《特殊四边形内的折叠问题》
一、知识梳理：折叠的性质
折叠的本质是轴对称变换，折痕所在直线是对称轴，折叠前后的两部分全等，具体有：
（1）对应边相等
（2）对应角相等
（3）对应点的连线段被对称轴垂直且平分.
二、特殊四边形折叠问题解题思路
在解决特殊四边形的折叠问题时，都是以轴对称图形的性质作为切入点，再结合特殊四边形的特有性质寻找解题的突破口。通过这些性质的结合，就可能产生等腰三角形、直角三角形等特殊图形，或全等三角形、相似三角形等具有特殊关系的图形，从而由“折”到“形”，再由“形”到“数”，实现角与角、线段与线段之间的关系的建立. 此时利用勾股定理、相似、解直角三角形等策略与方法，使问题获得解决.
模块一、折叠之求角度
例1.如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为_______.
例2.如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将沿DE翻折得到，GD交BC于点F，连接CG，若，则_____．
练习1．如图，在 ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝60°，∠DAM＝20°，则∠NMD′的大小为 度．
练习2．把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则∠ADE=_______度；tan∠ADE的值是_______.
模块二、折叠之求线段长
例3. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．
例4．已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为_______.
练习3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是_______.
练习4.如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为_______.
模块三、折叠之求最值
例5.如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 ．
例6.如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为 ．
练习5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，E为AB上一点，连接DE，将AED沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为_________.
练习6.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则的最小值是 ．
1．如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点M，若，，则的长为_______.
第1题 第2题 第3题
2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为_______.
3. 如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，当与线段交于点H时，则线段的长是_______.
4. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．
第4题 第5题
5. 如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ．
6. 操作与探究：
数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接．
(1)操作发现：根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______；
(2)迁移探究：当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______．《特殊四边形内的折叠问题》
一、知识梳理：折叠的性质
折叠的本质是轴对称变换，折痕所在直线是对称轴，折叠前后的两部分全等，具体有：
（1）对应边相等
（2）对应角相等
（3）对应点的连线段被对称轴垂直且平分.
二、特殊四边形折叠问题解题思路
在解决特殊四边形的折叠问题时，都是以轴对称图形的性质作为切入点，再结合特殊四
边形的特有性质寻找解题的突破口。通过这些性质的结合，就可能产生等腰三角形、直角三
角形等特殊图形，或全等三角形、相似三角形等具有特殊关系的图形，从而由“折”到“形”，
再由“形”到“数”，实现角与角、线段与线段之间的关系的建立. 此时利用勾股定理、相
似、解直角三角形等策略与方法，使问题获得解决.
模块一、折叠之求角度
例 1.如图，将平行四边形 ABCD沿对角线 BD折叠，使点 A落在 E处．若 1 56 ， 2 42 ，
则 A的度数为_______.
例 2.如图，正方形 ABCD中，点 E是 BC上一点，连接 DE，将△BDE沿 DE翻折得到△GDE，
GD交 BC于点 F，连接 CG，若CG∥BD，则 BDE= _____．
练习 1．如图，在 ABCD中，M为边 CD上一点，将△ADM沿 AM折叠至△AD′M处，
AD′与 CM交于点 N．若∠B＝60°，∠DAM＝20°，则∠NMD′的大小为 度．
练习 2．把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为 MN；再过点 D 折叠，
使得点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 DE，则∠ADE=_______度；tan∠ADE 的值是_______.
模块二、折叠之求线段长
例 3. 如图，四边形 ABCD为正方形，点 E是BC的中点，将正方形 ABCD沿 AE折叠，得到
点 B的对应点为点 F，延长 EF 交线段DC于点 P，若 AB 6，则DP的长度为___________．
例 4．已知：菱形 中， = 3， = 2， 与 交于点 ，点 为 上一点，以
为对称轴，折叠△ ，使点 的对应点 恰好落在边 上，则 的长为_______.
练习 3．如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，E是 CD的中点，将 BCE 沿 BE翻折至 BFE，
连接 DF，则 DF的长度是_______.
练习 4.如图，在矩形 ABCD中，点 M 在 AB边上，把△ BCM沿直线 CM折叠，使点 B 落在 AD
边上的点 E处，连接 EC，过点 B作 BF ⊥ EC，垂足为 F，若 CD = 1, CF = 2，则线段 AE的
长为_______.
模块三、折叠之求最值
例 5.如图，在矩形纸片 ABCD 中，边 AB=12，AD=5，点 P 为 DC 边上的动点（点 P 不与点 D，
C 重合，将纸片沿 AP 折叠，则 CD′的最小值为 ．
例 6.如图，正方形 的边长为 4，点 M，N分别在 , 上，将正方形沿 折叠，使点
D落在边 上的点 E处，折痕 与 相交于点 Q，点 G为 中点，连接 ，随着折痕
位置的变化， + 的最小值为 ．
练习 5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4,BC=3，E 为 AB 上一点，连接 DE，将△AED 沿 DE 折叠，
点 A 落在 A1处，连接 A1C，若 F、G 分别为 A1C、BC 的中点，则 FG 的最小值为_________.
练习 6.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中，点 E，F分别是边 BC，AD上的点，连接 EF，
将四边形 ABEF沿 EF折叠，点 B的对应点 G恰好落在 CD边上，点 A的对应点为 H，连接
BH．则BH EF的最小值是 ．
1．如图，在矩形 中，将△ 沿 折叠得到△ ，延长 交 边于点 M，若 = 6，
= 2，则 的长为_______.
第 1 题 第 2 题 第 3 题
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G
处（不与 B、D 重合），折痕为 EF，若 DG＝2，AD＝6，则 BE 的长为_______.
3. 如图，在矩形纸片 ABCD中， AB 8，BC 11，M是 BC上的点，且CM 3，将矩形纸
片 ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在 AB上的点P处，点C落在点C 处，折痕为MN，
当 PC 与线段BC交于点 H 时，则线段 BH 的长是_______.
4. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，E 为 AD 边上的一个动点，连接 BE，将 AB 沿着 BE 折
叠得到 A'B，A 的对应点为 A'，连接 A'D，当 A′B⊥AD 时，∠A'DE 的度数为 ______．
第 4题 第 5题
5. 如图，在菱形 ABCD中， AB 8， A 120 ，M是CD上，DM 3，N是点 AB上一动
点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点 C对应点为 E，当 AE最小时， AN ．
6. 操作与探究：
数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在正方形内部点 处，连接 , ．
(1)操作发现：根据以上操作，当点 落在折痕 上时，如图 1 所示，此时∠ =______°；
(2)迁移探究：当点 落在对角线 上时，如图 2 所示，连接 ，与 , 分别交于点 , ，
试判断线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图 3，连接 , ，若正方形的边长为 4，且 △ = 4，连接 ，则
Δ =______．《特殊四边形内的折叠问题》参考答案
模块一、折叠之求角度
例1.如图将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为 110° ．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，再由三角形的外角性质得∠ABD＝∠CDB＝28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，
∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，
∴∠ABD＝∠CDB＝28°，
∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
例2．如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△GDE，GD交BC于点F，连接CG，若CG∥BD，则∠BDE＝ 15° ．
【分析】过点C作CO⊥AB于点O，过点G作GH⊥AB于点H，先得出BD＝2OC，再利用翻折的性质得出△BDE≌△GDE，进而得出DG＝2GH，最好利用直角三角形的判定定理得出结论．
【解答】解：过点C作CO⊥AB于点O，过点G作GH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠CDO＝45°，
∵CO⊥AB，
∴BD＝2OD＝2OC，
∵CO⊥AB，GH⊥AB，
∴CO∥GH，∠COH＝90°，
∵CG∥BD，
∴四边形COHG为矩形，
∴CO＝GH，
由翻折的性质得：△BDE≌△GDE，
∴BD＝DG，∠BDE＝∠GDH，
∵BD＝2OC，
∴DG＝2GH，
∴∠GDH＝30°，
∴∠BDE＝＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
练习1．如图，在 ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝60°，∠DAM＝20°，则∠NMD′的大小为 20 度．
【分析】由三角形内角和定理可求∠AMD＝100°，可得∠AMN＝80°，由折叠的性质可求∠AMD＝∠AMD'＝100°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠D＝60°，且∠DAM＝20°
∴∠AMD＝100°，
∴∠AMN＝80°
∵将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，
∴∠AMD＝∠AMD'＝100°
∴∠NMD'＝∠AMD'﹣∠AMN＝100°﹣80°＝20°
故答案为：20°
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
练习2．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则∠ADE=15°，tan∠ADE=2﹣
【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2
则DN=1，MN=AD=2，
由折叠知：AD=DF=2，
在Rt△DFN中，sin∠DFN=0.5，
则∠DFN=30°
由AD//MN得∠ADF=∠DFN=30°
由折叠知：∠ADE=∠EDF=0.5∠ADF=15°
tan∠ADE=tan∠EDF=EF:DF
∵△EMF∽△FND，∴EF:DF=MF:DN=2﹣
模块二、折叠之求线段长
例3．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为？
【分析】连接AP，由正方形的性质得AD＝CD＝BC＝AB＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由点E是BC的中点，得BE＝CE＝3，由折叠得AF＝AB，FE＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，则∠AFP＝90°，AF＝AD，可证明Rt△APF≌Rt△APD，则FP＝DP，根据勾股定理列方程得32+（6﹣DP）2＝（3+DP）2，求得DP＝2．
【解答】解：连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝3，
由折叠得AF＝AB，FE＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴∠AFP＝90°，AF＝AD，
在Rt△APF和Rt△APD中，
，
∴Rt△APF≌Rt△APD（HL），
∴FP＝DP，
∴CP＝6﹣DP，EP＝3+FP＝3+DP，
∵CE2+CP2＝EP2，
∴32+（6﹣DP）2＝（3+DP）2，
∴解得DP＝2，
∴DP的长度为2．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明Rt△APF≌Rt△APD，进而推导出FP＝DP是解题的关键．
例4．已知：菱形ABCD中，，AC＝2，AC 与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为_______.
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，利用勾股定理求出OB＝，则BD＝，由折叠的性质得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE＝，由等边对等角得∠AFD＝∠ADF，再根据AB∥CD得∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，进而得到∠BAE＝∠BDA，于是可证明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝2，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，AB∥CD，OB＝OD，∠ADB＝∠CDB＝，
在Rt△AOB中，OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝，
根据折叠的性质可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE＝，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，
∴∠BAF＝∠ADC，
∴∠BAE＝∠BDA，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，即，
∴BE＝．
【点评】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，利用折叠的性质和菱形的性质得出∠BAE＝∠BDA，以此证明△ABE∽△DBA是解题关键．
练习3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求
DF＝2EH＝．
【解答】解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝＝＝2，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝×BE×CH＝×BC×CE，
∴CH＝，
∴EH＝＝＝，
∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝，
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
练习4．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长是 ．
【分析】证明△EDC≌△CFB（AAS），得DE＝CF＝2，即得，则，故．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠FCB，
又∵BC＝CE，∠EDC＝∠CFB＝90°，
∴△EDC≌△CFB（AAS），
∴DE＝CF＝2，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折问题、三角形全等的证明和勾股定理的运用，掌握折叠的性质并结合勾股定理计算线段长度是本题的关键．
模块三、折叠之求最值
例5．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 8 ．
【分析】连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解答即可．
【解答】解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查矩形的性质和折叠的性质，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答．
例6．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB，CD上，将正方形沿MN折叠，使点D落在边BC上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q，点G为EF中点，连接GQ，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为（ ）
【分析】取AD中点P，连接QG、QP、QC，可得QP＝QG，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出GQ+QE＝QP+QC≥CP，然后利用勾股定理求出CP即可得出答案．
【解答】解：如图，取AD中点P，连接OG、OP、OC，
由折叠的性质可知，QP＝QG，Q为DE中点，
∵△CDE为直角三角形，
∴，
∴GQ+QE＝QP+QC≥CP，
∵，
∴，
∴GQ+QE的最小值为，
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，解题的关键是取AD中点，利用轴对称的性质得出 GQ+QE＝QP+QC≥CP，属于中考常考题型．
练习5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为 1 ．
【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG＝A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D＝AD＝BC，即可求解．
【解答】解：如图，连接A1B，BD，
∵F、G分别为A1C、BC的中点，
∴FG＝A1B，
当FG的最小时，即A1B最小，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵△ADE沿DE折叠，
∴A1D＝AD＝3，
在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，
∴A1B≥BD﹣A1D，
即A1B≥2，
∴FG＝A1B≥1，
∴FG的最小值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的FG转化为A1B．
练习6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是 2 ．
【分析】如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，由翻折可得△ABG≌△HGB（SAS），再证得△FEK≌△BGC（ASA），即可推出BH+EF＝AG+MG，利用三角形三边关系可得BH+EF≥AM，由于当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，故BH+EF＝AM的值也最小，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴CD⊥BM，
∴CD垂直平分BM，
∴MG＝BG，
由翻折得AB＝HG，∠ABG＝∠HGB，
∵BG＝GB，∴△ABG≌△HGB（SAS），∴GA＝BH，
由翻折知EF⊥BG，
又∵FK⊥BC，∴∠FKE＝∠BCG＝90°，
∴∠EFK+∠FEK＝∠GBC+∠FEK＝90°，
∴∠EFK＝∠GBC，
∵∠BAD＝∠ABC＝∠BKF＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，∴AB＝FK，∴FK＝BC，∴△FEK≌△BGC（ASA），
∴EF＝BG，∴EF＝MG，
∴BH+EF＝AG+MG，
∵AG+MG≥AM，
∴BH+EF≥AM，
∴当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，
∴BH+EF＝AM的值也最小，
∵∠ABM＝90°，AB＝2，BM＝2BC＝4，
∴AM＝＝＝2，
∴BH+EF的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，两点之间线段最短等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
课后练习
1．如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交AD边于点M，若AB＝6，BE＝2，则MF的长为（ ）
【分析】作MN⊥BC于点N，由折叠得EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°．再用”AAS“证明△AFM≌△MNE得ME＝AM，在直角三角形AMF中使用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，作MN⊥BC于点N，
由折叠可得：△ABE≌△AFE．
∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM，
又MN⊥BC，
∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，
在△AFM和△MNE中，
，
∴△AFM≌△MNE（AAS）．
∴AM＝ME，
设MF＝x，则AM＝ME＝x+2，
在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，
即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．
故MF＝8．
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并在直角三角形AMF中运用勾股定理建立方程求解是解答此题的关键．
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为 2.5 ．
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，
由题意得，BD＝DG+BG＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，
在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，
解得，x＝2.5，即BE＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝11，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，当PC′与线段BC交于点H时，则线段BH的长是（ ）
【分析】连接PM，证明△PBM≌△PC'M即可得到CM＝C'M＝PB＝3，证明△PBH≌△C'MH，得出BH＝HC'＝x，然后列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：连接PM，如图所示：
矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝11，
∴CD＝AB＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵CM＝3，
∴BM＝11﹣3＝8，
根据折叠可知，CD＝PC'＝8，∠C'＝∠C＝90°，C'M＝CM＝3，
∴∠B＝∠C'，
∴BM＝PC'＝8，
∵PM＝PM，
∴Rt△PBM≌Rt△PC'M（HL），
∴C'M＝PB＝3，
∵∠PHB＝∠C'HM，∠B＝∠C'，
∴△PBH≌△C'MH（ASA），
∴BH＝HC'，
设BH＝HC'＝x，则HM＝8﹣x，
∵HM2＝HC'2+C'M2，
∴（8﹣x）2＝x2+32，
解得：，
∴，
【点评】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM＝PC'＝8，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．
4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 15° ．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，可证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得A'B垂直平分AD，∠ABA'＝30°，由折叠的性质可得AB＝A'B，可得∠BAA'＝75°，即可求解．
【解答】解：如图，连接AA'，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵A'B⊥AD，
∴A'B垂直平分AD，∠ABA'＝30°，
∴AA'＝A'D，
∴∠A'AD＝∠A'DA，
∵将AB沿着BE折叠得到A'B，
∴AB＝A'B，
∴∠BAA'＝75°，
∴∠A'AD＝∠A'DA＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABD是等边三角形是解题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠A＝120°，M是CD上，DM＝3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN＝ 7 ．
【分析】首先得到点E在以M为圆心，5为半径的圆上，当AE最小时，点A，E，M在一条直线上，再证明出AN＝AM，然后过点M作MH⊥AD于点H，在Rt△MDH中，求出MH，DH，再在Rt△AMH中，由勾股定理求出AM，从而解决问题．
【解答】解：∵ME是MC折叠得到的，
∴ME＝MC，
∵在菱形ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AD＝AB＝8，
∵DM＝3，
∴ME＝MC＝DC﹣DM＝8﹣3＝5，
∴点E在以M为圆心，5为半径的圆上，当AE最小时，点A，E，M在一条直线上，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠ANM＝∠CMN，
∵∠AMN由∠CMN折叠得到，∴∠AMN＝∠CMN，∴AN＝AM，
过点M作MH⊥AD于点H，
在Rt△MDH中，
∠D＝180°﹣∠A＝60°，
∴MH＝DM sin60°＝，
DH＝DM cos60°＝，
∴AH＝AD﹣DH＝8﹣＝，
在Rt△AMH中，
由勾股定理，得AM＝＝＝7，
∴AN＝7，故答案为：7．
【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，菱形的性质，三角函数，勾股定理，发现点E在以M为圆心，5为半径的圆上，当AE最小时，点A，E，M在一条直线上是解题的关键．
6．操作与探究：
数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使BC与AD重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AB上选一点M，沿DM折叠，使点A落在正方形内部点N处，连接MN，DN．
（1）操作发现：
根据以上操作，当点N落在折痕EF上时，如图1所示，此时∠MDN＝ 15 °；
（2）迁移探究：
当点N落在对角线BD上时，如图2所示，连接AC，与DM，BD分别交于点P，O，试判断线段MN与OP的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：
如图3，连接BN，CN，若正方形的边长为4，且S△BNC＝4，连接EN，则S△EMN＝ ．
【分析】（1）根据折叠得出DN＝AD，∠ADM＝∠NDM，∠DFE＝∠CFE＝90°，证明，取DN的中点G，连接FG，证明△DFG为等边三角形，得出∠FDG＝60°，求出∠ADN＝90°﹣60°＝30°，即可得出结果．
（2）连接PN，根据正方形的性质得出AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC＝45°，根据折叠得出AM＝MN，AD＝ND，∠ADP＝∠NDP，∠DNM＝90°，证明△ADP≌NDP，得出AP＝NP，∠DNP＝∠DAP＝45°，证明△OPN为等腰直角三角形，得出，证明∠APM＝∠AMP，得出AP＝AM，求出AM＝MN＝NP＝AP，即可得出结论；
（3）根据S△BNC＝4，得出点N在EF上，根据折叠得出DN＝AD＝4，∠DFN＝∠CFN＝90°，AM＝MN，∠AEF＝∠BEF＝90°，根据勾股定理求出，得出，设ME＝x，则AM＝MN＝2﹣x，根据勾股定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【解答】解：（1）根据折叠可知：DN＝AD，∠ADM＝∠NDM，，∠DFE＝∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADF＝90°，
∴，
取DN的中点G，连接FG，如图所示：
∴，
∴FG＝DG＝FD，
∴△DFG为等边三角形，
∴∠FDG＝60°，
∴∠ADN＝90°﹣60°＝30°，
∴．
（2），理由如下：
连接PN，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
根据折叠可知：AM＝MN，AD＝ND，∠ADP＝∠NDP，∠DNM＝90°，
∵DP＝DP，∠ADP＝∠NDP，AD＝ND，
∴△ADP≌NDP，
∴AP＝NP，∠DNP＝∠DAP＝45°，
∵∠PON＝90°，∠ONP＝45°，
∴△OPN为等腰直角三角形，
∴，
∵∠DPO+∠PDO＝90°，∠AMP+∠ADM＝90°，∠ADM＝∠PDO，
∴∠DPO＝∠AMD，
∵∠APM＝∠DPO，
∴∠APM＝∠AMP，
∴AP＝AM，
∴AM＝MN＝NP＝AP，
∴；
（3）∵正方形的边长为4，
∴根据折叠可知：，
即EF与BC间的距离为2，
设点N到BC的距离为h，
∵S△BNC＝4，
∴，
∴h＝2，
∴点N在EF上，如图所示：
根据折叠可知：DN＝AD＝4，∠DFN＝∠CFN＝90°，AM＝MN，∠AEF＝∠BEF＝90°，AE∥DF，
∵AE＝DF＝2，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴EF＝AD＝4，
∴根据勾股定理得：，
∴，
设ME＝x，则AM＝MN＝2﹣x，
根据勾股定理得：ME2+EN2＝MN2，
即，
解得：，
∴
＝
＝14﹣24．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
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