1.1.3 等腰三角形的判定和反证法同步练习（含解析）-北师大版数学八年级下册

1.1.3 等腰三角形的判定和反证法
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知识点1 等腰三角形的判定
[2024宁夏中卫质检]下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.∠A:∠B:∠C=1:1:3
B. BC:AC:AB=2:2:3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C
2[2024浙江宁波校级质检]如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有 个.
[2023河北邢台期末]如图,在△ABC中,AB=5BC,D是AC的中点,连接BD,过点A作AF∥BC交BD的延长线于点 F.求证：△ABF 是等腰三角形.
4[2024吉林松原期中]如图,∠1+∠2=180°,GP平分∠BGH.
(1)求证:△PGH是等腰三角形;
(2)若∠1=116°,求∠GPD的度数.
知识点2 等腰三角形的判定的实际应用
[2024广东江门期中]如图，一条笔直的公路l经过A处和公园C，现要进一步开发景区B，经测量，景区B位于A 处的北偏东60°方向上，位于公园C的北偏东30°方向上,且AC=16 km,则公园C与景区 B 的距离为 .
6如图，一艘渔船位于小岛 P 的南偏东70°方向的M处，它以每时40千米的速度向正北方向航行，2时后到达位于小岛 P 的北偏东40°方向的N处，求N处与小岛P 的距离.
知识点3 反证法的应用
7[2023 江西南昌期中]用反证法证明“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时，首先应假设 ( )
A.三角形三个内角中至多有一个角不大于60°
B.三角形三个内角中至少有一个角不小于60°
C.三角形三个内角中至少有一个角大于60°
D.三角形三个内角都大于60°
8、如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是底边BC 上的高，请你利用反证法证明∠DAB 是一个锐角.
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1新考法[2023 天津和平区期中，中]如图，在△ABC中,∠ABC=70°,∠BAC=40°.点 P 为直线CB 上一动点，并沿直线 CB 从右向左移动，若以点P与△ABC三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P的位置有 ( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.9个
2[中]下列选项中是四张形状不同的三角形纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是( )
3[2024河南信阳质检,中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=12,点 D 为 BC中点,点 E 为AC 上一动点,把△CDE 沿DE 折叠得到△FDE,连接AF.当△AEF为直角三角形时,线段AE的长是 .
4[2024 河南周口期中，中]如图，要在河的一侧测量河对岸A，B两点的距离.选择点 C，使A，B,C在一条直线上,作射线 CF,测得∠ACF=50°,在射线CF上选取点 D 和点 E,使∠BDC=65°,∠AEC=65°. 这时测得 DE 的长就是A,B两点的距离，为什么
5[2024 福建莆田校级期中，较难]如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，n)，C(2,0),B(m,0),且
(1)求证:∠ABC=∠ACB.
(2)如图(1),过x轴上一点 D(-6,0)作DE⊥AC于E,DE交y轴于点 F,求F点的坐标.
(3)如图(2),将△ABC沿x轴向左平移,AC边与y轴交于点 P(P 不同于A和C两点)，过P作一直线与AB 的延长线交于 Q 点，与x轴交于点M,且 CP=BQ,在△ABC平移过程中,M点的坐标是否发生变化 写出你的结论及理由.
课时3 等腰三角形的判定和反证法
刷基础
1. D 【解析】
A 由∠A:∠B:∠C=1:1:3,得到∠A=∠B,则△ABC是等腰三角形，不符合题意
B 由BC:AC:AB=2:2:3,得到BC=AC,则△ABC 是等腰三角形，不符合题意
由∠B=50°,∠C=80°,得到∠A=180°-C 50°-80°=50°,因此∠A=∠B,则△ABC是等腰三角形，不符合题意
D 由2∠A=∠B+∠C,得到2∠A=180°-∠A,则∠A=60°,但求不出∠B和∠C的度数，不能判定△ABC 是等腰三角形，符合题意
2.6【解析】∵ ∠B = ∠C = 36°,∠ADE =∠AED=72°,∴△ABC和△ADE 是等腰三角形.∵∠B=36°,∠ADE=72°,∴∠BAD=36°,∴AD=BD,∴ △ABD 是等腰三角形.同理,△AEC 是等腰三角形.∵ ∠ADE=∠AED=72°,∴ ∠DAE=36°,∴ ∠CAD=36°+36°= -是等腰三角形.同理，△ABE 是等腰三角形.综上所述，等腰三角形有6个.故答案为6.
3.【证明】∵AB=BC,D 是AC 中点,∴BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD = ∠DBC. ∵ AF ∥BC,∴∠DBC=∠F,∴∠F=∠ABD,∴AB=AF,∴△ABF 是等腰三角形.
4.(1)【证明】∵ ∠1+∠2=180°,∠1+∠BGH=180°,∴∠2=∠BGH,∴AB∥CD,∴∠GPH=∠PGB.∵GP平分∠BGH,∴∠PGH=∠PGB,∴∠GPH=∠PGH,∴GH=PH,∴△PGH 是等腰三角形.
(2)【解】∵ ∠1= 116°,∴ ∠BGH = 180°-116°=64°.∵GP平分∠BGH,∴∠BGP=32°.∵AB∥CD,∴∠GPD=180°-32°=148°.
5.16 km 【解析】如图,由题意得 是 的一个外角， ∴公园C与景区B的距离为16 km.故答案为16 km.
6.【解】由题意知， 80(千米), 千米，即N处与小岛 P的距离为80千米.
7. D 【解析】用反证法证明“三角形三个内角中至少有一个角不大于( 时，应假设这个三角形中每一个内角都大于( 故选 D.
8.【证明】假设. 是钝角或直角.
AD是底边 BC上的高，
是钝角或直角，
不符合三角形内角和定理，
∴假设不成立， 是一个锐角.
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1. C 【解析】∵ 在 中， , 6 .如图，当 时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；当. 时， 为等腰三角形；当 与 C重合时， 为等腰三角形；当 ,与 B 重合时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形.综上，满足条件的点 P 的位置有8个.故选 C.
2. B【解析】A选项，如图(1)所示， 和 都是等腰三角形；
B选项， 不能分成两个等腰三角形；
C选项,如图(2)所示,. 和 都是等腰三角形；
D选项，如图(3)所示， 和 都是等腰三角形.
故选 B.
3.5或2【解析】由折叠的性质可知，( D ∠FDE.∵BC=12,点 D 为BC中点,∴CD= ①如图(1),当∠AFE=90°时,△AEF 为直角三角形.∵ ∠AFE+∠DFE= 180°,∴ A,F, D 三点 共 线. 在Rt△ACD 中, AC = 8, CD = 6, ∴ AD = 设AE=x,则EF=CE=AC-AE=8-x.在Rt△AEF中, 解得 x =5,∴ AE =5.②如图(2),当∠AEF= 90°时,△AEF 为 直 角 三 角 形.
∵∠AEF = ∠DFE = 90°, ∴ AC ∥ DF,
∴∠CED= ∠FDE. 又∵ ∠CDE = ∠FDE,
∴ ∠CDE=∠CED,∴ CE=CD=6,∴ AE=AC-CE=8-6=2.综上可知,线段AE的长是
5或2.故答案为5 或2.
4.【解】在 中，
即 在 中， 即 ,即AB=DE,∴DE的长就是A,B两点的距离.
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5.(1)【证明】 m+2=0,解得n=6,m=-2,∴OB=2=OC.∵AO⊥BC,∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
【解】(2)∵点D的坐标为(-6,0),n=6,∴OD=6=OA.
∵∠DOF=∠AEF=90°,∠DFO=∠AFE,
∴∠FDO=∠CAO.
∵∠DOF=∠AOC,DO=AO,∠ODF=∠OAC,
∴△FOD≌△COA(ASA),
∴OF=OC=2,∴F点的坐标为(0,2).
(3)M点的坐标不发生变
化，理由如下：如图，过点P作 PN∥AB 交 BC 于 N,
∴∠PNO=∠ABO,
∠BQM=∠NPM.
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠PNO=∠ACB,
∴PN=PC.∵PO⊥NC,∴ON=OC.
∴M 点的坐标不发生变化.