1.1.1等腰三角形的性质同步练习（含解析）-北师大版数学八年级下册

1.1.1等腰三角形的性质
刷基础
知识点1 全等三角形的判定与性质
1[2024 江西宜春期末]如图,AC,BD 相交于点O,AB=CD,要使△AOB≌△COD,则下列添加的条件中错误的是 ( )
A.∠A=∠C B.∠B=∠D
C. AB∥CD D. OB=OD
2[2024河南信阳期末]如图,AB=AC,BD=CD,∠BAD=35°,∠ADB=120°,则∠C的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.55°
3[2024 陕西西安校级一模]已知△ABC 与△EDB按如图所示的位置放置,∠C=∠DBE=90°,BC=DB,BC⊥DE,垂足为 F.求证:AC=BE.
知识点2 等腰三角形的性质定理
4[2024陕西榆林]如图，在△ABC 中,点 D 在边 BC上,连接AD,AD=AB=CD,∠C=40°,则∠BAD的度数是( )
A.40° B.25° C.30° D.20°
5若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为 ( )
A.82° B.16°
C.82°或49° D.82°或36°
知识点3 等腰三角形性质定理的推论
[2024山东泰安校级期末]如图,在 △ABC 中,AB = AC,∠BAC=76°,AD 是中线,BE平分∠ABC,AD,BE 相交于点O,则∠AOB的度数为( )
A.120° B.118° C.115° D.116°
7[2023江苏苏州高新区调研]如图，在三角形ABC中,AB=AC,过 BC 边上一点 D 作 DE∥AC交AB于点 E,且AE=DE.求证:AD⊥BC.
刷易错
易错点 对等腰三角形性质定理的推论理解错误
8如图,在△ABC 中,AB=AC,AE=BE,CE平分∠ACB吗 为什么
刷提升
1[中]如图,在△ABC中,以点 B 为圆心,AB 长为半径画弧交BC于点 D，以点 C为圆心，AC长为半径画弧交 BC 于点 E,连接 AE,AD.设∠EAD=α,∠ACB=β,则∠B的度数为 ( )
B.2α-β
D.3α-β
2[2024江苏苏州校级期中,中]如图,AC=AB=BD,∠ABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为( )
A.8 B.12
C.14 D.16
3[较难]如图,在第1个△A BC 中,∠B=40°, 在边A B 上任取一点 D,延长 CA 到A ,使 得到第2个△A A D;在边A D上任取一点 E,延长A A 到A ,使 得到第3个△A A E；…，按此作法继续下去，则第n+1个三角形中以 An+1为顶点的内角度数是( )
4[2024山西忻州期末,中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,F为BC的中点,将△BEF 沿EF所在直线进行翻折，使点 B 的对应点为点 D，连接CD，则CD的长为 .
5[中]如图,在△ABC中,AB=AC=13,AD=12,BC=10,AD 平分∠BAC,E 是线段AC 上的动点，P 是线段AD 上的动点，则△ABC 的面积为 ,PC+PE 的最小值为 .
6[2024 辽宁大连校级期中，中]如图，在等腰△ABC中,AB=AC=4,∠B=∠C=40°,点 D 在边BC上运动(点D 不与点 B，C重合)，连接AD,作∠ADE=40°,DE交边AC 于点 E.
(1)若DC=4,求证:△ABD≌△DCE;
(2)在点 D 的运动过程中，若△ADE 是等腰三角形且DE为腰，求出此时∠BDA 的度数.
7[2024 山东威海荣成期中，中]已知：如图，∠ADC=90°,DC∥AB,BA=BC,AE⊥BC,垂足为点E,点 F 为AC的中点,连接BF.
(1)求证:∠AFB=90°;
(2)求证:△ADC≌△AEC;
(3)连接DE，试判断DE与 BF的位置关系，并证明.
课时1 等腰三角形的性质
刷基础
1. D 【解析】已知AB=CD,∠AOB=∠COD (对顶角相等)，如果添加∠A=∠C，则可根据AAS判定△AOB≌△COD,故A 选项不符合题意；如果添加∠B=∠D，则可根据AAS判定△AOB≌△COD,故B选项不符合题意;如果添加AB∥CD,则∠A=∠C,则可根据AAS判定△AOB≌△COD,故C选项不符合题意;如果添加 OB=OD,不能判定△AOB≌△COD,故D 选项符合题意.故选 D.
2. A 【解析】在△ABD 中,∠B=180°-∠BAD-∠ADB=25°.∵ AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴ △ABD≌△ACD,∴∠C=∠B=25°.故选 A.
3.【证明】∵BC⊥DE,∴∠EFB=90°,∴∠DEB+∠ABC=90°.∵∠C=∠DBE=90°,∴∠DEB+∠D=90°,∴∠D=∠ABC.在△ABC 与△EDB中， ∴ △ABC ≌ △EDB(ASA),∴AC=BE.
4. D 【解析】∵ AD=CD,∠C=40°,∴ ∠DAC=∠C = 40°,∴ ∠ADB = ∠DAC+∠C = 80°.∵AD=AB,∴ ∠B=∠ADB=80°,∴ ∠BAD=180°-∠B-∠ADB=20°.故选 D.
5. C 【解析】有两种情况:①底角是82°;②顶角是82°，则底角是 所以底角为82°或49°,故选 C.
6. D 【解析】∵AB=AC,∠BAC=76°,AD 是中线， ∴∠ABD=90°-38°=52°.∵ BE 平分∠ABC, ∠ABO-∠BAD=116°,故选 D.
7.【证明】∵ DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD.∵AE=ED,∴ ∠EAD = ∠EDA,∴ ∠EAD = ∠CAD.∵AB=AC,∴AD⊥BC.
刷易错
8.【解】CE不一定平分 理由：因为CE 是腰上的中线，并不是底边上的中线，所以CE不一定平分
易错警示等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，而本题中 CE是腰上的中线，并不是底边上的中线.
刷提升
1. B 【解析】由题意得. CE 在 中， ∴在 中， 故选 B.
2. D 【解析】作 于E,DF⊥CB 交 CB 延长线于 F,如图. )(AAS 故选D.
3. A 【解析】∵ 在. 中， 是 的外角， 同理可得 ∴第n+1个三角形中以 为顶点的内角度数是 故选 A.
【解析】∵ F为BC的中点,∴BF=CF.由折叠的性质可得 BF = DF,∠B =∠BDF,∴CF=DF,∴ ∠FDC=∠FCD.∵∠B+∠BDF+∠FDC+∠FCD=180°,∴ ∠BDF+∠FDC =90°,即 ∠BDC = 90°. ∵ 在 Rt △ABC 中,∠ACB = 90°, AC = 6, BC = 8, ∴ AB = 故答案为
【解析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,AD 为 BC 边上的中线, 12=60.∵AD 为 BC 的垂直平分线，∴E 关于AD 的对称点 E'在 AB上.如图,连接CE'交AD 于点 P,过C作CH⊥AB 于 H,交 AD 于 P',PC+PE=PC+PE'=CE'≥CH,∴ PC+PE的最小值为 CH 的长,此时E'与H重合,P 与P'重合,E为H关于AD的对称点. ∴PC+PE的最小值为 故答案为60,
6.(1)【证明】∵ ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=40°,
∴∠BAD=∠CDE.
∵AB=AC=4,DC=4,
∴AB=DC.
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(ASA).
(2)【解】分两种情况:①当 AD =DE 时, (180°-40°)= 70°.∵ ∠DEA=∠C+∠EDC,∴ ∠EDC = ∠DEA-∠C = 70°-40°=30°,∴ ∠BDA=180°-∠ADE-∠EDC=180°-40°-30°=110°.
②当AE=DE时,∠ADE=∠DAE=40°,
∴∠AED=180°-(∠ADE+∠DAE)= 180°-(40°+40°)= 100°.∵ ∠DEA=∠C+∠EDC,
∴ ∠EDC = ∠DEA-∠C = 100°-40°= 60°,
∴ ∠BDA=180°-∠ADE-∠EDC=180°-40°-60°=80°.
综上所述,∠BDA的度数为80°或110°.
7.(1)【证明】∵BA=BC,F是AC的中点,∴BF⊥AC.∴∠AFB=90°.
(2)【证明】∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°.
∵∠ADC=90°,∴∠ADC=∠AEC.
∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB.
∵BA=BC,∴∠ECA=∠CAB,
∴∠DCA=∠ECA.
在△ADC和△AEC中,
(3)【解】 证明:设 DE 交AC 于点 H.