
最大距离
强弱
全振动
所用时间
快慢
1．简谐运动是匀变速运动。( )
2．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。( )
×
×
1．受力和运动特征
(1)回复力F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)做简谐运动的物体的加速度大小与其位移大小成正比而方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a均增大，v减小，衡位置时则相反。
2．能量特征
简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。振幅越大，能量越大。远离平衡位置时，Ek减小，Ep增大；衡位置时则相反。
例1 (2023·上海高考)真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列关于Q的情况有可能发生的是( )
A．速度增大，加速度增大 B．速度增大，加速度减小
C．速度增大，加速度不变 D．速度减小，加速度不变
解析 由题意可知，微粒Q以P点为平衡位置做简谐运动，可知越衡位置，微粒Q的速度越大，加速度越小，则微粒Q的速度增大，加速度一定减小，速度减小，加速度一定增大，A、C、D错误，B正确。
例2 (2021·河北高考)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达B点。已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5．6 m，则该简谐运动的周期为_____ s，振幅为______ m。
解析 根据简谐运动的对称性可知，A、B两点关于平衡位置对称，从向右经过A到第一次到达B经过了半个周期的振动，则周期为T＝2×2 s＝4 s，路程为s＝2A＝5．6 m，解得振幅为A＝2．8 m。
4
2．8
考点二 简谐运动的公式和图像
Asin(ωt＋φ0)
初相
时间
从振动图像可以获得的信息
(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。
(4)可以确定质点的速度方向：任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示质点的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示质点的速度沿x轴负方向。
也可以通过下一时刻质点偏离平衡位置的位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，速度方向就是背离平衡位置；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向平衡位置。
(5)可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。
例3 (2025·四川省绵阳市高三上月考)如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加
速度减小的减速运动
D．第3 s末振子的势能最大
考点三 单摆
1．单摆：将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比__________，球的直径和线的长度相比__________，与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的________模型。
可以忽略
可以忽略
理想化
<5°
1．单摆无论摆角多大都做简谐运动。( )
2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。( )
×
×
例5 (多选)如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，做简谐运动，M、N是摆球所能到达的最远位置，设向右为正方向，图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．单摆振动的周期为0．4 s
B．单摆振动的频率是1．25 Hz
C．t＝0时摆球在M点
D．单摆的摆长约为0．16 m
例6 (2024·江苏省苏州市高三下三模)如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，可以( )
A．使斜面倾角变大 B．使单摆摆长变长
C．使摆球质量变大 D．使单摆振幅变大
考点四 受迫振动和共振
1．振动中的能量损失
(1)阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然__________，这种振动称为阻尼振动。
(2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为______；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量________________。
逐渐减小
内能
向四周辐射出去
2．受迫振动
系统在_______作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于_______的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率) _____关。
3．共振
如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动
力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的
频率f等于振动系统的___________时，振幅最大，这种现象称为共振。
驱动力
驱动力
无
固有频率f0
1．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。( )
2．物体在发生共振时的振动是受迫振动。( )
√
√
简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动类 型项目 简谐运动 受迫振动 共振
受外力 情况 没有外力干预，仅受系统内部的相互作用力 受到周期性的驱动力作用 受到周期性的驱动力作用
振动周期和频率 由系统本身的性质决定，即固有周期和固有频率 由驱动力的周期和频率决定：T＝T驱，f＝f驱 T驱＝T固
f驱＝f固
振动能量 振动系统的机械能守恒 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子，单摆(θ<5°) 机器运转时底座发生的振动 共振筛，
转速计
例7 如图所示，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，小球振动的频率为4 Hz。现使圆盘以600 r/min的转速匀
速转动，经过一段时间后达到稳定，下列说法正确的是( )
A．稳定后小球振动的周期为0．25 s
B．稳定后小球振动的周期为0．1 s
C．使圆盘以900 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来大
D．使圆盘以300 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来小
解析 由题意可知，小球和弹簧组成的系统的固有频率为4 Hz，则其固有周期为0．25 s，圆盘转速为600 r/min，则圆盘转动的频率为10 Hz，周期为0．1 s，圆盘转动使小球做受迫振动，故稳定后小球振动的周期与驱动力的周期一致，为0．1 s，故A错误，B正确；圆盘转速为900 r/min时，驱动力频率为15 Hz，与小球的固有频率相差比原来更大，故稳定后小球振动的振幅比原来小，圆盘转速为300 r/min时，驱动力频率为5 Hz，和固有频率相差比原来小，故稳定后小球振动的振幅比原来大，故C、D错误。
跟进训练 (2021·浙江1月选考)(多选)为了提高松
树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果
的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，
如图甲、乙所示。则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
解析：根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率可能不同，则针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；不同粗细树干的固有振动频率不同，则打击杆对不同粗细的树干打击结束后，树干自由振动的振动频率不同，C错误；树干在振动器的周期性驱动力下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。
课时作业
[A组 基础巩固练]
1．(2025·四川省泸州市高三上一模)如图所示，水平地面上倾角θ＝30°的固定斜面底端有一挡板，轻弹簧一端与挡板相连，另一端系着质量m＝1 kg的物块P，物块P通过轻绳绕过定滑轮系着质量M＝2 kg的小球Q。开始时两物体均处于静止状态，若剪断连接P、Q的轻绳，物块P将做简谐运动。已知轻弹簧的劲度系数k＝100 N/m，轻绳与斜面平行，一切摩擦和空气阻力不计，取重力加速度g＝10 m/s2。则物块P做简谐运动的振幅为( )
A．0．25 m B．0．20 m
C．0．15 m D．0．05 m
解析：剪断轻绳前，设轻绳的拉力大小为T，弹簧的伸长量为x0，根据平衡条件，对Q有T＝Mg，对P有T＝mgsinθ＋kx0；剪断轻绳后，当P做简谐运动到达平衡位置时，设弹簧的压缩量为x1，由平衡条件有kx1＝mgsinθ，P做简谐运动的振幅A＝x0＋x1，代入数据解得A＝0．20 m，故选B。
2．(2024·贵州高考)(多选)如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝1．5T时刻( )
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
解析：由题意可知，小球在未施加力前处于静止状态时的位置为其平衡位置，规定竖直向上为正方向，在t＝0时由静止释放后，小球将向上运动，结合简谐运动规律知，小球在t＝0时刻位移最大，方向为负，则小球在t＝1．5T时刻位移最大，方向为正，小球受到的回复力和加速度均最大，方向均为负，且速度为零，故A、C正确，B、D错误。
4．(2025·四川省内江市高三上零模)(多选)如图，是一质点做简谐运动的振动图像，则下列结论中正确的是( )
A．质点速度最大、而加速度为零的时刻
分别是0．1 s、0．3 s、0．5 s、0．7 s
B．质点速度为零、而加速度为负方向
最大值的时刻分别是0 s、0．4 s、0．8 s
C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0．2 s
D．振动系统势能最大、而加速度为正方向最大值的时刻是0．3 s
解析：质点在速度最大、而加速度为零时处于平衡位置，由题图可知，这样的时刻分别是0．1 s、0．3 s、0．5 s、0．7 s，A正确；质点加速度的方向始终与位移方向相反，质点在速度为零、而加速度为负方向最大值时处于正方向最大位移处，由题图可知，这样的时刻分别是0 s、0．4 s、0．8 s，B正确；质点所受的回复力方向始终与位移方向相反，质点所受的回复力方向由正变负时，质点的位移由负变正，这样的时刻分别是0．3 s和0．7 s，C错误；振动系统势能最大、而加速度为正方向最大值时，质点处于负方向最大位移处，这样的时刻分别是0．2 s和0．6 s，D错误。
6．(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．摆长为1．6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2．5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1．6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2．5 m，A、B点的速度相同
7．(多选)如图，飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根两端带有配重的弹性杆。用户在健身训练时，使杆体发生振动，从而使杆体带动手臂肌肉运动，改变配重可以改变杆体振动快慢，以达到最佳锻炼效果。若杆体振动越快，则( )
A．手臂肌肉的振动快慢程度保持不变
B．手臂肌肉的振动一定越快
C．手臂肌肉的振动幅度一定越大
D．手臂肌肉的振动幅度不一定越大
解析：手臂肌肉在杆体带动下做受迫振动，手臂肌肉的振动频率等于杆体的振动频率，则杆体振动越快，手臂肌肉的振动一定越快，A错误，B正确；当驱动力的频率越接近固有频率时，做受迫振动物体的振幅越大，杆体振动越快时，其振动频率不一定越接近手臂肌肉的固有频率，则手臂肌肉的振动幅度不一定越大，C错误，D正确。
8．(人教版选择性必修第一册·第二章第6节[练习与应用]T4改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为0．5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
[B组 综合提升练]
9．(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0．2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0．2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin(2．5πt) m/s2
12．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后使其开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过5°。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，忽略一切阻力。下列说法正确的是( )
A．t＝0．1π s时小球位于B点
B．t＝0．4π s时小球位于C点
C．O、A之间的距离为1．5 m
D．O、P之间的距离为1．2 m
[C组 拔尖培优练]
13．(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则( )
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
