19.3正方形与一次函数反比例函数综合题专训（有答案）
文档属性
| 名称 | 19.3正方形与一次函数反比例函数综合题专训（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 220.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-09 14:34:11 | ||
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文档简介
华师大版八年级下册19.3正方形与一次函数反比例函数综合题专训
一、利用正方形的性质求解一次函数与反比例函数问题
试题１、（2015春监利县期末）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为 ．
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值．
【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．
试题２（2015阆中市模拟）如图，点B是反 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是?（ ）?
?
A． B． C． D．
【解答】解：设B点坐标为（x，y），
根据题意得x2+y2=68，x+y=10，
∴（x+y）2=100，
∴x2+2xy+y2=100，即68+2xy=100，
∴xy=16，
∴反比例函数的解析式为y=．
故选D．
试题３、（2015衡南县自主招生）已知点A ( http: / / www.21cnjy.com )、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．
【解答】解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD=；
∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
∴设正方形的边长为a，
∴3a=CD=．
∴a=，
∴正方形边长为，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或；
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵m＜2，
∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2﹣m，2），
设反比例函数的解析式为：，
∵D（2，m），C（2﹣m，2）
∴，
∴由②得：k=2m③，
∴把k=2m代入①得：2m=2（2﹣m），
∴解得m=1，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=．
试题４、（2015韶关模拟）如图，点A ( http: / / www.21cnjy.com )（2，2）在双曲线y1=（x＞0）上，点C在双曲线y2=﹣（x＜0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．
（1）求k的值；
（2）求证：△BCE≌△ABF；
（3）求直线BD的解析式．
【解答】（1）解：把点A（2，2）代入y1=，
得：2=，
∴k=4；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，
∴∠EBC+∠ABF=90°，
∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，
∴∠CEB=∠BFA=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（AAS）；
（3）解：连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示：
则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，
由（2）得：△BCE≌△ABF，
∴BE=AF=2，CE=BF，
设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，
∴OE=CE，
∴点C的坐标为：（﹣x﹣2，x+2），
代入双曲线y2=﹣（x＜0）得：﹣（x+2）2=﹣9，
解得：x=1，或x=﹣5（不合题意，舍去），
∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，
∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（﹣1，0），AG=5，
在Rt△BOD和Rt△CGA中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL），
∴OD=AG=5，
∴D（0，5），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（﹣1，0），D（0，5）代入得：，
解得：k=5，b=5．
∴直线BD的解析式为：y=5x+5．
试题５、（2015春四川校级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，正方形OABC的面积为16，点O为坐标原点，点B在双曲线y=（x＞0）上，点P（m，n）是双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面积为S．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当S=8时，求点P的坐标；
（3）写出S与m的函数关系式．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的面积为16，
∴OA=OC=4，
∴B（4，4），
又∵点B（4，4）在函数的图象上，
∴k=16；
故点B的坐标是（4，4），k=16；
（2）分两种情况：
①当点P在点B的左侧时，
∵P（m，n）在函数y=上，
∴mn=16，
∴S=m（n﹣4）=mn﹣4m=8，
解得m=2，
∴n=8，
∴点P的坐标是P（2，8）；
②当点P在点B的右侧时，
∵P（m，n）在函数y=上，
∴mn=16，
∴S=4（4﹣n）=16﹣4n=8，
解得n=2，
∴=2，
解得m=8，
∴点P的坐标是P（8，2），
综上所述：P（2，8），（8，2）．
（3）当0＜m＜4时，点P在点B的左边，此时S=16﹣4m，
当m≥4时，点P在点B的右边，此时S=16﹣4n=16﹣4×=16﹣．
试题６、（2014本溪）如图，边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（，），则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF ( http: / / www.21cnjy.com )⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B（，），
∴BE=，AE==，
∴OF=OE+AE+AF=++=5，
∴点D的坐标为（，5），
∵顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=xy=×5=8．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
试题７、（2012北仑区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级模拟）在平面直角坐标系中，如图，点A的坐标是（2，0），点D在y轴的正半轴上，以线段AD为边向外作正方形ABCD如图所示，该正方形的中心M（3，3），那么点D的坐标为 （0，4） ，直线BC的解析式是 y=﹣2x+14 ．
【分析】连接MA、MD，过点M作ME⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )x轴于E，作MF⊥y轴于F，根据点M的坐标判断出四边形OEMF是正方形，然后求出ME=MF，再利用“HL”证明Rt△AEM和Rt△DFM全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再根据点A的坐标求出OA，然后求出AE，再求出OD，写出点D的坐标即可；
过点B作BG⊥x轴于G，求出∠ADO= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAG，然后利用“角角边”证明△AOD和△BAG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=OD，BG=OA，从而写出点B的坐标，过点C作CH⊥y轴于H，同理可得CH=OD，DH=OA，然后求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【解答】解：如图，连接MA、MD，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，
∵正方形ABCD的中心是M（3，3），
∴AM=DM，四边形OEMF是正方形，
∴ME=MF=3，
在Rt△AEM和Rt△DFM中，，
∴Rt△AEM≌Rt△DFM（HL），
∴DF=AE，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AE=OE﹣OA=3﹣2=1，
∴OD=OF+DF=OF+AE=3+1=4，
∴点D的坐标为（0，4）；
过点B作BG⊥x轴于G，
∵∠ADO+∠OAD=90°，∠BAG+∠OAD=90°，
∴∠ADO=∠BAG，
在△AOD和△BAG中，，
∴△AOD≌△BAG（AAS），
∴AG=OD=4，BG=OA=2，
∴OG=OA+AG=2+4=6，
∴点B的坐标为（6，2），
过点C作CH⊥y轴于H，
同理可得CH=OD=4，DH=OA=2，
∴OH=OD+DH=4+2=6，
∴点C的坐标为（4，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴设直线BC的解析式为y=﹣2x+14．
故答案为：（0，4）；y=﹣2x+14．
【点评】本题考查了正方形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，难点在于作辅助线构造出全等三角形以及以点O、M为顶点的正方形．
二、利用一次函数与反比例函数的性质求解正方形问题
试题１、（2015凉山州）以正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：∵双曲线y=经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4=12．
故选：C．
试题２、（2015安陆市三模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【解答】解：设正方形ADEF的边长AD=t，则OD=1+t．
∵四边形ADEF是正方形，
∴DE=AD=t．
∴E点坐标为（1+t，t）．
∵E点在反比例函数y=的图象上，
∴（1+t）t=6．
整理，得 t2+t﹣6=0．
解得t1=﹣3，t2=2．
∵t＞0，
∴t=2．
∴正方形ADEF的边长为2，
∴正方形ADEF的面积为4．
故选B．
试题３、（2015石家庄模拟）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，且点A的横坐标为2，连接OA并延长到点B，使AB=OA，过点B作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C，D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23 B．18 C．11 D．8
【解答】解：∵点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，且点A的横坐标为2，
∴点A的纵坐标为2，
∴A（2，2），
∴OB是∠DOC的平分线，
∵AB=OA，BC⊥OC，BD⊥OD，
∴四边形OCBD是正方形，∴B（4，4），
∴S阴影=S△OBD=S△OBD=S正方形OCBD=×4×4=8．
试题４、（2015大庆模拟）正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y=x+1和x轴上，则第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为 22014 ．
【分析】根据直线解析式先求出OA1=1 ( http: / / www.21cnjy.com )，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第2015个正方形的边长．
【解答】解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
同理得：A3C2=4=22，…，
∴第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为：22014．
故答案为：22014．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特 ( http: / / www.21cnjy.com )征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
试题５、（2015西湖区一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P与Q的坐标分别为 （2，4﹣2）、（） ．
【分析】首先根据点Q在OB：y=x上， ( http: / / www.21cnjy.com )以及QO=OC=2，求出点Q的坐标是多少；然后设点P的坐标是（2，a），确定出CP所在的直线的解析式，再根据点Q在CP上，求出a的值，即可求出点P的坐标是多少．
【解答】解：∵点Q在OB：y=x上，QO=OC=2，
∴点Q的坐标是（，），
设P点的坐标是（2，a），
∵点C的坐标是（0，2）
∴CP所在的直线的解析式是：y=kx+2，
则k=（a﹣2）÷（2﹣0）=0.5a﹣1，
∴CP所在的直线的解析式是：y=（0.5a﹣1）x+2，
∵点Q（，）在y=（0.5a﹣1）x+2上，
∴（0.5a﹣1）×+2=
则a=4﹣2，
∴点P的坐标为（2，4﹣2），
∴点P与Q的坐标分别为（2，4﹣2）、（）．
故答案为：（2，4﹣2）、（）．
【点评】（1）此题主要考查了正方形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
（2）此题还考查了一次函数图象上点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
（3）此题还考查了待定系数法求一次函数解析式的方法，要熟练掌握．
试题６、（2015鄂州）在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【解答】方法一：
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．
故选：D．
方法二：
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，
∠B1C1O=60°，
∴D1E1=B2E2=，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴∠E2B2C2=60°，
∴B2C2=，
同理：
B3C3=×=…
∴a1=1，q=，
∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长=1×．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
试题７、（2014武汉模拟）如图，正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线（x＞0）上，顶点D在双曲线（x＜0）上，则正方形ABCD的面积为 6 ．
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，作BM ( http: / / www.21cnjy.com )⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N，可得四边形OMBE是矩形，然后求出∠EBM=90°，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，然后根据同角的余角相等求出∠ABM=∠CBE，利用“角角边”证明△ABM和△CBE全等，根据全等三角形的面积相等可得S△ABM=S△CBE，同理可得S△ADN=S△CDF，从而得到正方形ABCD的面积=S矩形OMBE+S矩形ONDF，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，作BM⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N，
则四边形OMBE是矩形，
∴∠EBM=90°，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∠ABM+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠ABM=∠CBE，
在△ABM和△CBE中，，
∴△ABM≌△CBE（AAS），
∴S△ABM=S△CBE，
同理可得S△ADN=S△CDF，
∴正方形ABCD的面积=S矩形OMBE+S矩形ONDF，
∵点B在双曲线y=上，点D在双曲线y=﹣上，
∴正方形ABCD的面积=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数系数k的几何意义，作辅助线构造出全等三角形并把正方形的面积转化为两个矩形的面积的和是解题的关键．
三、综合运用
试题１、（2011秋鄞州区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3 A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．
【解答】解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图所示：
设P1（a，），则CP1=a，OC=，
∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴∠A1B1P1=90°，
∴∠CB1P1+∠OB1A1=90°，
∵∠CB1P1+∠CP1B1=90°，∠OB1A1+∠OA1B1=90°，
∴∠CB1P1=∠OA1B1，
在△P1B1C≌△B1A1O中，，
∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS），
同理：△B1A1O≌△A1P2D，
∴OB1=P1C=A1D=a，
∴OA1=B1C=P2D=﹣a，
∴OD=a+﹣a=，
∴P2的坐标为（，﹣a），
把P2的坐标代入y=（x＞0）得：（﹣a）=2，
解得：a=﹣1（舍去）或a=1，
∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，），
又∵四边形P2P3A2B2为正方形，
同上：△P2P3F≌△A2P3E，
∴P3E=P3F=DE，
∴OE=OD+DE=2+，
∴2+=b，
解得：b=1﹣（舍去），b=1+，
∴==﹣1，
∴点P3的坐标为 （+1，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
试题２、（2014宜兴市校级 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y=（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后，点C恰好落在双曲线上，则m的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】作CE⊥y轴于点E ( http: / / www.21cnjy.com )，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则m的值即可求解．
【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．
∵A（1，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数的解析式是：y=．
OE=4，
则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4），
∴CG=2．
故选A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．
试题３、（2013海安县校级模拟）正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD，矩形EFGH均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中，点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形EFGH的周长为10，面积为6，则点F的坐标为 （7，5），（8，5） ．
【分析】由A的坐标为（3，3），正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边长为1得出直线OM的解析式，再求出C点的坐标利用待定系数法求出直线ON的解析式；设矩形EFGH的宽为a，则长为5﹣a，再根据面积为6即可得出a的值，由点E在直线OM上设点E的坐标为（e，e），由矩形的边长可用e表示出F、G点的坐标，再根据G点在直线ON上得出e的值，即可得出结论．
【解答】解：∵A的坐标为（3，3），
∴直线OM的解析式为y=x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴C（4，2），
设直线ON的解析式为y=kx（k≠0），
∴2=4k，
解得k=，
∴直线ON的解析式为：y=x；
设矩形EFGH的宽为a，则长为5﹣a，
∵矩形EFGH的面积为6，
∴a（5﹣a）=6，
解得：a=2或a=3，
当a=2即EF=2时，EH=5﹣2=3，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），
∴F（e，e﹣2），G（e+3，e﹣2），
∵点G在直线ON上，
∴e﹣2=（e+3），
解得：e=7，
∴F（7，5）；
当a=3即EF=3时，EH=5﹣3=2，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），
∴F（e，e﹣3），G（e+2，e﹣3），
∵点G在直线ON上，
∴e﹣3=（e+2），
解得：e=8，
∴F（8，5）．
故答案为：（7，5），（8，5）．
【点评】本题考查了正方形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、矩形的性质、一次函数解析式的求法；根据题意得出直线ON的解析式是解答此题的关键，在解答时要注意进行分类讨论．
试题４、（2015春淮阴区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式；
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴C的坐标为（4，4），
设反比例解析式为y=
将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=； （2分）
（2）当Q在DC上时，如图所示：
此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t=，
则DQ=4t=，即Q1（，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：
若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t=，
则QB=8﹣4t=，此时Q2（4，）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t=，
则QB=，即Q3（4，）；
当Q在AB边上时，如图所示：
此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t=，
因为0≤t≤，所以舍去．
综上所述Q1（，4）； Q2（4，），Q3（4，）
（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=×4t×4=8t；
当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，
则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△B ( http: / / www.21cnjy.com )PQ﹣S△CDQ=16﹣APAD﹣PBBQ﹣DCCQ=16﹣t×4﹣（4﹣t）【4﹣（4t﹣4）}﹣×4（4t﹣4）═﹣2t2+2t+8；
当2≤t≤时，Q在AB上，PQ=12﹣5t，则s=×4×（12﹣5t），即s=﹣10t+24．
总之，s1=8t（0＜t≤1）；
s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；
s3=﹣10t+24（2≤t≤）
试题５、（2015春龙岩校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知正方形ABCD的边长为8cm，有一动点P以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的路径运动，设P点运动的时间为t（s）（0＜t＜24），△ADP的面积为S cm2．
（1）当△ADP是等腰直角三角形时，直接写出t的值．答：t= 8s或16s ；
（2）求S与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，△ADP的面积为12cm2．
【分析】（1）当点P运动到B点和C点时，△ADP是等腰直角三角形，然后写出对应的t的值；
（2）分类讨论：当点P在AB上运动 ( http: / / www.21cnjy.com )或点P在BC上运动或点P在CD上运动时，分别写出对应的t的取值范围，然后根据三角形面积公式求出对应的S；
（3）利用（2）中S与t的函数关系式，求函数值为12时所对应的t的值即可．
【解答】解：（1）当t=8s或16s时，△ADP是等腰直角三角形；
故答案为8s或16s；
（2）当0＜t≤8时，如图1，
S=t8=4t；
当8＜t≤16时，如图2，
S=88=32；
当16＜t＜24时，如图3，
S=（24﹣t）8=﹣4t+96；
（3）当4t=12时，解得t=3（s）；
当﹣4t+96=12时，解得t=21（s），
所以当t为3s或21s时，△ADP的面积为12cm2．方形的
一、利用正方形的性质求解一次函数与反比例函数问题
试题１、（2015春监利县期末）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为 ．
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值．
【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．
试题２（2015阆中市模拟）如图，点B是反 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是?（ ）?
?
A． B． C． D．
【解答】解：设B点坐标为（x，y），
根据题意得x2+y2=68，x+y=10，
∴（x+y）2=100，
∴x2+2xy+y2=100，即68+2xy=100，
∴xy=16，
∴反比例函数的解析式为y=．
故选D．
试题３、（2015衡南县自主招生）已知点A ( http: / / www.21cnjy.com )、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．
【解答】解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD=；
∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
∴设正方形的边长为a，
∴3a=CD=．
∴a=，
∴正方形边长为，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或；
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵m＜2，
∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2﹣m，2），
设反比例函数的解析式为：，
∵D（2，m），C（2﹣m，2）
∴，
∴由②得：k=2m③，
∴把k=2m代入①得：2m=2（2﹣m），
∴解得m=1，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=．
试题４、（2015韶关模拟）如图，点A ( http: / / www.21cnjy.com )（2，2）在双曲线y1=（x＞0）上，点C在双曲线y2=﹣（x＜0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．
（1）求k的值；
（2）求证：△BCE≌△ABF；
（3）求直线BD的解析式．
【解答】（1）解：把点A（2，2）代入y1=，
得：2=，
∴k=4；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，
∴∠EBC+∠ABF=90°，
∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，
∴∠CEB=∠BFA=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（AAS）；
（3）解：连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示：
则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，
由（2）得：△BCE≌△ABF，
∴BE=AF=2，CE=BF，
设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，
∴OE=CE，
∴点C的坐标为：（﹣x﹣2，x+2），
代入双曲线y2=﹣（x＜0）得：﹣（x+2）2=﹣9，
解得：x=1，或x=﹣5（不合题意，舍去），
∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，
∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（﹣1，0），AG=5，
在Rt△BOD和Rt△CGA中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL），
∴OD=AG=5，
∴D（0，5），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（﹣1，0），D（0，5）代入得：，
解得：k=5，b=5．
∴直线BD的解析式为：y=5x+5．
试题５、（2015春四川校级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，正方形OABC的面积为16，点O为坐标原点，点B在双曲线y=（x＞0）上，点P（m，n）是双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面积为S．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当S=8时，求点P的坐标；
（3）写出S与m的函数关系式．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的面积为16，
∴OA=OC=4，
∴B（4，4），
又∵点B（4，4）在函数的图象上，
∴k=16；
故点B的坐标是（4，4），k=16；
（2）分两种情况：
①当点P在点B的左侧时，
∵P（m，n）在函数y=上，
∴mn=16，
∴S=m（n﹣4）=mn﹣4m=8，
解得m=2，
∴n=8，
∴点P的坐标是P（2，8）；
②当点P在点B的右侧时，
∵P（m，n）在函数y=上，
∴mn=16，
∴S=4（4﹣n）=16﹣4n=8，
解得n=2，
∴=2，
解得m=8，
∴点P的坐标是P（8，2），
综上所述：P（2，8），（8，2）．
（3）当0＜m＜4时，点P在点B的左边，此时S=16﹣4m，
当m≥4时，点P在点B的右边，此时S=16﹣4n=16﹣4×=16﹣．
试题６、（2014本溪）如图，边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（，），则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF ( http: / / www.21cnjy.com )⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B（，），
∴BE=，AE==，
∴OF=OE+AE+AF=++=5，
∴点D的坐标为（，5），
∵顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=xy=×5=8．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．
试题７、（2012北仑区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级模拟）在平面直角坐标系中，如图，点A的坐标是（2，0），点D在y轴的正半轴上，以线段AD为边向外作正方形ABCD如图所示，该正方形的中心M（3，3），那么点D的坐标为 （0，4） ，直线BC的解析式是 y=﹣2x+14 ．
【分析】连接MA、MD，过点M作ME⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )x轴于E，作MF⊥y轴于F，根据点M的坐标判断出四边形OEMF是正方形，然后求出ME=MF，再利用“HL”证明Rt△AEM和Rt△DFM全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再根据点A的坐标求出OA，然后求出AE，再求出OD，写出点D的坐标即可；
过点B作BG⊥x轴于G，求出∠ADO= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAG，然后利用“角角边”证明△AOD和△BAG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=OD，BG=OA，从而写出点B的坐标，过点C作CH⊥y轴于H，同理可得CH=OD，DH=OA，然后求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【解答】解：如图，连接MA、MD，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，
∵正方形ABCD的中心是M（3，3），
∴AM=DM，四边形OEMF是正方形，
∴ME=MF=3，
在Rt△AEM和Rt△DFM中，，
∴Rt△AEM≌Rt△DFM（HL），
∴DF=AE，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AE=OE﹣OA=3﹣2=1，
∴OD=OF+DF=OF+AE=3+1=4，
∴点D的坐标为（0，4）；
过点B作BG⊥x轴于G，
∵∠ADO+∠OAD=90°，∠BAG+∠OAD=90°，
∴∠ADO=∠BAG，
在△AOD和△BAG中，，
∴△AOD≌△BAG（AAS），
∴AG=OD=4，BG=OA=2，
∴OG=OA+AG=2+4=6，
∴点B的坐标为（6，2），
过点C作CH⊥y轴于H，
同理可得CH=OD=4，DH=OA=2，
∴OH=OD+DH=4+2=6，
∴点C的坐标为（4，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴设直线BC的解析式为y=﹣2x+14．
故答案为：（0，4）；y=﹣2x+14．
【点评】本题考查了正方形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，难点在于作辅助线构造出全等三角形以及以点O、M为顶点的正方形．
二、利用一次函数与反比例函数的性质求解正方形问题
试题１、（2015凉山州）以正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：∵双曲线y=经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4=12．
故选：C．
试题２、（2015安陆市三模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【解答】解：设正方形ADEF的边长AD=t，则OD=1+t．
∵四边形ADEF是正方形，
∴DE=AD=t．
∴E点坐标为（1+t，t）．
∵E点在反比例函数y=的图象上，
∴（1+t）t=6．
整理，得 t2+t﹣6=0．
解得t1=﹣3，t2=2．
∵t＞0，
∴t=2．
∴正方形ADEF的边长为2，
∴正方形ADEF的面积为4．
故选B．
试题３、（2015石家庄模拟）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，且点A的横坐标为2，连接OA并延长到点B，使AB=OA，过点B作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C，D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23 B．18 C．11 D．8
【解答】解：∵点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，且点A的横坐标为2，
∴点A的纵坐标为2，
∴A（2，2），
∴OB是∠DOC的平分线，
∵AB=OA，BC⊥OC，BD⊥OD，
∴四边形OCBD是正方形，∴B（4，4），
∴S阴影=S△OBD=S△OBD=S正方形OCBD=×4×4=8．
试题４、（2015大庆模拟）正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y=x+1和x轴上，则第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为 22014 ．
【分析】根据直线解析式先求出OA1=1 ( http: / / www.21cnjy.com )，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第2015个正方形的边长．
【解答】解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
同理得：A3C2=4=22，…，
∴第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为：22014．
故答案为：22014．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特 ( http: / / www.21cnjy.com )征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
试题５、（2015西湖区一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P与Q的坐标分别为 （2，4﹣2）、（） ．
【分析】首先根据点Q在OB：y=x上， ( http: / / www.21cnjy.com )以及QO=OC=2，求出点Q的坐标是多少；然后设点P的坐标是（2，a），确定出CP所在的直线的解析式，再根据点Q在CP上，求出a的值，即可求出点P的坐标是多少．
【解答】解：∵点Q在OB：y=x上，QO=OC=2，
∴点Q的坐标是（，），
设P点的坐标是（2，a），
∵点C的坐标是（0，2）
∴CP所在的直线的解析式是：y=kx+2，
则k=（a﹣2）÷（2﹣0）=0.5a﹣1，
∴CP所在的直线的解析式是：y=（0.5a﹣1）x+2，
∵点Q（，）在y=（0.5a﹣1）x+2上，
∴（0.5a﹣1）×+2=
则a=4﹣2，
∴点P的坐标为（2，4﹣2），
∴点P与Q的坐标分别为（2，4﹣2）、（）．
故答案为：（2，4﹣2）、（）．
【点评】（1）此题主要考查了正方形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
（2）此题还考查了一次函数图象上点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
（3）此题还考查了待定系数法求一次函数解析式的方法，要熟练掌握．
试题６、（2015鄂州）在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【解答】方法一：
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．
故选：D．
方法二：
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，
∠B1C1O=60°，
∴D1E1=B2E2=，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴∠E2B2C2=60°，
∴B2C2=，
同理：
B3C3=×=…
∴a1=1，q=，
∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长=1×．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
试题７、（2014武汉模拟）如图，正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线（x＞0）上，顶点D在双曲线（x＜0）上，则正方形ABCD的面积为 6 ．
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，作BM ( http: / / www.21cnjy.com )⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N，可得四边形OMBE是矩形，然后求出∠EBM=90°，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，然后根据同角的余角相等求出∠ABM=∠CBE，利用“角角边”证明△ABM和△CBE全等，根据全等三角形的面积相等可得S△ABM=S△CBE，同理可得S△ADN=S△CDF，从而得到正方形ABCD的面积=S矩形OMBE+S矩形ONDF，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，作BM⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N，
则四边形OMBE是矩形，
∴∠EBM=90°，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∠ABM+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠ABM=∠CBE，
在△ABM和△CBE中，，
∴△ABM≌△CBE（AAS），
∴S△ABM=S△CBE，
同理可得S△ADN=S△CDF，
∴正方形ABCD的面积=S矩形OMBE+S矩形ONDF，
∵点B在双曲线y=上，点D在双曲线y=﹣上，
∴正方形ABCD的面积=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数系数k的几何意义，作辅助线构造出全等三角形并把正方形的面积转化为两个矩形的面积的和是解题的关键．
三、综合运用
试题１、（2011秋鄞州区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3 A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．
【解答】解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图所示：
设P1（a，），则CP1=a，OC=，
∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴∠A1B1P1=90°，
∴∠CB1P1+∠OB1A1=90°，
∵∠CB1P1+∠CP1B1=90°，∠OB1A1+∠OA1B1=90°，
∴∠CB1P1=∠OA1B1，
在△P1B1C≌△B1A1O中，，
∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS），
同理：△B1A1O≌△A1P2D，
∴OB1=P1C=A1D=a，
∴OA1=B1C=P2D=﹣a，
∴OD=a+﹣a=，
∴P2的坐标为（，﹣a），
把P2的坐标代入y=（x＞0）得：（﹣a）=2，
解得：a=﹣1（舍去）或a=1，
∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，），
又∵四边形P2P3A2B2为正方形，
同上：△P2P3F≌△A2P3E，
∴P3E=P3F=DE，
∴OE=OD+DE=2+，
∴2+=b，
解得：b=1﹣（舍去），b=1+，
∴==﹣1，
∴点P3的坐标为 （+1，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
试题２、（2014宜兴市校级 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y=（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后，点C恰好落在双曲线上，则m的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】作CE⊥y轴于点E ( http: / / www.21cnjy.com )，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则m的值即可求解．
【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．
∵A（1，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数的解析式是：y=．
OE=4，
则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4），
∴CG=2．
故选A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．
试题３、（2013海安县校级模拟）正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD，矩形EFGH均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中，点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形EFGH的周长为10，面积为6，则点F的坐标为 （7，5），（8，5） ．
【分析】由A的坐标为（3，3），正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边长为1得出直线OM的解析式，再求出C点的坐标利用待定系数法求出直线ON的解析式；设矩形EFGH的宽为a，则长为5﹣a，再根据面积为6即可得出a的值，由点E在直线OM上设点E的坐标为（e，e），由矩形的边长可用e表示出F、G点的坐标，再根据G点在直线ON上得出e的值，即可得出结论．
【解答】解：∵A的坐标为（3，3），
∴直线OM的解析式为y=x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴C（4，2），
设直线ON的解析式为y=kx（k≠0），
∴2=4k，
解得k=，
∴直线ON的解析式为：y=x；
设矩形EFGH的宽为a，则长为5﹣a，
∵矩形EFGH的面积为6，
∴a（5﹣a）=6，
解得：a=2或a=3，
当a=2即EF=2时，EH=5﹣2=3，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），
∴F（e，e﹣2），G（e+3，e﹣2），
∵点G在直线ON上，
∴e﹣2=（e+3），
解得：e=7，
∴F（7，5）；
当a=3即EF=3时，EH=5﹣3=2，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），
∴F（e，e﹣3），G（e+2，e﹣3），
∵点G在直线ON上，
∴e﹣3=（e+2），
解得：e=8，
∴F（8，5）．
故答案为：（7，5），（8，5）．
【点评】本题考查了正方形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、矩形的性质、一次函数解析式的求法；根据题意得出直线ON的解析式是解答此题的关键，在解答时要注意进行分类讨论．
试题４、（2015春淮阴区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式；
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴C的坐标为（4，4），
设反比例解析式为y=
将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=； （2分）
（2）当Q在DC上时，如图所示：
此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t=，
则DQ=4t=，即Q1（，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：
若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t=，
则QB=8﹣4t=，此时Q2（4，）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t=，
则QB=，即Q3（4，）；
当Q在AB边上时，如图所示：
此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t=，
因为0≤t≤，所以舍去．
综上所述Q1（，4）； Q2（4，），Q3（4，）
（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=×4t×4=8t；
当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，
则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△B ( http: / / www.21cnjy.com )PQ﹣S△CDQ=16﹣APAD﹣PBBQ﹣DCCQ=16﹣t×4﹣（4﹣t）【4﹣（4t﹣4）}﹣×4（4t﹣4）═﹣2t2+2t+8；
当2≤t≤时，Q在AB上，PQ=12﹣5t，则s=×4×（12﹣5t），即s=﹣10t+24．
总之，s1=8t（0＜t≤1）；
s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；
s3=﹣10t+24（2≤t≤）
试题５、（2015春龙岩校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知正方形ABCD的边长为8cm，有一动点P以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的路径运动，设P点运动的时间为t（s）（0＜t＜24），△ADP的面积为S cm2．
（1）当△ADP是等腰直角三角形时，直接写出t的值．答：t= 8s或16s ；
（2）求S与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，△ADP的面积为12cm2．
【分析】（1）当点P运动到B点和C点时，△ADP是等腰直角三角形，然后写出对应的t的值；
（2）分类讨论：当点P在AB上运动 ( http: / / www.21cnjy.com )或点P在BC上运动或点P在CD上运动时，分别写出对应的t的取值范围，然后根据三角形面积公式求出对应的S；
（3）利用（2）中S与t的函数关系式，求函数值为12时所对应的t的值即可．
【解答】解：（1）当t=8s或16s时，△ADP是等腰直角三角形；
故答案为8s或16s；
（2）当0＜t≤8时，如图1，
S=t8=4t；
当8＜t≤16时，如图2，
S=88=32；
当16＜t＜24时，如图3，
S=（24﹣t）8=﹣4t+96；
（3）当4t=12时，解得t=3（s）；
当﹣4t+96=12时，解得t=21（s），
所以当t为3s或21s时，△ADP的面积为12cm2．方形的