2025学年华东师大版九年级数学下册《圆》真题检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025学年华东师大版九年级数学下册《圆》真题检测（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-13 22:48:04 | ||
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文档简介
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2025学年华东师大版九年级数学下册《圆》真题练习
一、选择题
1．（2025九下·深圳期中）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则tan∠APO等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·广州月考）如图，点，分别是的内接的、边上的中点，若，，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·临澧期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025九下·梅州期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（ ）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
5．（2025九下·梅州期中）如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·惠州月考）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·临湘月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0
C．3b+2c＜0 D．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
8．（2025·泸县模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
9．（2025九下·花溪月考）如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·花溪月考）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·定海模拟）若圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 .
12．（2025九下·成都期中）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
13．（2025九下·广州月考）如图所示，分别与相切于两点，的延长线与的延长线交于点，若的半径为5，，则的长度为 ．
14．（2025九下·临澧期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ．
15．（2025九下·中山期中）抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
16．（2025九下·陆丰月考）已知矩形，，，将矩形绕逆时针旋转，得到矩形，点、、的对应点分别是点，，．连接，点是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
17．（2025九下·陆丰月考）如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径等于 ．
18．（2025九下·陆丰月考）二次函数的顶点坐标是 ．
19．（2025九下·花溪月考）如图，中，，．将绕着点A顺时针旋转到的位置，则边扫过区域的面积为 ．
20．（2025九下·花溪月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若，则 度
三、计算题
21．（2025九下·花垣开学考）如图，二次函数的图象经过点和，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）连接，若点Q为线段上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值．
（4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）．
22．（2024九下·苏州工业园月考）【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数
杯子的总数
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出与的关系式；
（2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）
23．（2024九上·光明月考）月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
四、实践探究题
24．（2025九下·福田月考）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽MN，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度GE．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如图，以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度TE为6cm，求此时水面宽度PQ的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度 ▲ ．
25．（2025九下·宝安月考）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
五、综合题
26．（2025九下·定海月考）在平面直角坐标系中，点和在抛物线常数上．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）求证：
（3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标的取值范围．
27．（2025九下·福田月考）如图，AB是直径，点为劣弧中点，弦相交于点，点在AC的延长线上，DB，垂足为，且．
（1）求证：BF是的切线；
（2）当时，求的长度；
（3）当时，求的值．
28．（2025九下·长沙期中）已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“”．翻折后，抛物线顶点的对应点恰好在轴上，求的对称轴及的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“”，与轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“”交于P，C两点，与图象“”交于点．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线的性质
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故正确，错误；
令，则，
解得，，
∴，
∴两点之间的距离为，
故正确，不合题意；
故答案为：．
【分析】把A点坐标代入函数解析式得到，即可得到抛物线开口方向，对称轴和顶点坐标 判断 ；令求出点坐标即可判断解题即可．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
10．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
11．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，
∵圆锥的底面圆半径为1，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是直角，
∴，
解得：l=4，
∴圆锥的高为：，
故答案为：.
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，结合弧长公式得，从而求出l=4，进而利用勾股定理即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；求正切值
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；旋转的性质
17．【答案】2
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
18．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
19．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
20．【答案】28
【知识点】垂径定理；圆周角定理
21．【答案】（1）；（2）存在，；（3）；；（4），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
22．【答案】（1）（2）第一层杯子的个数为个；（3）杯子叠放达到的最大高度为和此时杯子的总数为个
【知识点】勾股定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】（1），，
补全频数分布直方图如图所示，
（2）；
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
故答案为：；；
测试成绩为（含）的人数为（人），
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）画树状图，得出所有等可能的结果数，求出恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；
24．【答案】解：问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，如图2：
瓷碗高度，碗口宽，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度，
由题意得：，
，
，
设抛物线的解析式为，将点的坐标代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
问题2：碗中液面高度（离桌面MN距离）为，
这时液面的纵坐标为，
当时，，将y=7代入解析式即可求出答案.
解得，
则液面宽度为；
问题3：
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P
由题意可得：CD∥AB，OP=9
∴CD⊥y轴
∵∠OCS=45°
∴∠OSC=45°=∠OCS
∴OS=OC=8
∴PS=1
∴S(0，1)
设直线CH的解析式为y=kx+b
则，解得：
∴y=x+1
联立方程组
解得：或（舍）
∴H(0，1)
∴
故答案为：
【分析】问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，由题意得：，根据边之间的关系可得，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
问题2：将y=7代入解析式即可求出答案.
问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P，由题意可得：CD∥AB，OP=9，根据角之间的关系可得∠OSC=45°=∠OCS，则OS=OC=8，根据边之间的关系可得S(0，1)，设直线CH的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点(8，9)，(0，1)代入解析式可得y=x+1，联立抛物线解析式，解方程可得H(0，1)，再根据两点间距离即可求出答案.
25．【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
26．【答案】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为；
（2）证明：点和在抛物线上，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，则点，
由得抛物线的对称轴为直线，
点为抛物线顶点坐标，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
点，
设解析式为，
解得：
解析式为，
设线段向右平移个单位，
，
联立得：
整理得：，
，
，
平移后的解析式为，
当时，，
，
即此时的横坐标为，
当线段向左移动个单位时，即向左移个单位，
此时，的横坐标为，
综上，点横坐标的取值范围为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴为，而已知，则对称轴可直接写出；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出和，再计算之积可得到关于的二次三项式，应用配方法可将其表示成一个完全平方式的倍数与的和，由于完全平方式是非负数，则；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征可把点A（1，2）代入到抛物线解析式中求得，则抛物线解析式可得；再代入点B的横坐标可得到的值，即B点坐标可得，再利用待定系数法可求出线段AB的解析式；由于该线段与抛物线最少有一个交点，可分两种情况进行讨论，先设向右平移个单位长度时，此时可设出线段AB平移后的线段A`B`的解析式，则联立得到关于的一元二次方程，再令判别式即可求出A`B`的解析式，令函数值等于2可求出此时A`的横坐标；向左平移相对简单，当B`落在抛物线与y轴的交点上时，即线段AB向左平移了2个单位长度，此时可直接写出A`的横坐标.
27．【答案】（1）证明：连接BC，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
为直径
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知当时，
由弧长公式得的长度为．
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．（其他方法酌情给分）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的判定；求正切值
28．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点的纵坐标为-8，即点的坐标为．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）在（1）中，
图象“”的解析式为
①当时，图象“”的解析式为．
设直线BD的解析式为．
当时，
解得（舍去）或，
点的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
点的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
点的横坐标为．
如图1，作轴，过点作交PM于点，
作轴，过点作交CN于点.
由各点横坐标可得：，
．
轴，轴，
，
．
，
．
，
．
．
②当且时，图象“”的解析式为且．
由①可知点的横坐标为，点的横坐标为．
当且时，解得：（舍去），．
点的横坐标为．
当时，如图2，作轴，过点作轴交PQ于点，过点作轴交PQ于点.
由各点的横坐标可知．
，
．
．
则．
当时，如图3，作轴，过点作轴交PQ于点，过点作轴交PQ于点.
由各点的横坐标可知，
，
，
．
则．
综上所述，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的对称变换；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点A的纵坐标，即可求解；
(2)①证明 ，即可求解；
②当 且 和 时， 证明 进而根据相似三角形的性质，即可求解.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：55分
分值分布 客观题（占比） 20.0(36.4%)
主观题（占比） 35.0(63.6%)
题量分布 客观题（占比） 10(35.7%)
主观题（占比） 18(64.3%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(35.7%) 20.0(36.4%)
填空题 10(35.7%) 20.0(36.4%)
实践探究题 2(7.1%) 5.0(9.1%)
计算题 3(10.7%) 10.0(18.2%)
综合题 3(10.7%) 0.0(0.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (42.9%)
2 容易 (32.1%)
3 困难 (25.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆内接正多边形 2.0(3.6%) 10
2 二次函数图象上点的坐标特征 0.0(0.0%) 26,28
3 弧长的计算 15.0(27.3%) 2,5,9,14,17,22,27
4 三角形的中位线定理 2.0(3.6%) 2
5 二次函数图象与系数的关系 4.0(7.3%) 3,7
6 矩形的性质 4.0(7.3%) 12,16
7 直角三角形的性质 2.0(3.6%) 6
8 一元二次方程根的判别式及应用 2.0(3.6%) 15
9 二次函数与一次函数的综合应用 0.0(0.0%) 25
10 待定系数法求二次函数解析式 5.0(9.1%) 21
11 二次函数与一次函数的图象共存判断 0.0(0.0%) 26
12 频数（率）分布直方图 0.0(0.0%) 23
13 垂径定理 4.0(7.3%) 6,20
14 切线长定理 2.0(3.6%) 13
15 二次函数-相似三角形的存在性问题 0.0(0.0%) 28
16 二次函数-特殊三角形存在性问题 5.0(9.1%) 21
17 圆周角定理 10.0(18.2%) 2,5,6,12,20
18 二次函数的实际应用-几何问题 5.0(9.1%) 22
19 切线的性质 2.0(3.6%) 1
20 待定系数法求一次函数解析式 5.0(9.1%) 21
21 二次函数图象与坐标轴的交点问题 6.0(10.9%) 4,8,15
22 等边三角形的性质 2.0(3.6%) 9
23 相似三角形的判定与性质 7.0(12.7%) 13,22
24 二次函数-动态几何问题 0.0(0.0%) 25
25 二次函数y=ax +bx+c的性质 7.0(12.7%) 8,24,26,28
26 圆的相关概念 2.0(3.6%) 16
27 求正切值 2.0(3.6%) 12,27
28 二次函数y=ax +bx+c的图象 5.0(9.1%) 24
29 勾股定理 13.0(23.6%) 2,12,13,16,22,27
30 旋转的性质 4.0(7.3%) 16,19
31 二次函数的其他应用 5.0(9.1%) 24
32 二次函数y=ax +bx+c与二次函数y=a（x-h） +k的转化 2.0(3.6%) 18
33 二次函数图象的对称变换 0.0(0.0%) 28
34 圆锥的计算 4.0(7.3%) 11,17
35 扇形统计图 0.0(0.0%) 23
36 用列表法或树状图法求概率 0.0(0.0%) 23
37 坐标与图形变化﹣旋转 2.0(3.6%) 4
38 扇形面积的计算 2.0(3.6%) 19
39 二次函数-面积问题 5.0(9.1%) 21
40 角平分线的判定 0.0(0.0%) 27
41 三角形全等及其性质 0.0(0.0%) 27
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2025学年华东师大版九年级数学下册《圆》真题练习
一、选择题
1．（2025九下·深圳期中）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则tan∠APO等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·广州月考）如图，点，分别是的内接的、边上的中点，若，，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·临澧期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025九下·梅州期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（ ）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
5．（2025九下·梅州期中）如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·惠州月考）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·临湘月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．4a﹣2b+c＞0
C．3b+2c＜0 D．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
8．（2025·泸县模拟）如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
9．（2025九下·花溪月考）如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·花溪月考）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·定海模拟）若圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 .
12．（2025九下·成都期中）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
13．（2025九下·广州月考）如图所示，分别与相切于两点，的延长线与的延长线交于点，若的半径为5，，则的长度为 ．
14．（2025九下·临澧期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ．
15．（2025九下·中山期中）抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
16．（2025九下·陆丰月考）已知矩形，，，将矩形绕逆时针旋转，得到矩形，点、、的对应点分别是点，，．连接，点是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
17．（2025九下·陆丰月考）如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径等于 ．
18．（2025九下·陆丰月考）二次函数的顶点坐标是 ．
19．（2025九下·花溪月考）如图，中，，．将绕着点A顺时针旋转到的位置，则边扫过区域的面积为 ．
20．（2025九下·花溪月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若，则 度
三、计算题
21．（2025九下·花垣开学考）如图，二次函数的图象经过点和，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）连接，若点Q为线段上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值．
（4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）．
22．（2024九下·苏州工业园月考）【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数
杯子的总数
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出与的关系式；
（2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）
23．（2024九上·光明月考）月日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1） ， ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为 ；
（3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
四、实践探究题
24．（2025九下·福田月考）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽MN，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度GE．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如图，以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度TE为6cm，求此时水面宽度PQ的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度 ▲ ．
25．（2025九下·宝安月考）【概念学习】在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y2），若图形F上存在一点N（x1，y2），且满足当x1=x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”.
（1）【初步理解】如图1， 图形F为线段AB， 点A（-1， 2）， B（3， 2）.
①试判断点M （1.5， 0） （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”
②请在图中画出点M所有可能的位置。（用阴影部分表示）
（2）【知识应用】①若图形F为直线y=b，二次函数y=ax2+2ax+a-图象上仅有一个“垂近点”，求b的值。
②如图2，若图形F为抛物线y=2-4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，请直接写出a的取值范围为 .
五、综合题
26．（2025九下·定海月考）在平面直角坐标系中，点和在抛物线常数上．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）求证：
（3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标的取值范围．
27．（2025九下·福田月考）如图，AB是直径，点为劣弧中点，弦相交于点，点在AC的延长线上，DB，垂足为，且．
（1）求证：BF是的切线；
（2）当时，求的长度；
（3）当时，求的值．
28．（2025九下·长沙期中）已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“”．翻折后，抛物线顶点的对应点恰好在轴上，求的对称轴及的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“”，与轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“”交于P，C两点，与图象“”交于点．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线的性质
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故正确，错误；
令，则，
解得，，
∴，
∴两点之间的距离为，
故正确，不合题意；
故答案为：．
【分析】把A点坐标代入函数解析式得到，即可得到抛物线开口方向，对称轴和顶点坐标 判断 ；令求出点坐标即可判断解题即可．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
10．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
11．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，
∵圆锥的底面圆半径为1，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是直角，
∴，
解得：l=4，
∴圆锥的高为：，
故答案为：.
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，结合弧长公式得，从而求出l=4，进而利用勾股定理即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；求正切值
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；旋转的性质
17．【答案】2
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
18．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
19．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
20．【答案】28
【知识点】垂径定理；圆周角定理
21．【答案】（1）；（2）存在，；（3）；；（4），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
22．【答案】（1）（2）第一层杯子的个数为个；（3）杯子叠放达到的最大高度为和此时杯子的总数为个
【知识点】勾股定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
23．【答案】（1），，
补全频数分布直方图如图所示，
（2）；
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），
，
∴，
故答案为：；；
测试成绩为（含）的人数为（人），
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为，
故答案为：；
【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100）的人数，补全频数分布直方图即可．
（）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）画树状图，得出所有等可能的结果数，求出恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；
24．【答案】解：问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，如图2：
瓷碗高度，碗口宽，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度，
由题意得：，
，
，
设抛物线的解析式为，将点的坐标代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
问题2：碗中液面高度（离桌面MN距离）为，
这时液面的纵坐标为，
当时，，将y=7代入解析式即可求出答案.
解得，
则液面宽度为；
问题3：
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P
由题意可得：CD∥AB，OP=9
∴CD⊥y轴
∵∠OCS=45°
∴∠OSC=45°=∠OCS
∴OS=OC=8
∴PS=1
∴S(0，1)
设直线CH的解析式为y=kx+b
则，解得：
∴y=x+1
联立方程组
解得：或（舍）
∴H(0，1)
∴
故答案为：
【分析】问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，由题意得：，根据边之间的关系可得，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
问题2：将y=7代入解析式即可求出答案.
问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P，由题意可得：CD∥AB，OP=9，根据角之间的关系可得∠OSC=45°=∠OCS，则OS=OC=8，根据边之间的关系可得S(0，1)，设直线CH的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点(8，9)，(0，1)代入解析式可得y=x+1，联立抛物线解析式，解方程可得H(0，1)，再根据两点间距离即可求出答案.
25．【答案】（1）解：①是；②M所有可能的位置，如图所示，
（2）解：①将y＝ax2＋2ax＋a 化成顶点式，y＝a（x＋1）2 ，
当a＜0时，b＝ ＋2＝，当a＞0时，b＝ 2＝ ，
∴b＝或b＝ ，
②1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】解：（1）①当x＝1.5时，|2 0|＝2≤2，
∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”，
故答案为：是；
②∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2，
∴A（a 1， 1），B（a＋1， 1），C（a＋1，1），D（a 1，1），
设正方形上点M是抛物线y＝x2 4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，
当点P在y轴右侧时，a＞0，
如图2，当点M与点D重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝(a 1)2 4 1＝2，
解得：a＝1＋或a＝1 （不合题意，舍去），
如图3，当点M与点B重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a＋1)2＋4＝2，
解得：a＝1或a＝ 3（舍），
当点P在y轴左侧时，a＜0，
如图4，当点M与点C重合时，N(a＋1，(a＋1)2 4)，
∴MN＝(a＋1)2 4 1＝2，
解得：a＝ 1 或a＝ 1＋（舍），
如图4，当点M与点A重合时，N(a 1，(a 1)2 4)，
∴MN＝ 1 (a 1)2＋4＝2，
解得：a＝ 1或a＝3（舍），
∴当1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1时，正方形上存在抛物线y＝x2 4的“垂近点”．
故答案为：1≤a≤1＋或 1 ≤a≤ 1.
【分析】（1）①利用垂近点的定义列出算式求解即可；
②根据题意作出图形即可；
（2）①先将二次函数换为顶点式，再分类求出b的值即可；
②分类讨论，先分别画出图形并利用二次函数的性质分析求解即可.
26．【答案】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为；
（2）证明：点和在抛物线上，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
当时，则点，
由得抛物线的对称轴为直线，
点为抛物线顶点坐标，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
点，
设解析式为，
解得：
解析式为，
设线段向右平移个单位，
，
联立得：
整理得：，
，
，
平移后的解析式为，
当时，，
，
即此时的横坐标为，
当线段向左移动个单位时，即向左移个单位，
此时，的横坐标为，
综上，点横坐标的取值范围为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴为，而已知，则对称轴可直接写出；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出和，再计算之积可得到关于的二次三项式，应用配方法可将其表示成一个完全平方式的倍数与的和，由于完全平方式是非负数，则；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征可把点A（1，2）代入到抛物线解析式中求得，则抛物线解析式可得；再代入点B的横坐标可得到的值，即B点坐标可得，再利用待定系数法可求出线段AB的解析式；由于该线段与抛物线最少有一个交点，可分两种情况进行讨论，先设向右平移个单位长度时，此时可设出线段AB平移后的线段A`B`的解析式，则联立得到关于的一元二次方程，再令判别式即可求出A`B`的解析式，令函数值等于2可求出此时A`的横坐标；向左平移相对简单，当B`落在抛物线与y轴的交点上时，即线段AB向左平移了2个单位长度，此时可直接写出A`的横坐标.
27．【答案】（1）证明：连接BC，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
为直径
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知当时，
由弧长公式得的长度为．
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．（其他方法酌情给分）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的判定；求正切值
28．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点的纵坐标为-8，即点的坐标为．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）在（1）中，
图象“”的解析式为
①当时，图象“”的解析式为．
设直线BD的解析式为．
当时，
解得（舍去）或，
点的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
点的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
点的横坐标为．
如图1，作轴，过点作交PM于点，
作轴，过点作交CN于点.
由各点横坐标可得：，
．
轴，轴，
，
．
，
．
，
．
．
②当且时，图象“”的解析式为且．
由①可知点的横坐标为，点的横坐标为．
当且时，解得：（舍去），．
点的横坐标为．
当时，如图2，作轴，过点作轴交PQ于点，过点作轴交PQ于点.
由各点的横坐标可知．
，
．
．
则．
当时，如图3，作轴，过点作轴交PQ于点，过点作轴交PQ于点.
由各点的横坐标可知，
，
，
．
则．
综上所述，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的对称变换；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点A的纵坐标，即可求解；
(2)①证明 ，即可求解；
②当 且 和 时， 证明 进而根据相似三角形的性质，即可求解.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：55分
分值分布 客观题（占比） 20.0(36.4%)
主观题（占比） 35.0(63.6%)
题量分布 客观题（占比） 10(35.7%)
主观题（占比） 18(64.3%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(35.7%) 20.0(36.4%)
填空题 10(35.7%) 20.0(36.4%)
实践探究题 2(7.1%) 5.0(9.1%)
计算题 3(10.7%) 10.0(18.2%)
综合题 3(10.7%) 0.0(0.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (42.9%)
2 容易 (32.1%)
3 困难 (25.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆内接正多边形 2.0(3.6%) 10
2 二次函数图象上点的坐标特征 0.0(0.0%) 26,28
3 弧长的计算 15.0(27.3%) 2,5,9,14,17,22,27
4 三角形的中位线定理 2.0(3.6%) 2
5 二次函数图象与系数的关系 4.0(7.3%) 3,7
6 矩形的性质 4.0(7.3%) 12,16
7 直角三角形的性质 2.0(3.6%) 6
8 一元二次方程根的判别式及应用 2.0(3.6%) 15
9 二次函数与一次函数的综合应用 0.0(0.0%) 25
10 待定系数法求二次函数解析式 5.0(9.1%) 21
11 二次函数与一次函数的图象共存判断 0.0(0.0%) 26
12 频数（率）分布直方图 0.0(0.0%) 23
13 垂径定理 4.0(7.3%) 6,20
14 切线长定理 2.0(3.6%) 13
15 二次函数-相似三角形的存在性问题 0.0(0.0%) 28
16 二次函数-特殊三角形存在性问题 5.0(9.1%) 21
17 圆周角定理 10.0(18.2%) 2,5,6,12,20
18 二次函数的实际应用-几何问题 5.0(9.1%) 22
19 切线的性质 2.0(3.6%) 1
20 待定系数法求一次函数解析式 5.0(9.1%) 21
21 二次函数图象与坐标轴的交点问题 6.0(10.9%) 4,8,15
22 等边三角形的性质 2.0(3.6%) 9
23 相似三角形的判定与性质 7.0(12.7%) 13,22
24 二次函数-动态几何问题 0.0(0.0%) 25
25 二次函数y=ax +bx+c的性质 7.0(12.7%) 8,24,26,28
26 圆的相关概念 2.0(3.6%) 16
27 求正切值 2.0(3.6%) 12,27
28 二次函数y=ax +bx+c的图象 5.0(9.1%) 24
29 勾股定理 13.0(23.6%) 2,12,13,16,22,27
30 旋转的性质 4.0(7.3%) 16,19
31 二次函数的其他应用 5.0(9.1%) 24
32 二次函数y=ax +bx+c与二次函数y=a（x-h） +k的转化 2.0(3.6%) 18
33 二次函数图象的对称变换 0.0(0.0%) 28
34 圆锥的计算 4.0(7.3%) 11,17
35 扇形统计图 0.0(0.0%) 23
36 用列表法或树状图法求概率 0.0(0.0%) 23
37 坐标与图形变化﹣旋转 2.0(3.6%) 4
38 扇形面积的计算 2.0(3.6%) 19
39 二次函数-面积问题 5.0(9.1%) 21
40 角平分线的判定 0.0(0.0%) 27
41 三角形全等及其性质 0.0(0.0%) 27
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