第四节 直线、平面平行的判定与性质
1.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是（ ）
A.l∥α，l∥β
B.α内不共线的三点到β的距离相等
C.l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥β
D.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β
2.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有（ ）
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
4.如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（ ）
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值
7.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝ ；若ED与AF相交于点H，则GH＝ .
9.如图，三棱锥P-ABC中，Q为PA的中点，O为AB中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
11.如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN.若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面边长的比值为（ ）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕如图所示是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点.在此几何体中，给出下列结论，正确的是（ ）
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.直线PA∥平面BDG
C.直线EF∥平面PBC
D.直线EF∥平面BDG
13.（创新考法）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是 .
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.
（1）求证：平面MNQ∥平面PCD；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
15.（创新考查角度）（2024·河南二十名校联考）如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E＝60°，若CD＝4，AB＝8，G，H分别为O2B，BF的中点，且异面直线AF与CH所成角的余弦值为.
（1）证明：平面CGH∥平面O1O2FE；
（2）求圆台O1O2的高.
第四节 直线、平面平行的判定与性质
1.D 对于A，α和β可平行也可相交；对于B，必须是α内不共线的三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故B错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相交，故C错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交线分别为l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，则l1∥β，同理m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D.
2.B 若m α，m∥β，而α，β可能相交或平行，充分性不成立；若α∥β，m α，则m∥β，必要性成立，故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
3.C 如图，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.因为EF 平面BCD，GH 平面BCD，所以EF∥平面BCD.又因为EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD.又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α（平面EFGH）平行的棱有2条.
4.D ∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.
5.D 连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.
6.AD 根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题图易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC 平面ABCD，A1C1 平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图3所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确.
7.点M与点H重合（点M只要在线段FH上即可）
解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
8.1 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝.
9.证明：法一 如图1，连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO.
由G为△AOC的重心，知M为AC中点，
由Q为PA中点，得QM∥PC.
又O为AB中点，得OM∥BC.
又因为QM，MO 平面OQM，PC，BC 平面PBC，
QM∩MO＝M，PC∩BC＝C，
所以平面OQM∥平面PBC，
因为QG 平面OQM.
所以QG∥平面PBC.
法二 如图2，连接OG并延长交AC于点M，易知M为AC中点，连接AG并延长交BC于点N，
又O为AB中点，得OM∥BC，
根据平行线分线段对应成比例可知AG＝GN，
从而在△APN中，QG为中位线，QG∥PN，
因为QG 平面PBC，PN 平面PBC，所以QG∥平面PBC.
10.B 过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B 平面EFG，HE 平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP 平面ADD1A1，GH 平面ADD1A1，GH与PA的延长线必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误.
11.D 设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG.所以四边形DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为.
12.ABC 作出立体图形如图所示.连接E，F，G，H四点构成平面EFGH.对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD.又EF 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.同理，EH∥平面ABCD.又EF∩EH＝E，EF 平面EFGH，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A项正确；对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，则MG∥PA，又MG 平面BDG，PA 平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B项正确；对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故C项正确；对于D，根据C中的分析可知EF∥BC，再结合图形可得BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D项错误.
13. 解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN.因为正方体中A1M∥AE，MN∥EF，所以平面A1MN内两相交直线A1M，MN与平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段A1N上.过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH，则DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DP＝DH＝＝.
14.解：（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC.
因为NQ 平面PCD，CD 平面PCD，所以NQ∥平面PCD.同理MQ∥平面PCD，
又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ 平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD.
（2）线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下：
取PD的中点E，连接NE，CE，AE，因为N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC∥AD，BC＝AD，所以NE∥MC，NE＝MC，
所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN∥CE.
因为MN 平面ACE，CE 平面ACE，所以MN∥平面ACE，此时＝.
15.解：（1）证明：由题意得O1C＝O2G，O1C∥O2G，所以四边形O1O2GC为平行四边形，
所以O1O2∥CG，
而O1O2 平面O1O2FE，CG 平面O1O2FE，
所以CG∥平面O1O2FE.
因为G，H分别为O2B，BF的中点，
所以HG为△BO2F的中位线，所以HG∥O2F.
而O2F 平面O1O2FE，HG 平面O1O2FE，
所以HG∥平面O1O2FE，
又CG，HG 平面CGH，且CG∩HG＝G，
所以平面CGH∥平面O1O2FE.
（2）设圆台的高为h（h＞0），连接O2H和CO2，
因为点O2和H分别为AB和FB的中点，
所以O2H为△ABF的中位线，所以O2H∥AF，
则∠CHO2或其补角为异面直线AF与CH所成的角，
因为GH＝O2F＝2，则O2G＝GH，
由（1）知O1O2∥CG，则CG⊥平面ABF，因为O2G，HG 平面ABF，所以CG⊥O2G，CG⊥HG，
由勾股定理可得CH＝CO2＝＝.
由∠DO1E＝60°，EF为圆台的母线得∠AO2F＝60°，又O2A＝O2F，则△AO2F为等边三角形，
则AF＝4，故O2H＝AF＝2，
在△CO2H中，由余弦定理的推论得cos ∠CHO2＝＝＝，
解得h＝6（舍负）.
故圆台O1O2的高为6.
3 / 3第四节 直线、平面平行的判定与性质
课标要求
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明.
2.能用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果平面 一条直线与此平面 的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行 线面平行”） a∥α
性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行 线线平行”） a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面内的两条 与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”） β∥α
性 质 定 理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么 平行 a∥b
1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
3.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
4.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（ ）
（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（ ）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（ ）
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ ）
2.（人A必修二P143习题1题改编）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（ ）
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交
3.平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行
B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C.直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D.α内的任何一条直线都与β平行
4.（苏教必修二P179练习5题改编）〔多选〕如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是（ ）
A.平面A'B'C'D' B.平面DCC'D' C.平面BCC'B' D.平面A'D'DA
5.（人A必修二P138例3改编）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
直线与平面平行的判定与性质
（定向精析突破）
考向1 直线与平面平行的判定与证明
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD.
解题技法
线面平行的证明方法
考向2 直线与平面平行的性质
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E为PB的中点，F是PC上的点，且EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点.
解题技法
线面平行性质的应用
证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行.
提醒 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.
平面与平面平行的判定及性质
（师生共研过关）
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.
解题技法
1.证明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的判定定理；
（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β α∥β）；
（3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（α∥β，β∥γ α∥γ）.
2.面面平行条件的应用
（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.
如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
平行关系的综合应用
（师生共研过关）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（2）若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
解题技法
三种平行关系的转化
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH的周长l的取值范围.
第四节 直线、平面平行的判定与性质
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.外 内 a α b α a∥b 相交 a∥α a β α∩β＝b
2.相交直线 a β b β a∩b＝P a∥α b∥α 相交 两条交线 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.D 3.D 4.AB 5.平行四边形
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 证明：法一 如图1，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴AB EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
法二 如图2，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
法三 如图3，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD.
【例2】 证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，
所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，
又因为BC 平面PBC，所以BC∥PM.
因为EF∥平面PAD，EF 平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.
因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.
跟踪训练
解：（1）证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF是矩形，所以EM∥OA且EM＝OA，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE，
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
（2）l∥m，证明如下：
由（1）知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考点2
【例3】 证明：（1）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，AD∥BC，AD＝BC，
所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又因为A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
同理，A1D∥平面CD1B1.
又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.
跟踪训练
证明：（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，
又DE 平面MNG，NG 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
考点3
【例4】 解：（1）证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以＝＝，又因为＝＝，
所以＝＝，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
（2）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，如图.证明如下：
因为＝，即＝，
故＝，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.
跟踪训练
解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，
又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）设EF＝x（0＜x＜4），由（1）知EF∥AB，
∴＝＝.
同理可得CD∥FG，∴＝，
则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2（x＋6－x）＝12－x.
又∵0＜x＜4，∴8＜l＜12，
故四边形EFGH的周长l的取值范围是（8，12）.
4 / 4(共69张PPT)
第四节 直线、平面平行的判定与性质
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出
有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明.
2. 能用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形平行关系的简单
命题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面 一条直线与此
平面 的一条直线平行，
那么该直线与此平面平行（简
记为“线线平行 线面平行”）
外
内
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果
过该直线的平面与此平面
，那么该直线与交线平行
（简记为“线面平行 线线平
行”）
相
交
2. 面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条
与另一个平面平行，那
么这两个平面平行（简记为
“线面平行 面面平行”）
相交
直线
β∥α
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平
面与这两个平面 ，那
么 平行
相交
两条交线
1. 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
2. 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
3. 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
4. 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行. （ × ）
（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数
条. （ × ）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平
行. （ × ）
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异
面. （ √ ）
×
×
×
√
2. （人A必修二P143习题1题改编）如果直线a∥平面α，那么直线a与平
面α内的（ ）
A. 一条直线不相交 B. 两条直线不相交
C. 无数条直线不相交 D. 任意一条直线都不相交
解析： 因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与
平面α内的任意一条直线都不相交.
√
3. 平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A. α内有无穷多条直线与β平行
B. 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C. 直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D. α内的任何一条直线都与β平行
√
解析： 对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有
两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错
误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直
线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面
β不平行，故B错误；对于C，直线a α，直线b β，且a∥β，
b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于
D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面
β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确.
4. （苏教必修二P179练习5题改编）〔多选〕如图，在长方体ABCD-
A'B'C'D'的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是（ ）
A. 平面A'B'C'D'
B. 平面DCC'D'
C. 平面BCC'B'
D. 平面A'D'DA
解析：AB 由于AB∥A'B'，AB 平面A'B'C'D'，A'B' 平面A'B'C'D'，所
以AB∥平面A'B'C'D'，故A符合.同理证得AB∥平面DCC'D'，故B符合.而
AB∩平面BCC'B'＝B，AB∩平面A'D'DA＝A，故C、D不符合.
√
√
5. （人A必修二P138例3改编）如图是长方体被一平面所截得的几何体，
四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝
HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
平行四边形
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
直线与平面平行的判定与性质（定向精析突破）
考向1 直线与平面平行的判定与证明
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝
AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD.
证明：法一 如图1，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝ CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴AB EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
法二 如图2，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴ ＝ ＝ ，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
法三 如图3，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD.
解题技法
线面平行的证明方法
考向2 直线与平面平行的性质
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E为PB的中点，F是PC
上的点，且EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点.
证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面
PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，
所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，
又因为BC 平面PBC，所以BC∥PM.
因为EF∥平面PAD，EF 平面PBC，所以
EF∥PM，从而得EF∥BC.
因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.
解题技法
线面平行性质的应用
证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已
知平面的交线平行.
提醒 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条
件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.
（1）求证：AM∥平面BDE；
解： 证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF是矩
形，所以EM∥OA且EM＝OA，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE，
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
（2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l
与m的位置关系，并证明你的结论.
解： l∥m，证明如下：
由（1）知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，同理，AM 平面ABM，平面ABM∩平面
BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
平面与平面平行的判定及性质（师生共研过关）
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
证明： 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，
AD∥BC，AD＝BC，
所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又因为A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
同理，A1D∥平面CD1B1.
又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D 平面A1BD，所以平面A1BD∥平
面CD1B1.
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.
证明： 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝
B1D1，所以B1D1∥l.
解题技法
1. 证明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的判定定理；
（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β α∥β）；
（3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这
两个平面平行（α∥β，β∥γ α∥γ）.
2. 面面平行条件的应用
（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的
两条直线是相交直线.
如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
（1）BE∥平面DMF；
证明： 如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交
点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的
中点.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
（2）平面BDE∥平面MNG.
证明： 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边
AD，EF的中点，所以DE∥NG，
又DE 平面MNG，NG 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
平行关系的综合应用（师生共研过关）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1
上的点，且 ＝ ＝ .
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；
解： 证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于
M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以 ＝ ＝ ，又因为 ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ，所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
（2）若R是AB上的点， 的值为多少时，能使平面PQR∥平面
A1D1DA？请给出证明.
解： 当 的值为 时，能使平面PQR∥平面
A1D1DA，如图.证明如下：因为 ＝ ，即 ＝ ，
故 ＝ ，所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面
PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.
解题技法
三种平行关系的转化
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
解： 证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH的周长l的取值范围.
解： 设EF＝x（0＜x＜4），由（1）知
EF∥AB，
∴ ＝ ＝ .同理可得CD∥FG，∴ ＝ ，
则 ＝ ＝ ＝1－ ，∴FG＝6－ x.
∴四边形EFGH的周长l＝2（x＋6－ x）＝12－x.又
∵0＜x＜4，∴8＜l＜12，
故四边形EFGH的周长l的取值范围是（8，12）.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是
（ ）
A. l∥α，l∥β
B. α内不共线的三点到β的距离相等
C. l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥β
D. l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
解析： 对于A，α和β可平行也可相交；对于B，必须是α内不共线的
三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故
B错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相
交，故C错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交
线分别为l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，
则l1∥β，同理m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D.
2. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是
“α∥β”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 若m α，m∥β，而α，β可能相交或平行，充分性不成
立；若α∥β，m α，则m∥β，必要性成立，故“m∥β”是
“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
√
3. 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行
的棱有（ ）
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 1条或2条
解析： 如图，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为
平行四边形，则EF∥GH. 因为EF 平面BCD，GH 平
面BCD，所以EF∥平面BCD. 又因为EF 平面ACD，平
面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD. 又EF 平面
EFGH，CD 平面EFGH，所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α（平面EFGH）平行的棱有2条.
√
4. 如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）
A. 2∶3 B. 2∶5
C. 4∶9 D. 4∶25
√
解析： ∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，
∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝
2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.
5. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为
PC上一点，当PA∥平面EBF时， ＝（ ）
√
解析： 连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA 平
面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以 ＝ .又
AD∥BC，E为AD的中点，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ .
6. 〔多选〕如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一
些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不
同，有下面几个结论，其中正确的是（ ）
A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值
√
√
解析： 根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题图易知A正确；由
题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改
变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC 平面ABCD，A1C1 平面
ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，
A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图3所示时，因为
水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝
S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确.
7. 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱
CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及
其内部运动，则M只需满足条件
时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的
一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
点M与点H重合（点M只要在线段
FH上即可）
解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
1
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD. 又
E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，
∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH. 因为平面
AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝
PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA
＝AB＝PB＝2，所以PE＝ ，GH＝ PE＝ .
9. 如图，三棱锥P-ABC中，Q为PA的中点，O为AB中点，G为△AOC
的重心，求证：QG∥平面PBC.
证明：法一 如图1，连接OG并延长交AC于M，连
接QM，QO.
由G为△AOC的重心，知M为AC中点，
由Q为PA中点，得QM∥PC.
又O为AB中点，得OM∥BC.
又因为QM，MO 平面OQM，PC，BC 平面PBC，
QM∩MO＝M，PC∩BC＝C，
所以平面OQM∥平面PBC，
因为QG 平面OQM. 所以QG∥平面PBC.
连接OG并延长交AC于点M，易知M为AC中点，连接AG并延长交BC于点N，
又O为AB中点，得OM∥BC，
根据平行线分线段对应成比例可知AG＝GN，
从而在△APN中，QG为中位线，QG∥PN，
因为QG 平面PBC，PN 平面PBC，所以QG∥平面PBC.
法二 如图2，
10. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别
为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是
（ ）
A. 直线BQ∥平面EFG
B. 直线A1B∥平面EFG
C. 平面APC∥平面EFG
D. 平面A1BQ∥平面EFG
√
解析： 过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别
为AA1，BC的中点），连接A1B，BQ，AP，PC，易知
BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，
A1B 平面EFG，HE 平面EFG，∴A1B∥平面EFG，
故B正确；AP 平面ADD1A1，GH 平面ADD1A1，GH
与PA的延长线必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误.
11. 如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，
点N在线段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面
边长的比值为（ ）
√
解析： 设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则
NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG
和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G
为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG. 所以四边形
DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为 .
12. 〔多选〕如图所示是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正
方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点.在此几何体中，
给出下列结论，正确的是（ ）
A. 平面EFGH∥平面ABCD
B. 直线PA∥平面BDG
C. 直线EF∥平面PBC
D. 直线EF∥平面BDG
√
√
√
解析： 作出立体图形如图所示.连接E，F，G，
H四点构成平面EFGH. 对于A，因为E，F分别是PA，
PD的中点，所以EF∥AD. 又EF 平面ABCD，AD
平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 同理，EH∥平面
ABCD. 又EF∩EH＝E，EF 平面EFGH，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A项正确；对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，则MG∥PA，又MG 平面BDG，PA 平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B项正确；对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故C项正确；对于D，根据C中的分析可知EF∥BC，再结合图形可得BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D项错误.
13. （创新考法）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是 .
解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接
A1M，A1N，MN. 因为正方体中A1M∥AE，
MN∥EF，所以平面A1MN内两相交直线A1M，MN与
平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在
线段A1N上.过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH，
则DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DP＝DH＝ ＝ .
14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.
（1）求证：平面MNQ∥平面PCD；
解： 证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中
点，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC.
因为NQ 平面PCD，CD 平面PCD，所以NQ∥平面PCD.
同理MQ∥平面PCD，
又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PCD.
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
解： 线段PD上存在一点E，使得MN∥平面
ACE，且 ＝ .证明如下：
取PD的中点E，连接NE，CE，AE，因为N，E，M
分别是AP，PD，BC的中点，BC∥AD，BC＝AD，
所以NE∥MC，NE＝MC，
所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN∥CE.
因为MN 平面ACE，CE 平面ACE，所以MN∥平面
ACE，此时 ＝ .
15. （创新考查角度）（2024·河南二十名校联考）如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E＝60°，若CD＝4，AB＝8，G，H分别为O2B，BF的中
点，且异面直线AF与CH所成角的余弦值为 .
（1）证明：平面CGH∥平面O1O2FE；
解： 证明：由题意得O1C＝O2G，O1C∥O2G，所以四边形O1O2GC为平行四边形，所以O1O2∥CG，
而O1O2 平面O1O2FE，CG 平面O1O2FE，
所以CG∥平面O1O2FE.
因为G，H分别为O2B，BF的中点，
所以HG为△BO2F的中位线，所以HG∥O2F.
而O2F 平面O1O2FE，HG 平面O1O2FE，
所以HG∥平面O1O2FE，
又CG，HG 平面CGH，且CG∩HG＝G，
所以平面CGH∥平面O1O2FE.
（2）求圆台O1O2的高.
解： 设圆台的高为h（h＞0），连接O2H和CO2，
因为点O2和H分别为AB和FB的中点，
所以O2H为△ABF的中位线，所以O2H∥AF，
则∠CHO2或其补角为异面直线AF与CH所成的角，
因为GH＝ O2F＝2，
则O2G＝GH，
由（1）知O1O2∥CG，则CG⊥平面ABF，
因为O2G，HG 平面ABF，
所以CG⊥O2G，CG⊥HG，
由勾股定理可得CH＝CO2＝ ＝ .
由∠DO1E＝60°，EF为圆台的母线得∠AO2F＝60°，
又O2A＝O2F，则△AO2F为等边三角形，
则AF＝4，故O2H＝ AF＝2，
在△CO2H中，由余弦定理的推论得 cos ∠CHO2＝
＝ ＝ ，
解得h＝6（舍负）.
故圆台O1O2的高为6.
THANKS
演示完毕 感谢观看
