1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质同步练习（含解析）-北师大版数学八年级下册

1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
刷基础
知识点1 等边三角形的判定
1下列三角形中，不一定是等边三角形的是( )
A.三个角都相等的三角形
B.有两个角等于60°的三角形
C.一条边上的高也是这条边上的中线的三角形
D.有一个外角等于120°的等腰三角形
2[2024江苏南京调研]在△ABC中，三个内角的度数分别为α,β,γ,且满足等式|α-β|+(α- 则这个三角形是 ( )
A.只有两边相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
3[2024 湖北武汉调研]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AE 是∠BAC 的平分线,CD是AB上的高，AE交CD 于F，请从图中找出一个等边三角形，并说明理由.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
4[2024河北唐山二模]如图,在等边△ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,则BD= ( )
A.1 B.2 C. D.2
5如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点 D,若AD=2,则CD的长度为 .
6[2024重庆开州区期中]如图，A市气象站测得台风中心在A 市正东方向300 km的 B 处，以80 km/h的速度向北偏西60°的BF 方向移动,距台风中心 250 km 范围内是受台风影响的区域.
(1)请通过计算说明A 市是否会受到台风的影响.
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长
刷易错
易错点 应用含30°角的直角三角形的性质时找错边致错
7如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC的平分线,CD=5cm,求AB 的长.琪琪给出以下解题过程，请判断琪琪的解题过程是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程.
解:∵∠C=90°,∠A=30°,∴ ∠ABC = 180° - ∠A -∠C=60°.
∵BD 是∠ABC的平分线, 即在 Rt△BCD中,∠CBD=30°,∴BD=2CD=10cm,∴AB=20cm.
刷提升
1[中]如图,M,A,N是直线l上的三点,AM=3,AN=5,P是直线l外一点,且∠PAN=60°,AP=1，若动点Q 从点 M 出发，向点 N 移动，移动到点N停止，在△APQ 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是 ( )
A.直角三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
B.直角三角形——等腰三角形——直角三角形———等边三角形
C.等腰三角形——直角三角形——等腰三角形——直角三角形
D.等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形
2[较难]如图,∠MAN=60°,点B 在射线AM上,且AB=2,点 C在射线AN上.若△ABC 是锐角三角形，则AC 的取值范围是 .
3[2023江西南昌期末，较难]已知等腰三角形ABC中,BD⊥AC,且 则等腰三角形ABC的顶角度数为 .
4[2024 山东菏泽期中,中]如图,△ABC 为等边三角形，直线a∥AB，D 为边 BC上一动点，将一60°角的顶点置于点 D 处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点 E，与AC 交于点O，连接AE.
(1)若D 恰好在 BC 的中点上(如图(1)),求证：△ADE 是等边三角形.
(2)若D 为边BC 上任一点(如图(2)),其他条件不变，(1)的结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
5.[2023 山东青岛期中，难]如图(1),已知点B(0,9),点C为x轴上一动点,连接BC,△ODC 和△EBC都是等边三角形.
(1)求证:DE=BO.
(2)如图(2),当点 D 恰好落在BC上时.
①求点 E 的坐标；
②在x轴上是否存在点 P，使△PEC 为等腰三角形 若存在，写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；
③如图(3)，点M 是线段BC 上的动点(不与点B,点 C 重合),过点 M 作 MG⊥BE 于点 G,MH⊥CE于点H,当点 M 运动时,MH+MG的值是否发生变化 若不会变化，直接写出 MH+MG的值；若会变化，简要说明理由.
课时4 等边三角形的判定与含 角的直角三角形的性质
刷基础
1. C 【解析】三个角都相等的三角形是等边三角形，故选项 A不符合题意；有两个角等于 的三角形是等边三角形，故选项 B 不符合题意；一条边上的高也是这条边上的中线的三角形不一定是等边三角形，如等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，故选项C符合题意；有一个外角等于 的等腰三角形是等边三角形，故选项D不符合题意.故选C.
2. B 【解析】由题意可知α-β=0,α-γ=0,∴α=β,α=γ,∴α=β=γ,∴这个三角形是等边三角形.故选B.
3.【解】△CEF 为等边三角形.理由:在 Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.∵AE平分 ∴ ∠AEC= 90°-∠CAE = 60°.∵ CD ⊥AB,∴∠CDB=90°,∴ ∠BCD=90°-∠B=60°,∴∠CEF=∠ECF=60°,∴ △CEF 是等边三角形.
4. B 【解析】∵ △ABC是等边三角形,∴AB=BC=4,∠ACB=60°.∵ BD∥AC,∴∠DBC=∠ACB = 60°. ∵ BD ⊥ CD,∴∠BDC= 90°, 故选B.
5.4 【解析】∵ BD⊥BC,∴ ∠CBD = 90°,∴ ∠ABD=∠ABC-∠CBD=120°-90°=30°.∵AB=BC,∠ABC=120°,∴ ∠A=∠C=30°,∴ ∠A=∠ABD,∴DB=AD=2. 在 Rt△CBD中,∵∠C=30°,∴CD=2BD=4.故答案为4.
6.【解】(1)过点 A 作
AC⊥BF于C,如图.
在Rt△ABC中,
∠ABC=90°-60°=30°,
150 km<250 km,∴A市会受到台风的影响.
(2)以A为圆心,250 km为半径画圆交BF于点D,E,连接AD,AE,如图.在 Rt△ACD中,
∵AD=AE,AC⊥DE,∴ DE=2CD=400 km.
∵台风中心以80 km/h 的速度向北偏西60°的BF方向移动， ∴受台风影响的时间为5 h.
刷易错
7.【解】琪琪的解题过程不正确.正确的解题过程如下:∵∠C=90°,∠A=30°,∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.∵ BD 是∠ABC 的平分线， 即在 Rt△BCD中,∠CBD=30°,∴BD=2CD=10cm(含30°角的直角三角形的性质).由勾股定理，得
刷提升
1. D 【解析】当点 Q 移动到 时,Q在A的左侧，且 此时 是等腰三角形；当点 Q 移动到点 A 的右侧，且 时， 是直角三角形；当点Q 继续移动到 时， 是等边三角形；当点 Q 继续移动到. 时， 是直角三角形，∴在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形，故选 D.
【解析】如图，过点B作 垂足为 交AN于点 在 中， 在 中， 当点C 在 和 之间时， 是锐角三角形，∴AC 的取值范围是13.30°或 或
4.(1)【证明】∵ 直线a∥AB,且△ABC 为等边三角形,∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=∠ACB=60°,AB=AC.∵BD=CD,∴AD⊥BC.∵∠ADE=60°,∴∠EDC=30°,∴ ∠DOC = 180°-∠EDC-∠ACB=90°,∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°,∴∠EDC=∠DEC,∴EC=CD=DB,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE.又∵∠ADE=60°,∴ △ADE是等边三角形.
(2)【解】(1)的结论成立.证明:在AC 上取点F,使CF=CD,连接DF,如图.∵∠ACB=60°,∴△DCF 是等边三角形,∴∠FDC=60°,DF=DC.∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°,∴ ∠ADF=∠EDC.∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE,∠ACE = ∠BAC = 60°, ∠ADE = 60°,∴∠DAF=∠DEC,∴ △ADF≌△EDC(AAS),∴AD=ED. 又∵ ∠ADE=60°,∴△ADE 是等边三角形.
刷素养
5.(1)【证明】∵ △ODC 和△EBC 都是等边三角形,∴ OC=DC,BC=CE,∠OCD=∠BCE=60°,∴ ∠BCE+∠BCD=∠OCD+∠BCD,即∠ECD=∠BCO,∴ △DEC≌△OBC(SAS),∴DE=BO.
(2)【解】①∵△ODC 是等 边 三角形,∴∠OCB=60°.∵ ∠BOC=90°,∴ ∠OBC =30°.设 OC=x,则 BC =2x.∵ 点 B(0,9), 解得 是等边三角形，∴BE=BC=6 ∠CBE=60°.
又∵∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°,
②存在.当 时，△PCE是等腰三角形. .点P 的坐标为 0)或(
③MH+MG 的值不变. MH+MG=9.如图,连接EM.易知BD=OD=CD,又∵△EBC 为等边三角形,∴ DE⊥BC,易得 E( CE,∴MG+MH=DE=9.