2025 届新高考春季学期五月仿真联合测试
数学试卷参考答案及评分参考
1.【答案】B【详解】依题意， z 4 2i 6，所以 z 2 2i对应点 ( 2,2)位于第二象限.故选：B
2.【答案】B【详解】注意到当 x 1时， x2 2x 1 0，则 p是假命题， p是真命题；
又注意到 x 1时， x20 3x0 1 1，则 q为真命题， q是假命题；所以 p和 q都是真命题.故选：B
3.【答案】C【详解】7包不同的薯片任取 2包有C27 21种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有 6种取法，现从这些货
品中任取 2包薯片和 1瓶饮料，根据分步乘法计数原理得到不同的取法有 21 6 126 种.故选：C.
4.【答案】C【详解】已知 c b a 则 b a c ，两边平方可得 b2 (a c)2 .所以 b2 a2 2a c c2 . 因为 a, b, c 均为
a c 1
单位向量，所以 a b c 1.则 a c
1
，则 cos a, c a c 2， a, c
2
故选：C.2 3
5.【答案】C【详解】 f (x) lg(1 1 ) lg x a 1 x a 1 ，由 0,得x a或x a 1，所以函数的定义域为
x a x a x a
( ,a) (a 1 2x 1 1, )，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 a a 1 0，则a ，此时 f (x) lg ，
2 2x 1
f x f x lg 2x 1 lg 2x 1 lg 2x 1 lg 2x 1 ln1 0 ，即 f x f x ，函数 f x 为奇函数，所以
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
a 1 .故选：C.
2
6. B cos 2cos2 1 cos2 2 3【答案】 【详解】 ，得 ,因为 (0, ) ，所以 (0, ) ，
2 2 8 2 2
cos 2 3 4 2 3 (1 3)
2 1 3
，故选：B.
2 8 16 16 4
7. 1【答案】C【详解】由题可得正四棱台的高为 2，所以体积为 2 [(2 3)2 (4 3)2 (2 3)2 (4 3)2 ] 56 ，故
3
选：C.
8【. 答案】A【详解】因为 x 0，f (x) ex x2 1，x 0时，f (x) 0 ，所以 f x 在 0, 上单调递增，且 f x 0
恒成立，又 f x 是定义在 R上的奇函数， f (0) 0，所以 f x 是 R上的增函数，不等式
f b2 3ab f 9a2 2b2 0 ，对任意的 b a 0恒成立，即 f 2 2 b 3ab f 9a 2b2 f 2b2 9a2 ，
2 2
b2 3ab 2b2 9a2 ，又 b2 3ab 0 2b 9a a， 2 ，令m 0,1 ，b 3ab b
2
y 2 9m
2 3m 1 2 3m 1 1 1 1
(3m 1) 2 ，令 3m 1 t 1,4 ，Q y t 2在 1,4 上单调
1 3m 1 3m 3m 1 t
递减 2，所以实数 的取值范围为 2， .故选：A.
1
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9.【答案】ACD【详解】A选项，直线 l : y k(x 2) p与 x轴的交点为 (2,0)，所以焦点 F 为 (2,0)，所以 2, p 4，
2
所以 A选项正确；
y2 8x
B选项，当 k 2 2 时，联立 得 x2 5x 4 0， x1 x2 5，| AB | x1 x2 p 5 4 9，所以 B选
y 2 2(x 2)
项错误；C选项， | PF | 3 ,过点 A作准线的垂线，垂足为 A ， 三角形 APF 周长为
| AP | | AF | | PF | | AP | | AF | 3 | AP | | AA | 3 | PA | 3 5 3 8 ，所以 C选项正确；
D选项，设直线 l与抛物线的准线交于点 D，过点 B作准线的垂线，垂足为 B ，设 | BF | t ，则 | AF | 3t , | BB | t ,
| AA | 3t，根据三角形相似得 | DB | 2t，所以 DBB 60 ，所以直线 l的倾斜角为 60°，则 k 3 .
10.【答案】BCD【详解】由1 P(M N ) P(M ) P(N ) P(MN) 0.6 0.8 P(MN),得P(MN) 0.4 0，则 A错；易得
P(M | K ) P(N | K ) P(MK) P(NK) P(MK) P(NK) P(K )B选项正确；由 1P(K ) P(K ) P(K ) P(K ) ,得 C正确； 由
P(N |M ) P(NM ) P(M ) P(NM ) 0.6 0.4 1
P(M ) P(M ) 0.6 3 ，则 D正确. 故选：BCD
11.【答案】ABC【详解】由题可知， x 0, y 0, y x为曲线C的对称轴，所以 A，B正确.
x2 y2 3 x2 2
2
因为 x2 y2 y
2
2xy x 0, y 0 ，所以 xy ，所以 x2 y2 16x2 y2 16 2 4 x
2 y2 ，所以
2
x2 y2 4，C正确；对于 D：将 x2 y2 4和 (x2 y2 )3 16x2 y2 联立，解得 x2 y2 2，所以可得圆 x2 y2 4与
曲线 C相切于点 ( 2, 2)，( 2, 2)， ( 2, 2) ，( 2, 2)，由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象
限内经过的整点即可，把 1,1 ， 1,2 和 2,1 代入曲线 C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线 C在第一象限内
不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线 C只经过整点 0,0 ，所以 D错误.故选：ABC
12.【答案】 y 1
13. 6【答案】 【详解】由 tan 2, (0, ),sin 6
3 2 3
14.【答案】第一空答案为 n，第二个空答案为 675
【详解】易得 an n，由 A {1,2,3, ,2023},将 A中的元素分为3部分，
（1）被 3除余 1的：1,4,7, ,2023，共 675个数
（2）被 3除余 2的： 2,5,8,L, 2021，共 674个数
（3）被 3除整除的：3,6,9, ,2022，共 674个数
故元素个数的最大值为 675个，第一空答案为 n，第二个空答案为 675.
15.【详解】（1）由已知和正弦定理得： 3 sin B sinC sinC cosB 3 sinC，.............1分
2
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因为 sinC 0，所以 3 sin B cosB 3，.........................................................................2分
由辅助角公式得： 2sin B 3 ，即 sin
3
B ， ...........................................4分
6 6 2
因为 0 B ，所以 B 7 B 2 ，所以 或 B ，..............................6分
6 6 6 6 3 6 3
故 B 或 B ，因为 B ，所以 B . ......................................................................8分
6 2 2 6
（以上的解答过程中，“ sinC 0以及角 B的范围”，两个都没有写就扣 1分，有其中一个不扣分）
2 ABC S 1 ac sin B 1 1（ ）△ 的面积 2 c 3. ..................................................9分（写出面积公式即可得 1分）
2 2 2
所以 c 2 3，................................................................................................................................10分
由余弦定理得： b2 a2 c2 2ac cosB 4 12 3 2 2 2 3 4，................................11分（若结果算错，写出
2
余弦定理正确即给分）
所以 b 2， ...............................................................................................................................12分
所以△ABC的周长为 a b c 4 2 3. .................................................................................13分
2
16.【详解】（1） P A 3 9 ，......................................................................................... 1分
4 16
2
P B C1 3 1 3 27 2 ；.................................................................................................. 4分4 4 4 128
2
（ P B 结果对得 3分，算式对而结果不对得 2分，写成 P B C1 3 1 3 813 的也给 1分）；4 4 4 256
（2） X 可能的取值为 2，4，6. ....................................................................................…......... 5分
P(X 2) 3 3 1 1 5 ； …………………………………....................................……… 7分（算式、结果各 1分）
4 4 4 4 8
P(X 4) C1 3 1
2 2
3 C1 1 3 1 60 15 2 2 ；......................................................9分（算式、结果各 1分）4 4 4 4 4 4 256 64
P(X 6) 9 1 P(X 2) P(X 4) ；..........................................................................................11分（结果对得 2分）
64
（直接写出表格没有计算过程， X 的取值全写对得 1分， P(X 2)， P(X 4)， P(X 6)的结果分值都是 2分）
X 2 4 6
5 15 9
P
8 64 64
（3）方法一：
比赛只进行一局无法分出最终胜负；比赛每进行两局后会有三个不同的结果：
甲连胜两局获胜结束，甲连负两局由乙获胜而结束，甲一胜一负回到初始状态，根据递推关系得：
3
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}
P C 3 3 1 1 1 3 1 0 C12 P C , ........................................................................14分（写对递推关系得 3分，4 4 4 4 4 4
有递推思路但算式不对得 1分）
所以 P C 9 . ......................................................................................................................... 15分
10
方法二：将甲 2局获胜，4局获胜，6局获胜，……， 2n 2 局获胜，……的所有情况进行累加：
3 3 1 3 3 3 1 3 nP C C1 2
C1 3 3 2
… ......................... 13分
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
9
即 P(C) 9 3是一个无穷等比数列 a 的所有项之和，其中 a , q , P(C) 16 9n 1 3 . .....15分16 8 1 10
8
1
17. 2x【详解】（1）当 a 2时， f (x) e 4x，
2
所以 f x e2x 4．..........................................................................................................................2分
令 f x 0，得 x ln2；令 f x 0，得 x ln2．......................................................................3分
所以函数 f x 的单调递减区间是 , ln2 ，单调递增区间是 ln2, . ...................................4分
（2）当 a 0时， f x 1 e2x 2ex．
2
f (x) 4ex 2x2 5 1 e2x 2e x 2x2 5要证 ，即证 0 .
2 2 2
设 h x 1 e2x 2ex 2x2 5 ( x 0 )，则 h x e2x 2ex 4x．.................................................5分
2 2
设m x e2x 2ex 4x ( x 0 )，
则m x 2e2x 2ex 4 2 ex 1 ex 2 0 ．................................................................................7分
（注：不因式分解：m x 2e2x 2ex 4，所以m x 4e2x 2ex ，在 0, 上m x 0，m x 2e2x 2ex 4
在 0, 上单调递增，故m x m 0 0 .........................................................................................7分）
所以函数m x 在 0, 上单调递增，则m x m 0 3 0，....................................................8分
所以 h x 0，故函数 h x 在 0, 上单调递增，则 h x h 0 0. .......................................9分
1
即 e2x 2ex 2x2 5 0．.................................................................................................................10分.
2 2
（3）因为 f x e2x a 2 ex 2a ex a ex 2 ．.................................................................11分
当 a 0时，令 f x 0，得 x ln2；令 f x 0，得 x ln2．..................................................12分
所以 f x 在 , ln2 上单调递减，在 ln2, 上单调递增，此时 f x 只有极小值，不符合题意．.......13分
当 a<0时，令 f x 0，得 x1 ln2， x2 ln a ．........................................................................14分
因为 f x 的极大值为 f ln2 ，所以 ln2 ln a ，解得 a 2．
4
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}
综上， a的取值范围为 , 2 ．.......................................................................................................15分
18.【详解】（1）因为 PA 平面 ABC，且 BC 面ABC，所以 PA BC ，
又 BC CA,PA CA A，所以 BC 平面 PAC ，........................................................................1分
而 AN 平面 PAC ，所以 BC AN ....................................................................................................2分
又因为 AN PC ,BC PC C ，所以 AN⊥平面 PBC ，..............................................................3分
又MN 平面 PBC ，因此 AN NM ，故△ANM 为直角三角形. ...................................................4分
（2）由 PA AB 2，以及 AM PB知M 为 PB中点，则 AM 2 . ...............................5 分
由（1）知 AN MN ，则在直角三角形 ANM 中，有 AN 2 NM 2 AM 2 2，................6 分
所以 S 1△AMN AN NM . .......................................................................................................................7 分2
AN 2 NM 2 AM 2 2 1
，..........................................................................................................8分
4 4 4 2
当且仅当 AN NM 1时，取等，.......................................................................................................9分
故△AMN 1面积的最大值为 . ...............................................................................................................10分
2
（3）解法一：以C为原点，以CB,CA所在直线分别为 x轴， y轴，以过点C垂直于平面 ACB的直线为 z轴，建立
如图空间直角坐标系.
设CB a,CA b,a 0,b 0，
Q AC BC AC 2， BC
2 4 .
即 a2 b2 4，由 b2 4 a2 0知， 0 a2 4 .
于是C 0,0,0 , A 0,b,0 ,B a,0,0 ,P 0,b, 2 ，
则
uuur uur uuur uur uur
CM CB BM CB BP a ,0,0 a ,b , 2 a a , b , 2 ,0 1 .
uuur uuur
AB a, b,0 , AP 0,0,2 , ..............................................................................................................11分
uuur
rr AB n 0, ax by 0,
设平面 PAB的一个法向量为 n x, y, z ，于是 uuur r 令 x b，得 y a, z 0,
AP n 0, 2z 0,
r
平面 PAB的一个法向量为 n b,a,0 ，........................................................................................13分
uuur r
CM n
sin ab 2 uuur r ，.........................................................................14分4 CM n 2 8 2 2a2 a2 2
结合 a2 b2 4，化简得16 2 4a2 a4 2a2 0，................................................................15分
5
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}
(4a2 )2 4 16 (a4 2a2 ) 16( 3a4 8a2 ) 设 f 16 2 4a2 a4 2a2 ,0 1 ，要存在 ，使CM 与平面
2
所成角为 ，则 f 在（0,1）上有零点.而函数 f 图象的对称轴 0 a 1 ，又 f 1 a4 6a2 16 0，只需
4 8 2
满足 0，..............................................................................................................................16分
即 3a4 8a2 0，解得 0 2 6 a . 即 BC的取值范围是 (0, 2 6 ] . ................................17分
3 3
解法二：过 C作 CH⊥AB于 H，连结 MH，因为 PA 平面 ABC，所以 PA⊥AB，PA⊥CH，而 PA∩AB=A，
所以 CH⊥平面 PAB，则∠CMH即为直线CM 与平面 PAB所成的角. ........................................11分
因为 PA=AB，所以三角形 PAB是等腰直角三角形，∠PAB=45°. 设CB a,CA b,a 0,b 0，
Q AC BC， AC
2 BC 2 4 即 a2， b
2 4，
2
由 b2 4 ab a a2 0知， 0 a2 4 .易得CH ， BH ，.................................................12分
2 2
uuur uuur uuur uuur uur
因为MH BH BM BH BP ，
所以
uuur uur 2 2 4
MH 2 （BH BP a a 2 a）2 BH 2 2BP2 2 BH BP cos45 ( )2 8 2 2 2 2 8 2 2 a2 ,........13分
2 2 2 4
CH
因为 tan CMH tan 45 1 ，所以CH 2 MH 2 ，
MH
a2b2 a4
即 8 2 2 a2 ，结合 a2 b2 4，化简得16 2 4a2 a4 2a2 0，........15分
4 4
(4a2 )2 4 16 (a4 2a2 ) 16( 3a4 8a2 ) . 设 f 16
2 4a2 a4 2a2 ,0 1，
要存在 ，使CM 与平面所成角为 ，则 f 在（0,1）上有零点.
4
a2 1
而函数 f 图象的对称轴 0 ，又 f 1 a4 6a2 16 0，只需满足 0，........16分
8 2
3a4 8a2 0 0 a 2 6即 ，解得 . 即 BC的取值范围是 (0, 2 6 ] . ........................................17分
3 3
19.【详解】（1）由于 P点在左支，则有 PF1 1， PF2 1 2a，.................................................2分
由 F c 11PF2 90
o，有1 (1 2a)2 4c2，又 5 ，联立解得 a （舍负），.....................3分
a 2
则 b 2a 1，曲线 C的方程为 4x2 y2 1 . .....................................................................................4分
（2（）i）首先 4x0x y0 y 1是表示经过点P的直线，下面证明其恰是以点P为切点曲线C的切线 l. 联立 4x0x y0 y 1
与 4x2 y2 1可得 4x2 8x0x 4x
2
0 0，所以有 0，这说明 4x0x y0 y 1是以点 P为切点曲线 C的切线 l....5分
5 5 2 5x0 1 2 5x 1
其次，由于 F1( ,0)， F2 ( ,0) ，则有 H F
0
2 2 1 1
，同理有
16x 2 y 2 20x 20 0 0 1
6
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}
2 5x0 1 2 5x0 1H2F2 ，............................................................................................7分16x 2 y 20 0 20x
2
0 1
注意到 PF (x 5 )2 y 2 x 2
1
5x 5 1 4x 2 1 5x ，且 PF2 PF1 2a 5x1 0 0 .............9分2 0 0 0 4 0 0 2 2 ,
H1F1 2 5x0 1sin H PF 2 1 1 则有 PF 2 1 20x 2 1 ，1 20x0 1( 5x0 ) 02
2 5x 1
sin H PF H2F2 22 2
0
同理有 PF2 20x 2 1 1( 5x ) 20x 2 1
. ......................................10分
0 0 02
所以 sin H1PF1= sin H PF ，这说明 H PF 与 H PF 相等或互补（舍去）.
................11分
2 2 1 1 2 2
H 1 1所以有 2PF2 H1PF1，记 H2PF2 H1PF1 .则有 S△H PF PF1 H 2P sin PF1 PF2 1 2 2 2
co s sin ，
S 1 1△H PF PF2 H1P sin PF2 PF1 co s sin ，因此有 S△H S2PF1 △H1PF2 . ..............12分1 2 2 2
（ii）延长 PF1与 F2H2交于点 G，由三线合一可知三角形 PGF2为等腰三角形.
连接OH2，由于O，H2分别是 F F GF
GF PG PF PF PF 1
1 2， 2的中点，则有OH 1 1 2 12 ，2 2 2 2
所以点H
1 2 2 1
2的轨迹为以 O圆心，以 为半径的圆，其轨迹方程为 x y ，..................14分2 4
2 5x0 1 ( 2 5x 1)
2
0 ( 2 5x0 1) 2
注意到 H2F2 1 ，
20x 2 1 ( 2 5x0 1)( 2 5x0 1) ( 2 5x0 1) 2 5x0 10
其中 x0 ( ,
1
] ，所以有 H2F (1,
1 5 ] 5 1 52 ，设 H2 (x2 , y 2 22 2 2
) ，则有 1 H2F2 (x2 ) y2 ，联立2 2
x 2 2 1 1 52 y2 ，解得 x2 [ , )，....................................................................................16分4 2 10
2
所以点H2的轨迹方程为 x y
2 1 , x [ 1 5 , ) . .................................................................17分
4 2 10
7
{#{QQABZQSAggCIQABAABgCQwWiCgKQkAECCaoGQAAUIAAAwBNABCA=}#}2025届新高考春季学期五月全真模拟联合测试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清
楚。
3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作容，超出答题区书写的答策无效；在草稿纸、试题卷上答题无
效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.复数z满足z-4=2i(1+3),则复数z在复平面内对应的点位于（)
A,第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.己知命题p:x∈R,x2+2x+1>0;命题q:3x∈R,x场+3x+1≤0，则(）
A.P和g都是真命题
B.P和9都是真命题
C.卫和一9都是真命题
D.P和一9都是真命题
3,某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有()
A.19种
·B.20种
C.126种
D.294种
4.已知4b,c均为单位向量，若c=b-a,则a与c夹角的大小等于()
A君
B
C.2r
3
D.5
6
5.若f)=lg1-1)为奇函数，则实数a的值等于()
x-a
1
A.-1
B:2
D.1
6.已知00，)，cos日=4，则c0s2=()
A.-l+5
B.+/3
C.2+5
D.2-5
4
4
8
8
7.在正四棱台4BCD-44CD,中，AB=2A8=45,棱B,B与平面ABCD所成角的正弦值为0，则该棱台
5
的体积为()
A.40
B.28V2
C.56
D.112
2025届新高考春季学期五月全真模拟联合测试·数学第1页共4页
CS扫描全能王
3亿人都在用的扫描ApP
8.已知函数f)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e+x2-1.若不等式f[2(b2+3ab)]+f(9a2-2b2)20
对任意的b>a>0恒成立，则实数1的取值范围是()
A.[2,+o)
B.(-0,2]
C:[4,∞)
D.(-0,4]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.抛物线E:y2=2px(P>0)的焦点为F,直线l:y=k(x-2)过点F且与抛物线E交于A,B两点，其中点A在第
一象限，则()
A.p=4
B.当k=2迈时，1AB卡9
2
C.若点P的坐标为(3,22)，则△APF周长的最小值为8
D.当|AF=3引BFI时，k=√3
10.某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套.记事件M=
“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件N=“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件L=“该工人
在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件K=“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已
知P(M)=0.6,P(W)=0.8,则下列说法正确的是（)
A.M与N为互斥事件
B.L与K互为对立事件
C.P(M K)+P(NK)=1
D.PWIM=号
11.已知曲线C:(x2+y2)3=16x2y2，下列结论正确的有()
A.直线y=-x是曲线C的一条对称轴
B。曲线c的图象绕坐标原点逆时针旋转二后与原图象重合
C.曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2
D,曲线C上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题：本题共3小题，：每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=e*-sinx,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为一
13.已知曲线C:2_上=1，记C的一条新近线与x轴的夹角为a,则sina=
14.已知正项数列{a}的前n项和为Sn,其中a1=1,且S,=+a)a1ae).
2
(1)数列{an}的通项公式an=(n∈N):(2)记集合A={a1,42,a2b非空集合B,满足BsA,若集
合B中的任意3个元素的和都能被3整除，则集合B的元素个数的最大值为一·（第一空2分，第二空3分）
2025届新高考春季学期五月全真模拟联合测试·数学第2页共4页
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