第1课时 两角和、差及倍角公式
公式的直接应用
（基础自学过关）
1.若cos α＝－，α是第三象限角，则sin（α＋）＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
2.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（ ）
A.－3m B.－
C. D.3m
3.（2024·昆明“三诊一模”质量检测）已知cos α＝，α∈（0，），则tan 2α＝ .
4.计算：＝ .
练后悟通
三角函数公式的应用策略
（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
公式的逆用及变形用
（师生共研过关）
（1）已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos（α－β）＝（ ）
A.－ B.－
C.－ D.－
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β＝ .
听课记录 解题技法
三角函数公式的活用技巧
（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
（2）tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用.
提醒 （1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
（2）注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的.
1.（2025·南京、盐城调研测试）tan－＝ .
2.计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝ .
3.化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝ .
角的变换
（师生共研过关）
（1）（2025·南通阶段练习）锐角α，β满足sin β＝cos（α＋β）sin α，若tan α＝，则cos（α＋β）＝（ ）
A. B.
C. D.－
（2）（2024·南宁第一次适应性测试）已知0＜α＜＜β＜π，cos β＝－，sin（α＋β）＝，则cos α＝ .
听课记录 解题技法
1.已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，则tan（π－2α）＝（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
2.已知cos（α＋）＝－，α∈（0，），则sin（α＋）＝ .
辅助角公式
（师生共研过关）
（2025·沈阳教学质量监测一）已知sin（－θ）＋cos（－θ）＝1，则cos（2θ－）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
听课记录
解题技法
辅助角公式的作用及常见结论
（1）作用：借助辅助角公式可以将同角不同名的三角函数化为统一，便于研究函数的性质.
（2）常见结论
①sin x±cos x＝sin（x±）；
②cos x±sin x＝cos（x ）；
③sin x±cos x＝2sin（x±）；
④cos x±sin x＝2cos（x ）；
⑤sin x±cos x＝2sin（x±）；
⑥cos x±sin x＝2cos（x ）.
1.若函数f（x）＝Asin x－cos x的一个零点为，则f（）＝ .
2.－＝ .
第1课时 两角和、差及倍角公式
【考点·分类突破】
考点1
1.B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，则sin α＝－＝－＝－，因此sin（α＋）＝sin αcos＋cos αsin＝（－）×＋（－）×＝－.故选B.
2.A 因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A.
3.－2 解析：由题意得sin α＝＝＝＝，故tan α＝＝，所以tan 2α＝＝＝－2.
4. 解析：＝＝＝.
考点2
【例1】 （1）C （2） 解析：（1）sin α＋sin β＝ sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝①，cos α＋cos β＝ cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝②，①＋②，得2＋2（sin αsin β＋cos αcos β）＝ cos（α－β）＝×（－2）＝－.
（2）∵α＋β＝，∴tan（α＋β）＝＝tan（π－）＝－，∴tan α＋tan β＝－（1－tan αtan β），∴tan αtan β－tan α－tan β＝.
跟踪训练
1.－2 解析：原式＝－＝＝＝－2.
2. 解析：原式＝
＝＝＝＝＝.
3.1 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°（tan 20°＋tan 10°）＝tan 10°tan 20°＋tan（20°＋10°）（1－tan 20°tan 10°）＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
考点3
【例2】 （1）B （2） 解析：（1）由sin β＝cos（α＋β）sin α sin[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）sin α，所以sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝cos（α＋β）sin α sin （α＋β）cos α＝2cos（α＋β）sin α，所以tan（α＋β）＝2tan α＝1；又α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.所以cos（α＋β）＝.故选B.
（2）由题意知sin β＝，∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α＋β＜.又sin（α＋β）＝，∴cos（α＋β）＝－，∴cos α＝cos[（α＋β）－β]＝cos（α＋β）cos β＋sin（α＋β）sin β＝（－）×（－）＋×＝.
跟踪训练
1.B 因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以tan 2α＝＝＝1.又tan（π－2α）＝－tan 2α，所以tan（π－2α）＝－1.
2. 解析：因为cos（α＋）＝－，α∈（0，），所以α＋∈（，），sin（α＋）＝，所以sin（α＋）＝sin［（α＋）－］＝sin（α＋）cos－cos（α＋）sin＝×－（－）×＝.
考点4
【例3】 B 由sin（－θ）＋cos（－θ）＝1，得cos θ＋coscos θ＋sinsin θ＝1，即cos θ＋sin θ＝1，结合辅助角公式得×（cos θ＋sin θ）＝1，
法一 即coscos θ＋sinsin θ＝，即cos（θ－）＝，又cos（2θ－）＝cos［2（θ－）］＝2cos2（θ－）－1＝2×（）2－1＝－.故选B.
法二 即sincos θ＋cossin θ＝，即sin（＋θ）＝，所以1－2sin2（＋θ）＝cos［2（＋θ）］＝cos（＋2θ）＝，所以cos（2θ－）＝cos［（2θ＋）－π］＝－cos（2θ＋）＝－，故选B.
跟踪训练
1.－ 解析：依题意得f（）＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sin x－cos x＝2sin（x－），所以f（）＝2sin（－）＝－.
2.4 解析：原式＝＝＝＝＝4.
3 / 3(共52张PPT)
第1课时 两角和、差及倍角公式
高中总复习·数学
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
公式的直接应用（基础自学过关）
1. 若 cos α＝－ ，α是第三象限角，则 sin （α＋ ）＝（ ）
A. B. －
C. － D.
√
解析： ∵α是第三象限角，∴ sin α＜0，则 sin α＝－ ＝
－ ＝－ ，因此 sin （α＋ ）＝ sin α cos ＋ cos α sin
＝（－ ）× ＋（－ ）× ＝－ .故选B.
2. （2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则
cos （α－β）＝（ ）
A. －3m B. －
C. D. 3m
解析： 因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝
m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos
β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，从而
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故
选A.
√
3. （2024·昆明“三诊一模”质量检测）已知 cos α＝ ，α∈（0，
），则tan 2α＝ －2 .
解析：由题意得 sin α＝ ＝ ＝ ＝ ，故tan
α＝ ＝ ，所以tan 2α＝ ＝ ＝－2 .
－2
4. 计算： ＝ .
解析： ＝ ＝
＝ .
练后悟通
三角函数公式的应用策略
（1）使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变
化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
（2）使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合
应用.
公式的逆用及变形用（师生共研过关）
（1）已知 sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，则 cos （α－
β）＝（ C ）
A. － B. －
C. － D. －
C
解析： sin α＋ sin β＝ sin 2α＋ sin 2β＋2 sin α sin β＝ ①，
cos α＋ cos β＝ cos 2α＋ cos 2β＋2 cos α cos β＝ ②，①＋②，得
2＋2（ sin α sin β＋ cos α cos β）＝ cos （α－β）＝ ×（ －
2）＝－ .
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝ ，则 tan αtan β－tan α－tan β
＝ .
解析： ∵α＋β＝ ，∴tan（α＋β）＝ ＝tan（π－ ）
＝－ ，∴tan α＋tan β＝－ （1－tan αtan β），∴ tan αtan β
－tan α－tan β＝ .
解题技法
三角函数公式的活用技巧
（1）逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
（2）tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋
β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和
变形使用.
提醒 （1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
（2）注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从
而达到约分的目的.
1. （2025·南京、盐城调研测试）tan － ＝ .
解析：原式＝ － ＝ ＝ ＝－2.
2. 计算： cos 20° cos 40° cos 80°＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
－2
3. 化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝ .
解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°（tan 20°＋tan 10°）＝tan
10°tan 20°＋ tan（20°＋10°）（1－tan 20°tan 10°）＝tan 10°tan
20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
1
角的变换（师生共研过关）
（1）（2025·南通阶段练习）锐角α，β满足 sin β＝ cos （α＋
β） sin α，若tan α＝ ，则 cos （α＋β）＝（ B ）
A. B.
C. D. －
B
解析： 由 sin β＝ cos （α＋β） sin α sin [（α＋β）－α]＝
cos （α＋β） sin α，所以 sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α
＝ cos （α＋β） sin α sin （α＋β） cos α＝2 cos （α＋β） sin
α，所以tan（α＋β）＝2tan α＝1；又α，β均为锐角，所以α＋β∈
（0，π），所以α＋β＝ .所以 cos （α＋β）＝ .故选B.
（2）（2024·南宁第一次适应性测试）已知0＜α＜ ＜β＜π， cos β＝
－ ， sin （α＋β）＝ ，则 cos α＝ .
解析： 由题意知 sin β＝ ，∵0＜α＜ ＜β＜π，∴ ＜α＋β＜
.又 sin （α＋β）＝ ，∴ cos （α＋β）＝－ ，∴ cos α＝ cos
[（α＋β）－β]＝ cos （α＋β） cos β＋ sin （α＋β） sin β＝（－
）×（－ ）＋ × ＝ .
解题技法
1. 已知tan（α＋β）＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（π－2α）＝
（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以tan 2α＝
＝ ＝1.又tan（π－2α）＝－tan 2α，所以
tan（π－2α）＝－1.
√
2. 已知 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0， ），则 sin （α＋ ）
＝ .
解析：因为 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0， ），所以α＋ ∈（ ，
）， sin （α＋ ）＝ ，所以 sin （α＋ ）＝ sin ［（α＋ ）－ ］
＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin ＝ × －（－ ）× ＝
.
辅助角公式（师生共研过关）
（2025·沈阳教学质量监测一）已知 sin （ －θ）＋ cos （ －θ）
＝1，则 cos （2θ－ ）＝（ ）
A. B. －
C. D. －
√
解析： 由 sin （ －θ）＋ cos （ －θ）＝1，得 cos θ＋ cos cos θ
＋ sin sin θ＝1，即 cos θ＋ sin θ＝1，结合辅助角公式得 ×（
cos θ＋ sin θ）＝1，
法一 即 cos cos θ＋ sin sin θ＝ ，即 cos （θ－ ）＝ ，又 cos
（2θ－ ）＝ cos ［2（θ－ ）］＝2 cos 2（θ－ ）－1＝2×（ ）2－
1＝－ .故选B.
法二 即 sin cos θ＋ cos sin θ＝ ，即 sin （ ＋θ）＝ ，所以1－2
sin 2（ ＋θ）＝ cos ［2（ ＋θ）］＝ cos （ ＋2θ）＝ ，所以 cos
（2θ－ ）＝ cos ［（2θ＋ ）－π］＝－ cos （2θ＋ ）＝－ ，故
选B.
解题技法
辅助角公式的作用及常见结论
（1）作用：借助辅助角公式可以将同角不同名的三角函数化为统一，便
于研究函数的性质.
（2）常见结论
① sin x± cos x＝ sin （x± ）；
② cos x± sin x＝ cos （x ）；
③ sin x± cos x＝2 sin （x± ）；
④ cos x± sin x＝2 cos （x ）；
⑤ sin x± cos x＝2 sin （x± ）；
⑥ cos x± sin x＝2 cos （x ）.
1. 若函数f（x）＝A sin x－ cos x的一个零点为 ，则f（ ）＝
.
解析：依题意得f（ ）＝A× － × ＝0，解得A＝1，所以f（x）
＝ sin x－ cos x＝2 sin （x－ ），所以f（ ）＝2 sin （ － ）＝－
.
－
2. － ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝
＝ ＝4.
4
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
1. （2025·沈阳阶段练习）角α终边上一点的坐标为（－3，4），则 cos
（α＋ ）＝（ ）
A. B. －
C. D. －
√
解析： 由角α终边上一点坐标为（－3，4），则 sin α＝ ， cos α＝
－ ，则 cos （α＋ ）＝ cos α cos － sin α sin ＝ ×（－ － ）＝
－ .故选D.
2. （2025·佛山模拟）已知 sin α＝ ，α为钝角，tan（α－β）＝ ，则
tan β＝（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 因为 sin α＝ ，α为钝角，所以 cos α＝－ ，则tan α＝
＝－ ，又tan（α－β）＝ ，所以tan β＝tan[α－（α－β）]＝
＝ ＝－1.故选B.
√
3. （2024·甘肃高考诊断考试）已知 sin （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin
（2α－ ）＝（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： 因为 sin （α＋ ）－ sin α＝ cos α－ sin α＝ cos （α＋
）＝ ，所以 sin （2α－ ）＝ sin ［2（α＋ ）－ ］＝－ cos ［2（α
＋ ）］＝1－2 cos 2（α＋ ）＝－ .故选B.
√
4. （2025·大连第一次模拟考试）若α∈（ ，π），且5 cos 2α＝ sin
（ －α），则tan α＝（ ）
A. － B. －
C. － D. 1
√
解析： 5 cos 2α＝5（ cos 2α－ sin 2α）＝ （ cos α－ sin
α）＝ cos α－ sin α，5（ cos α－ sin α）（ cos α＋ sin α）＝
cos α－ sin α，所以 cos α－ sin α＝0或 cos α＋ sin α＝ ，因为
α∈（ ，π），所以 cos α－ sin α＜0， cos α－ sin α＝0舍去.由
得 或 （舍去），所
以tan α＝ ＝－ ，故选A.
5. 〔多选〕下列各式中，值为 的是（ ）
A. sin sin B. － cos 215°
C. ＋ D. cos 72° cos 36°
√
√
解析： 对于A， sin sin ＝ sin cos ＝ sin ＝ ；对于B， －
cos 215°＝ （1－2 cos 215°）＝－ cos 30°＝－ ≠ ；对于C，
＋ ＝ ＝ ＝
＝4≠ ；对于D， cos 72° cos 36°＝
＝ ＝ ＝ .故选A、D.
6. 〔多选〕已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈（0，
），则（ ）
A. cos β＝ B. sin β＝
C. cos （α－β）＝ D. sin （α－β）＝－
√
√
解析： 因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α＝ ，又α，
β∈（0， ），所以α＋β∈（0，π），所以 sin （α＋β）＝
＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos
（α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝－ ＋ ＝ ，A正确. sin β＝
，B错误. cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ，C正确.
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ，D错误.
7. 已知0＜α＜ ，且 sin α＝ ，则tan（α＋ ）＝ .
解析：由题意得 cos α＝ ＝ ，所以tan α＝ ＝ ，则tan
（α＋ ）＝tan（α＋ ）＝ ＝7.
7
8. 化简： ＝ .
解析： ＝ ＝ ＝
＝ .
解： 因为α，β∈（0， ），所以－ ＜α－β＜ .
又因为tan（α－β）＝－ ＜0，
所以－ ＜α－β＜0，
且 sin （α－β）＝－ cos （α－β），
又 sin 2（α－β）＋ cos 2（α－β）＝1，
解得 cos （α－β）＝ ， sin （α－β）＝－ .
9. 已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ，tan（α－β）＝－ .
求：（1） sin （α－β）的值；
（2） cos β的值.
解： 由（1）可得 cos （α－β）＝ ， sin （α－β）＝－ .
因为α为锐角，且 sin α＝ ，所以 cos α＝ .
所以 cos β＝ cos [α－（α－β）]
＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）
＝ × ＋ ×（－ ）＝ .
10. 设α，β∈[0，π]，且满足 sin α cos β－ cos α sin β＝1，则 cos
（2α－β）的取值范围为（ ）
A. [0，1] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. ［－ ， ］
解析： 因为α，β∈[0，π]，所以α－β∈[－π，π].又因为 sin α cos
β － sin β cos α ＝ sin （α－β）＝1，所以α－β＝ ，所以2α－β∈
［ ， ］，所以 cos （2α－β）∈[－1，0].故选B.
√
11. 已知 tan 20°＋λ cos 70°＝3，则实数λ＝（ ）
A. B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由已知可得， ＋λ sin 20°＝3，则 sin 20°＋λ sin
20° cos 20°＝3 cos 20°，即 sin 40°＝3 cos 20°－ sin 20°＝2
sin （60°－20°）＝2 sin 40°，所以λ＝4 .故选D.
√
12. 〔多选〕（2024·温州一模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴
的非负半轴重合，P（－3，4）为其终边上一点，若角β的终边与角2α的
终边关于直线y＝－x对称，则（ ）
A. cos （π＋α）＝
B. β＝2kπ＋ ＋2α（k∈Z）
C. tan β＝
D. 角β的终边在第一象限
√
√
√
解析： 设坐标原点为O. 因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，4），所以｜OP｜＝5，所以 sin α＝ ， cos α＝－ ，所以 cos （π＋α）＝－ cos α＝ ，故A正确； sin 2α＝2 sin α cos α＝2× ×（－ ）＝－ ， cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝（－ ）2－（ ）2＝－ ，所以角2α的终边与单位圆的交点坐标为（－ ，－ ），因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为（ ， ），所以tan β＝ ，且角β的终边在第一象限，故C、D正确；又因为终边在直线y＝－x的角为kπ－ ，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于直线y＝－x对称，所以 ＝kπ－ （k∈Z），β＝2kπ－ －2α（k∈Z），故B错误.故选A、C、D.
13. （2024·齐齐哈尔一模）已知 sin （α－β）＝2 cos （α＋β），tan
（α－β）＝ ，则tan α－tan β＝ .
解析：由 sin （α－β）＝2 cos （α＋β） sin α cos β－ cos α sin β
＝2 cos α cos β－2 sin α sin β ＝
tan α－tan β＝2－2tan αtan β，由tan（α－β）＝ ＝
tan αtan β＝2（tan α－tan β）－1，于是有tan α－tan β＝2－2[2
（tan α－tan β）－1] tan α－tan β＝ .
14. 已知0＜α＜ ＜β＜π， cos （β－ ）＝ ， sin （α＋β）＝ .
（1）求 sin 2β 的值；
解： 法一 ∵ cos （β－ ）＝ cos β cos ＋ sin β sin ＝ cos β＋
sin β＝ .
∴ cos β＋ sin β＝ ，
∴1＋ sin 2β＝ ，∴ sin 2β＝－ .
法二 sin 2β＝ cos （ －2β）＝2 cos 2（β－ ）－1＝－ .
（2）求 cos （α＋ ）的值.
解： ∵0＜α＜ ＜β＜π，
∴ ＜β－ ＜ ， ＜α＋β＜ ，
∵ cos （β－ ）＝ ， sin （α＋β）＝ ，
∴ sin （β － ）＝ ， cos （α＋β）＝－ .
∴ cos （α＋ ）＝ cos ［（α＋β）－（β－ ）］
＝ cos （α＋β） cos （β－ ）＋ sin （α＋β） sin （β－ ）＝－
× ＋ × ＝ .
15. （创新知识交汇）（2025·重庆质量检测）已知x1，x2为方程x2－
［ － ］x＋ ＝0的两个实数根，且α，β∈（0， ），x1
＝3x2，则tan α的最大值为 .
12
解析：x1，x2为方程x2－［ － ］x＋ ＝0的两个实数根，
且α，β∈（0， ），则x1＋x2＝ － ，x1x2＝ ，且tan α
＞0，tan β＞0，由x1＝3x2，解得x1＝ ，x2＝ ，所以x1＋x2＝ －
＝ － ＝ ，则tan α＋tan β－（1－tan αtan
β）·tan β＝ （tan α＋tan β）tan β，整理得（tan α－ ）·tan2β
－ tan αtan β＋tan α＝0，因为关于tan β的方程有解，所以Δ＝
tan2α－4tan α（tan α－ ）≥0，即tan2α－12 tan α≤0，解得
0≤tan α≤12 ，又tan α≠0，所以0＜tan α≤12 ，所以tan α的最大
值为12 .
THANKS
演示完毕 感谢观看第1课时 两角和、差及倍角公式
1.（2025·沈阳阶段练习）角α终边上一点的坐标为（－3，4），则cos（α＋）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.（2025·佛山模拟）已知sin α＝，α为钝角，tan（α－β）＝，则tan β＝（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
3.（2024·甘肃高考诊断考试）已知sin（α＋）－sin α＝，则sin（2α－）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
4.（2025·大连第一次模拟考试）若α∈（，π），且5cos 2α＝sin（－α），则tan α＝（ ）
A.－ B.－
C.－ D.1
5.〔多选〕下列各式中，值为的是（ ）
A.sinsin B.－cos215°
C.＋ D.cos 72°cos 36°
6.〔多选〕已知cos α＝，cos（α＋β）＝－，且α，β∈（0，），则（ ）
A.cos β＝ B.sin β＝
C.cos（α－β）＝ D.sin（α－β）＝－
7.已知0＜α＜，且sin α＝，则tan（α＋）＝ .
8.化简：＝ .
9.已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan（α－β）＝－.
求：（1）sin（α－β）的值；
（2）cos β的值.
10.设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则cos（2α－β）的取值范围为（ ）
A.[0，1] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.［－，］
11.已知tan 20°＋λcos 70°＝3，则实数λ＝（ ）
A. B.2
C.3 D.4
12.〔多选〕（2024·温州一模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P（－3，4）为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则（ ）
A.cos（π＋α）＝
B.β＝2kπ＋＋2α（k∈Z）
C.tan β＝
D.角β的终边在第一象限
13.（2024·齐齐哈尔一模）已知sin（α－β）＝2cos（α＋β），tan（α－β）＝，则tan α－tan β＝ .
14.已知0＜α＜＜β＜π，cos（β－）＝，sin（α＋β）＝.
（1）求sin 2β 的值；
（2）求cos（α＋）的值.
15.（创新知识交汇）（2025·重庆质量检测）已知x1，x2为方程x2－［－］x＋＝0的两个实数根，且α，β∈（0，），x1＝3x2，则tan α的最大值为 .
第三节 三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式
1.D 由角α终边上一点坐标为（－3，4），则sin α＝，cos α＝－，则cos（α＋）＝cos αcos－sin αsin＝×（－－）＝－.故选D.
2.B 因为sin α＝，α为钝角，所以cos α＝－，则tan α＝＝－，又tan（α－β）＝，所以tan β＝tan[α－（α－β）]＝＝＝－1.故选B.
3.B 因为sin（α＋）－sin α＝cos α－sin α＝cos（α＋）＝，所以sin（2α－）＝sin［2（α＋）－］＝－cos［2（α＋）］＝1－2cos2（α＋）＝－.故选B.
4.A 5cos 2α＝5（cos2α－sin2α）＝（cos α－sin α）＝cos α－sin α，5（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos α－sin α，所以cos α－sin α＝0或cos α＋sin α＝，因为α∈（，π），所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝0舍去.由得
或（舍去），所以tan α＝＝－，故选A.
5.AD 对于A，sinsin＝sincos＝sin＝；对于B，－cos215°＝（1－2cos215°）＝－cos 30°＝－≠；对于C，＋＝＝＝＝4≠；对于D，cos 72°cos 36°＝＝＝＝.故选A、D.
6.AC 因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝，又α，β∈（0，），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－＋＝，A正确.sin β＝，B错误.cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝，C正确.sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝，D错误.
7.7 解析：由题意得cos α＝＝，所以tan α＝＝，则tan（α＋）＝tan（α＋）＝＝7.
8. 解析：＝
＝
＝＝.
9.解：（1）因为α，β∈（0，），所以－＜α－β＜.
又因为tan（α－β）＝－＜0，
所以－＜α－β＜0，
且sin（α－β）＝－cos（α－β），
又sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1，
解得cos（α－β）＝，sin（α－β）＝－.
（2）由（1）可得cos（α－β）＝，sin（α－β）＝－.
因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos[α－（α－β）]
＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）
＝×＋×（－）＝.
10.B 因为α，β∈[0，π]，所以α－β∈[－π，π].又因为sin αcos β －sin βcos α ＝sin（α－β）＝1，所以α－β＝，所以2α－β∈［，］，所以cos（2α－β）∈[－1，0].故选B.
11.D 由已知可得，＋λsin 20°＝3，则sin 20°＋λsin 20°cos 20°＝3cos 20°，即sin 40°＝3cos 20°－sin 20°＝2sin（60°－20°）＝2sin 40°，所以λ＝4.故选D.
12.ACD 设坐标原点为O.因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，4），所以｜OP｜＝5，所以sin α＝，cos α＝－，所以cos（π＋α）＝－cos α＝，故A正确；sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝（－）2－（）2＝－，所以角2α的终边与单位圆的交点坐标为（－，－），因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为（，），所以tan β＝，且角β的终边在第一象限，故C、D正确；又因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于直线y＝－x对称，所以＝kπ－（k∈Z），β＝2kπ－－2α（k∈Z），故B错误.故选A、C、D.
13. 解析：由sin（α－β）＝2cos（α＋β） sin αcos β－cos αsin β＝2cos αcos β－2sin αsin β ＝ tan α－tan β＝2－2tan αtan β，由tan（α－β）＝ ＝ tan αtan β＝2（tan α－tan β）－1，于是有tan α－tan β＝2－2[2（tan α－tan β）－1] tan α－tan β＝.
14.解：（1）法一 ∵cos（β－）＝cos βcos＋sin βsin＝cos β＋sin β＝.
∴cos β＋sin β＝，
∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二 sin 2β＝cos（－2β）＝2cos2（β－）－1＝－.
（2）∵0＜α＜＜β＜π，
∴＜β－＜，＜α＋β＜，
∵cos（β－）＝，sin（α＋β）＝，
∴sin（β －）＝，cos（α＋β）＝－.
∴cos（α＋）＝cos［（α＋β）－（β－）］
＝cos（α＋β）cos（β－）＋sin（α＋β）sin（β－）＝－×＋×＝.
15.12 解析：x1，x2为方程x2－［－］x＋＝0的两个实数根，且α，β∈（0，），则x1＋x2＝－，x1x2＝，且tan α＞0，tan β＞0，由x1＝3x2，解得x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝－＝－＝，则tan α＋tan β－（1－tan αtan β）·tan β＝（tan α＋tan β）tan β，整理得（tan α－）·tan2β－tan αtan β＋tan α＝0，因为关于tan β的方程有解，所以Δ＝tan2α－4tan α（tan α－）≥0，即tan2α－12tan α≤0，解得0≤tan α≤12，又tan α≠0，所以0＜tan α≤12，所以tan α的最大值为12.
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