2024-2025学年人教A版数学必修第二册 6.2.1 向量的加法运算 同步课堂练习(含详解)

第六章　　6.2.1向量的加法运算
一、选择题
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A． B．
C． D．
2．(多选题)下列各式中，结果为0的是( )
A．＋＋
B．(＋)＋＋
C．＋＋＋
D．＋＋＋
3．(多选题)下列等式中正确的是( )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋
4．已知a∥b，且|a|＝4，|b|＝9，则a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
5．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( )
A． B．
C． D．
6．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
7．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
8．(多选题)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上的一点，则＋＋＝ 　.
10．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为___，___.
11．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝___.
12．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝___.
三、解答题
13．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
14．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.求证：＋＝＋.
15．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
第六章　　6.2.1向量的加法运算
一、选择题
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( A )
A． B．
C． D．
[解析]　＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
2．(多选题)下列各式中，结果为0的是( AD )
A．＋＋
B．(＋)＋＋
C．＋＋＋
D．＋＋＋
[解析]　根据三角形法则和向量加法的运算律，可得A、D正确．
3．(多选题)下列等式中正确的是( ABD )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋
[解析]　当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
4．已知a∥b，且|a|＝4，|b|＝9，则a＋b的方向( C )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
[解析]　因为a∥b，且|a|＝4，|b|＝9.
所以|b|>|a|>0，
所以当a，b同向时，a＋b的方向与b相同，当a，b反向时，因为|b|>|a|，所以a＋b的方向仍与b相同．
5．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( B )
A． B．
C． D．
[解析]　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
6．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( A )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
[解析]　利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.
7．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( C )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
[解析]　∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C．
8．(多选题)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则( AC )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
[解析]　在 ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量．因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A、C正确，B错误；|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，D错误．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上的一点，则＋＋＝ 0　.
[解析]　＋＋＝＋＋＝0.
10．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为_20__，_4__.
[解析]　当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋b|＝8＋12＝20，
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，综上知，4≤|a＋b|≤20，
所以最大值为20，最小值为4.
11．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝_1__.
[解析]　在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|＋|＝||＝1.
12．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝_120°__.
[解析]　因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
三、解答题
13．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
[解析]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d，
(2)由向量三角不等式知|a＋e|≤|a|＋|e|＝3，当且仅当a，e同向时等号成立，
故|a＋e|的最大值为3.
14．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.求证：＋＝＋.
[解析]　因为＝＋，
＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
又因为＋＝0，所以＋＝＋.
15．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
[解析]　(1)＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.