人教新课标A版选修1-2数学2.2直接证明与间接证明同步检测

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2.2直接证明与间接证明同步检测
1. 用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除
答案：B
解析：解答：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“中至少有一个能被3整除”的反面是：“都不能被3整除”，故应假设 都不能被3整除.
分析：本题主要考查了反证法，解决问题的关键是根据反证法的方法进行分析即可.
2. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ）
A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案：B
解析：解答：反证明法的证明步骤：1.假设命题不成立；2.由假设出发，经过推理论证，得出矛；3.由矛盾得出假设不成立，从而证明原命题正确.本题中至多有一个钝角的反面是至少有两个是钝角.
分析：本题主要考查了反证法的应用，解决问题的关键是根据反证法证明的步骤进行具体分析即可.
3. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件
答案：A
解析：解答：由分析法的定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为,判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止这种证明方法叫做分析法．可知A答案是正确,故选A
分析：本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据分析法的特征进行分析即可解决问题.
4. 要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （ ）
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法
答案：B
解析：解答：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有存在，唯一等字眼的题目，归纳法证明与正整数有关的题目；结合以上特点，本题的证明适合采用分析法
分析：本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用；综合法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据所给选项结合对应的方法进行具体分析即可.
5. 命题“任意角”的证明：
“”应用了（ ）
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法结合使用
D．间接证法
答案：B
解析：解答：综合法是由已知入手，利用基本定理进行推理证明，分析法从要证明的结论入手寻找思路，结合证明过程，显然是综合法
分析：本题主要考查了综合法，解决问题的关键是根据综合法证明的步骤分析即可.
6. 已知是两个平面，直线不在平面内，也不在平面内，设①；②；③．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：解答：以①；②；③中两个作为条件，另一个作为结论，可得命题有①若， ，则，真命题；
若，，则真命题；③，，则，假命题，故选C.
分析：本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据所给命题之间的关系运用综合法进行分析即可.
7. 若，那么必有（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解析：解答：因为
=0，所以选A.
分析：本题主要考查了综合法，解决问题的关键是根据所给等式运用综合法进行计算证明即可.
8. 已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：解答：因为① ② ③
三式加后再除2，得=④
④减①得c2=，④-②得a2=，④-③得b2=，所以c=-，a=b=时
ab+bc+ca最小=，故选B．
分析：本题主要考查了综合法，解决问题的关键是根据所给条件结合索要证明的条件进行综合分析计算即可得到结果.
9. 若，且，则在，，和中最大的是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：因为，且 所以a>，b>，a+b>+>
由均值定理a+b>，即a+b最大，故选A
分析：本题主要考查了分析法和综合法，解决问题的关键是根据分析法和综合法进行分析比较即可.
10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，正确顺序的序号为（ ）
A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①
答案：B
解析：解答：根据反证法的证法步骤知：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确 ；A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一个三 角形中不能有两个直角．故顺序的序号为③①②．故选B．
分析：本题主要考查了反证法的应用，解决问题的关键是根据所给三个命题运用反证法进行分析其步骤即可.
11. 用反证法证明命题“若，则”时，下列假设的结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
解析：解答：若用反证法证明，只需要否定命题的结论，则的否命题为，故选C.
分析：本题主要考查了反证法的应用，解决问题的关键是根据反证法的假设的特征进行具体分析即可.
12. ①已知，求证：．用反证法证明时，可假设；
②若，，求证：方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设；
以下结论正确的是（ ）
A．①与②的假设都错误 B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确 D．①的假设错误；②的假设正确
答案：D
解析：解答：①的结论的否定应该是，故错；②的否定是方程的两根至少有一个大于等于1，故②正确．
分析：本题主要考查了反证法，解决问题的关键是根据反证法的步骤特征进行具体分析即可.
13. 不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数(　　)
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
答案：B
解析：解答：由已知条件，可得
由②③得
代入①，得＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2、b2、y2成等差数列，
故选B.
分析：本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据所给条件进行综合分析得到对应的结论即可得到正确选项.
14. 设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤
答案：C
解析：解答：①中若a＝，b＝，则a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，则a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，则ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C.
分析：本题主要考查了分析法，解决问题的关键是根据所给条件与结论运用分析法进行具体分析即可.
15. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案：C
解析：解答： b2－ac<3a2
(a＋c)2－ac<3a2
a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
－2a2＋ac＋c2<0
2a2－ac－c2>0
(a－c)(2a＋c)>0
(a－c)(a－b)>0.
分析：本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据所给条件与所求结论运用分析法进行分析推理即可.
16. 完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=　　　　 　　=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.
答案：
解析：解答：因为是1,2,3，的一个排列，所以
,所以答案为
.
分析：本题主要考查了反证法的应用，解决问题的关键是根据所给证明步骤进行分析即可.
17. 设对任意非零实数均满足，则为 函数．（填“奇”或“偶”）
答案：偶
解析：解答：因为，所以，
，所以 ，，
.
分析：本题主要考查了综合法，解决问题的关键是根据所给条件和所求结论运用综合法分析计算即可证明问题.
18. 在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为________．
答案：a5>b5
解析：解答：设公比为q，公差为d.则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，
由a3＝b3，∴2d＝a1(q2－1)．
又∵a1≠a3，∴q2≠1.
∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1(q2－1)2>0.∴a5>b5.
分析：本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据所求命题与所给条件综合分析计算比较大小即可.
19. 请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12＋a22＝1，那么a1＋a2≤.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数满足a12＋a22＋…＋an2＝1时，你能得到的结论为________．
答案：a1＋a2＋…＋an≤
解析：解答：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
所以a1＋a2＋…＋an≤.
分析：本题主要考查了公理化思想，解决问题的关键是根据所给条件与结论之间的联系进行构造函数，运用公理化思想进行分析计算即可得到所求结论.
20. 设a,b,c为正数，若，则 ．
答案：9
解析：解答：因为，所以=
=3+3++2+2+2=9.
分析：本题主要考查了综合法，解决问题的关键是根据所给条件结合所求命题进行分析计算即可.
21. 已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
答案：证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2(x－)2＋3≥3，
两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1.
解析： 分析：本题主要考查了反证法的应用，解决问题的关键是根据反证法的步骤进行推理证明即可解决问题.
22. 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
答案：证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），
由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，
△2=（2c）2﹣4ab≤0，
△3=（2a）2﹣4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
解析：分析：本题主要考查了反证法的应用，解决问题的关键是本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．
23. 已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
答案：证明： 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1由于a>1，ax10.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
答案：证明：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－.
∵a>1，
∴0∴0<－<1，即故方程f(x)＝0没有负数根．
解析： 分析：本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用、反证法的应用，解决问题的关键是(1)根据所给条件结合所求命题综合分析计算即可；(2)运用反证法的证明方法进行证明即可.
24. 已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：am＋n＋bm＋n ≥ ambn＋anbm.
答案：证明：am＋n＋bm＋n－(ambn＋anbm)
＝(am＋n－ambn)－(anbm－bm＋n)＝am(an－bn)－bm(an－bn)＝(am－bm)(an－bn)．
当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；
当a0；
当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.
综上，(am－bm)(an－bn)≥0，即am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
解析：分析：本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是利用作差比较，因式分解的方法，分类讨论思想，对a,b的大小关系讨论，可证不等式成立.
25. 已知非零向量 ，且，求证：≤.
答案：证明： ，要证≤.
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
即 ，上式显然成立，故原不等式得证．
解析：分析：本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用，解决问题的关键是根据所求命题结合条件运用分析法的证明思路进行推理即可.
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