第五节 直线、平面垂直的判定与性质
1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
3.（2025·蚌埠模拟）设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
B.若a⊥α，b β，a⊥b，则α⊥β
C.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β
D.若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥β
4.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
5.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
6.〔多选〕如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（ ）
7.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为 .
8.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题为 .
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A. B. C. D.1
11.〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.平面D1A1P⊥平面A1AP
B.∠APD1的取值范围是（0，）
C.三棱锥B1-D1PC的体积为定值
D.DC1⊥D1P
12.已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为 .
13.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝ .
14.如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由.
15.（创新考法）已知平面α上放置有棱长为2的正四面体ABCD，若该四面体绕棱BC旋转，使点D到平面α的距离为1，如图.则点A到平面α的距离为 .
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
1.C 如图所示，可排除A、B、D；因为平面α，β交于直线l，所以l β，又n⊥β，所以n⊥l.
2.A 连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
3.A 对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确；对于B，若a⊥α，b β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误.
4.C 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝＝＝，AD＝＝＝，而SA＝，∴△SDA是正三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°.
5.B 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线且EG，EF 平面EFHG，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.
6.BD 对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
7.直角三角形 解析：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC 平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB 平面PAB，所以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形.
8.若m∥α，l⊥α，则l⊥m（或若l⊥m，l⊥α，则m∥α）
解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③ ①或①③ ②.
9.证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
（2）因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD.
所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
10.D 由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F（如图），连接FC1，A1B，此时AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因为B1F＝λBF，所以λ＝1.
11.ACD 对于A，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1 平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于B，当P与A1重合时，∠APD1＝，故B错误；对于C，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1-D1PC的体积为定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC 平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P 平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确.
12. 解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为点P到平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.所以PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝ ＝.
13.2 解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ 平面PAQ，∴DQ⊥平面PAQ，又AQ 平面PAQ，∴DQ⊥AQ.∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2.
14.解：（1）证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，
所以四边形FMNG为平行四边形，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE，
又因为AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACE.
所以FG⊥平面ACE.
又FG 平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
（2）存在，设平面ACE交FG于点Q，
则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，
由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，
又平面ACE∩平面EFG＝EQ，
平面ACE∩平面ABCD＝AC，
所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝，
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
又CQ 平面CFG，EH 平面CFG，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝.
15. 解析：分别过点A，D作平面α的垂线，垂足为F，E，连接EF，则EF过BC的中点S，如图.在直角梯形AFED中，AD＝2，AS＝DS＝，DE＝1.所以SE＝，tan∠DSE＝，而cos ∠ASD＝＝，所以tan ∠ASD＝2.因此tan（∠ASD＋∠ESD）＝＝－，所以tan ∠ASF＝，故sin ∠ASF＝＝，所以AF＝ASsin ∠ASF＝.
3 / 3第五节 直线、平面垂直的判定与性质
课标要求
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.
2.能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.
（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 a∥b
（3）直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 ；
②范围：[0°，90°].
2.平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角；
③范围：[0°，180°].
（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
3.空间距离
（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；
（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.
4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
5.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l α，l⊥CO，则l⊥PC.
6.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l α，l⊥PC，则l⊥CO.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（ ）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（ ）
（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（ ）
（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（ ）
2.（人A必修二P162习题1（2）题改编）已知直线m，n和平面α，如果n α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.（人A必修二P158例8改编）如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（ ）
A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD
4.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
D.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
5.（人A必修二P152例4改编）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 .
线面垂直的判定与性质
（师生共研过关）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE.
解题技法
1.证明直线和平面垂直的常用方法
（1）判定定理；
（2）直线垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α b⊥α）；
（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β a⊥β）；
（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l β l⊥α）.
2.判定定理证明线面垂直的步骤
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
平面与平面垂直的判定与性质
（师生共研过关）
在如图所示的多面体中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2，DF＝1.证明：平面ACF⊥平面BCE.
解题技法
证明面面垂直的2种方法
（1）定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题；
（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把证明面面垂直问题转化成证明线面垂直问题.
如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积.
平行与垂直的综合问题
（师生共研过关）
如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，E，F分别为AD，SB的中点.
（1）求证：AF∥平面SEC；
（2）求证：平面ASB⊥平面SBC.
解题技法
立体几何中平行、垂直关系的两种转化
如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）任意一条 （2）相交 m，n α m∩n＝P l⊥m l⊥n 平行 a⊥α b⊥α （3）①射影 90° 0°
2.（1）①两个半平面 ②垂直于棱 （2）直二面角 （3）垂线 交线
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）×
2.B 3.B 4.CD 5.60°
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，AC，PA 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
跟踪训练
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
考点2
【例2】 证明：在△CEF中，FC＝＝，CE＝＝，EF＝2，
∴EF2＝FC2＋CE2，∴CF⊥CE.
∵平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，AF⊥EF，AF 平面ABEF，
∴AF⊥平面CDFE，而CE 平面CDFE，
∴AF⊥CE，
又AF∩CF＝F，AF，CF 平面ACF，∴CE⊥平面ACF，
而CE 平面BCE，故平面ACF⊥平面BCE.
跟踪训练
解：（1）证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，
所以BA＝BC，
又E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，
因为BE∩DE＝E，且BE，DE 平面BED，所以AC⊥平面BED，
又AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
（2）由（1）可知BA＝BC，因为∠ACB＝60°，AB＝2，所以AC＝2，则BE＝，DE＝1，
又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB.
连接EF（图略），易知当△AFC的面积最小时，EF取最小值，
在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当△AFC的面积最小时，EF＝＝.
由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝，FB＝.
法一 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE 平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
则F到平面ABC的距离d＝×DE＝.
故VF-ABC＝S△ABC×d＝××4×＝.
法二 由（1）知BD⊥AC，又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF 平面ACF，所以BD⊥平面ACF，
所以BF即为B到平面ACF的距离，
故VF-ABC＝VB-AFC＝S△AFC×BF＝××AC×EF×BF＝.
考点3
【例3】 证明：（1）取SC的中点G，连接FG，EG（图略），
∵F，G分别是SB，SC的中点，
∴FG∥BC，FG＝BC.
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE＝BC.
∴FG∥AE，FG＝AE，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，
又AF 平面SEC，EG 平面SEC，
∴AF∥平面SEC.
（2）∵△SAD是正三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，
又SE∩CE＝E，SE，CE 平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG 平面SEC，
∴AD⊥EG，
又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG.
∵SA＝AB，F是SB的中点，
∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，FG，SB 平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，
又AF 平面ASB，
∴平面ASB⊥平面SBC.
跟踪训练
证明：（1）∵平面ABEF⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥EF.
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，∴∠AEB＝45°，
又∵∠AEF＝45°，∴∠FEB＝90°，即EF⊥BE.
∵BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，∴EF⊥平面BCE.
（2）取BE的中点N，连接CN，MN，如图所示，
则MN AB PC，
∴四边形PMNC为平行四边形，
∴PM∥CN.
∵CN 平面BCE，PM 平面BCE，
∴PM∥平面BCE.
5 / 5(共68张PPT)
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出
有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.
2. 能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的
简单命题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说
直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫
做直线l的垂面.
任意一条
（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定
理 如果一条直线与一个
平面内的两条
直线垂直，那么
该直线与此平面垂直 l⊥α
相
交
文字语言 图形语言 符号语言
性质定
理 垂直于同一个平面的
两条直线 a∥b
平行
（3）直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直
线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角
是 ，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角
是 ；
射影
90°
0°
②范围：[0°，90°].
2. 平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半
平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面
角的平面角；
③范围：[0°，180°].
两个半平面
垂直于棱
（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角
是 ，就说这两个平面互相垂直.
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面
的 ，那么这两个平
面垂直
α⊥β
直二面角
垂线
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平
面内有一直线垂直于这两个
平面的 ，那么这条
直线与另一个平面垂直
l⊥α
交线
3. 空间距离
（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足
间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该
平面的距离；
（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意
一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的
任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面
间的距离.
1. 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2. 垂直于同一条直线的两个平面平行.
3. 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也
垂直.
4. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个
平面.
5. 三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为
CO，l α，l⊥CO，则l⊥PC.
6. 三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，
l α，l⊥PC，则l⊥CO.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （ × ）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行. （ × ）
（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平
面. （ × ）
（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.
（ × ）
×
×
×
×
2. （人A必修二P162习题1（2）题改编）已知直线m，n和平面α，如果
n α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： n α，m⊥n / m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n α，
则m⊥n，必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.
√
3. （人A必修二P158例8改编）如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是
上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的
底面，则必有（ ）
A. 平面ABC⊥平面BCD
B. 平面BCD⊥平面ACD
C. 平面ABD⊥平面ACD
D. 平面BCD⊥平面ABD
√
解析： 因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直
于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD 平面
ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面
ACD，故选B.
4. 〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
C. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
D. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平
面β
√
√
解析： 对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异
面，故A错误；对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为
直线a，显然a α，但直线a与平面β不垂直，故B错误；对于C，若平
面α⊥平面β，它们的交线记为直线l，显然直线l 平面β，在平面α内
一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确；对于D，若平面α内存
在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果
平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故
D正确.
5. （人A必修二P152例4改编）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧
棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角
的大小是 .
解析：如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE. ∵BB1⊥
底面ABC，BB1 平面BB1C1C，∴侧面BB1C1C⊥底面
ABC. 又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，
∴AE⊥BC，由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面
BB1C1C，∴∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成的角.设AB
＝a，则AE＝ a，DE＝ ，则tan ∠ADE＝ ，
∴∠ADE＝60°.
60°
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
线面垂直的判定与性质（师生共研过关）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
（1）CD⊥AE；
证明： 在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，AC，PA 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
（2）PD⊥平面ABE.
证明： 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
解题技法
1. 证明直线和平面垂直的常用方法
（1）判定定理；
（2）直线垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α b⊥α）；
（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β a⊥β）；
（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l β l⊥α）.
2. 判定定理证明线面垂直的步骤
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD
＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，
MN⊥PC. 证明：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，所以MN⊥平
面PCD，所以AE∥MN.
平面与平面垂直的判定与性质（师生共研过关）
在如图所示的多面体中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面
CDFE，CD∥EF，∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2，DF＝1.证
明：平面ACF⊥平面BCE.
证明：在△CEF中，FC＝ ＝ ，CE＝ ＝ ，EF＝
2，
∴EF2＝FC2＋CE2，∴CF⊥CE.
∵平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，AF⊥EF，
AF 平面ABEF，
∴AF⊥平面CDFE，而CE 平面CDFE，
∴AF⊥CE，
又AF∩CF＝F，AF，CF 平面ACF，∴CE⊥平面ACF，
而CE 平面BCE，故平面ACF⊥平面BCE.
解题技法
证明面面垂直的2种方法
（1）定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二
面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题；
（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一
个平面的一条垂线，把证明面面垂直问题转化成证明线面垂直问题.
如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为
AC的中点.
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
解： 证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，
DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，
又E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，
因为BE∩DE＝E，且BE，DE 平面BED，所以AC⊥平面BED，
又AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最
小时，求三棱锥F-ABC的体积.
解： 由（1）可知BA＝BC，因为∠ACB＝
60°，AB＝2，所以AC＝2，则BE＝ ，DE＝1，
又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB.
连接EF（图略），易知当△AFC的面积最小时，EF
取最小值，
在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当
△AFC的面积最小时，EF＝ ＝ .
由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝ ，FB＝ .
法一 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
则F到平面ABC的距离d＝ ×DE＝ .
故VF-ABC＝ S△ABC×d＝ × ×4× ＝ .
法二 由（1）知BD⊥AC，又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF 平面
ACF，
所以BD⊥平面ACF，
所以BF即为B到平面ACF的距离，
故VF-ABC＝VB-AFC＝ S△AFC×BF＝ × ×AC×EF×BF＝ .
平行与垂直的综合问题（师生共研过关）
如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，
∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，E，F分别为AD，SB的中点.
（1）求证：AF∥平面SEC；
证明： 取SC的中点G，连接FG，EG（图略），
∵F，G分别是SB，SC的中点，
∴FG∥BC，FG＝ BC.
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE＝ BC.
∴FG∥AE，FG＝AE，
∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，
又AF 平面SEC，EG 平面SEC，
∴AF∥平面SEC.
（2）求证：平面ASB⊥平面SBC.
证明： ∵△SAD是正三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，
又SE∩CE＝E，SE，CE 平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG 平面SEC，∴AD⊥EG，
又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG.
∵SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，FG，SB 平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，
又AF 平面ASB，∴平面ASB⊥平面SBC.
解题技法
立体几何中平行、垂直关系的两种转化
如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，
△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
（1）求证：EF⊥平面BCE；
证明： ∵平面ABEF⊥平面ABCD，BC 平面
ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥EF.
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，∴∠AEB＝45°，
又∵∠AEF＝45°，∴∠FEB＝90°，即EF⊥BE.
∵BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，∴EF⊥平面BCE.
（2）设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.
证明：
取BE的中点N，连接CN，MN，如图所示，
则MN AB PC，
∴四边形PMNC为平行四边形，
∴PM∥CN.
∵CN 平面BCE，PM 平面BCE，
∴PM∥平面BCE.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，
n⊥β，则（ ）
A. m∥l B. m∥n
C. n⊥l D. m⊥n
解析： 如图所示，可排除A、B、D；因为平面α，β交于直线l，所以l β，又n⊥β，所以n⊥l.
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√
2. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1
在底面ABC上的射影H必在（ ）
A. 直线AB上
B. 直线BC上
C. 直线AC上
D. △ABC内部
解析： 连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC 平面ABC，∴平面
ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
√
3. （2025·蚌埠模拟）设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直
线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
B. 若a⊥α，b β，a⊥b，则α⊥β
C. 若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β
D. 若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥β
解析： 对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确；对于
B，若a⊥α，b β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误；对于
C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误；对于D，若a⊥α，
a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误.
√
4. 如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝ ，则二面角S-BC-A的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
√
解析： 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，
∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝
AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC. ∴∠ADS为侧面SBC与
底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝
＝ ＝ ，AD＝ ＝ ＝ ，而SA＝ ，∴△SDA是正三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°.
5. 如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分
别为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A. EF⊥平面α B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE D. PQ⊥FH
解析： 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面
β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG与EF为相交直线且EG，
EF 平面EFHG，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.
√
6. 〔多选〕如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是
（ ）
√
√
解析： 对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂
直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，所以AB⊥平面
CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；
对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为
ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
7. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则
△ABC的形状为 .
解析：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，
PB⊥BC，BC 平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB 平面PAB，所
以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形.
直角三角形
8. 已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；
②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结
论，写出一个正确的命题为
.
解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不
能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与
③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确
的命题是②③ ①或①③ ②.
若m∥α，l⊥α，则l⊥m（或若l⊥m，
l⊥α，则m∥α）
9. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
证明： 因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
证明： 因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD.
所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1
的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的
值为（ ）
A. B.
C. D. 1
√
解析： 由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，
A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平
面AA1B1B，又AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作
DF⊥AB1交BB1于点F（如图），连接FC1，A1B，此时
AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因为B1F＝λBF，所以λ＝1.
11. 〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段
A1B上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面D1A1P⊥平面A1AP
B. ∠APD1的取值范围是（0， ）
C. 三棱锥B1-D1PC的体积为定值
D. DC1⊥D1P
√
√
√
解析： 对于A，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1 平面D1A1P，所以
平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于B，当P与A1重合时，∠APD1
＝ ，故B错误；对于C，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面
B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1-D1PC的体
积为定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC
＝C，D1C，BC 平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P 平
面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确.
12. 已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两
边AC，BC的距离均为 ，那么点P到平面ABC的距离为 .
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为点P到
平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC. 所以PE＝PF＝
，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即
∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝ ，所以CE
＝1，所以OE＝1，所以PO＝ ＝
＝ .
13. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC
上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝ .
2
解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，
PA∩PQ＝P，PA，PQ 平面PAQ，∴DQ⊥平面
PAQ，又AQ 平面PAQ，∴DQ⊥AQ.
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，
∴BC＝AD＝2，即a＝2.
14. 如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
解： 证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则
MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，
所以四边形FMNG为平行四边形，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以
AE⊥BD.
所以FG⊥AE，
又因为AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACE.
所以FG⊥平面ACE.
又FG 平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH
的长；若不存在，请说明理由.
解： 存在，设平面ACE交FG于点Q，
则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，
由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，
又平面ACE∩平面EFG＝EQ，
平面ACE∩平面ABCD＝AC，
所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝ ，
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
又CQ 平面CFG，EH 平面CFG，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，
且CH＝ .
15. （创新考法）已知平面α上放置有棱长为2的正四面体ABCD，若该四
面体绕棱BC旋转，使点D到平面α的距离为1，如图.则点A到平面α的距
离为 .
解析：分别过点A，D作平面α的垂线，垂足为F，E，
连接EF，则EF过BC的中点S，如图.在直角梯形AFED
中，AD＝2，AS＝DS＝ ，DE＝1.所以SE＝ ，
tan ∠DSE＝ ，而 cos ∠ASD＝ ＝ ，所以tan
∠ASD＝2 .因此tan（∠ASD＋∠ESD）＝ ＝－ ，所以tan ∠ASF＝ ，故 sin ∠ASF＝ ＝ ，所以AF＝AS sin ∠ASF＝ .
THANKS
演示完毕 感谢观看
