2024-2025学年人教A版数学必修第二册6.2.3 向量的数乘运算 同步课堂练习（含答案）

6.2.3向量的数乘运算
一、选择题
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2 B．
C．－ D．2
2．已知λ、 μ∈R，下面式子正确的是( )
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
4．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且d与c反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且d与c反向
5．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
6．已知向量e1，e2不共线， ＝3e1＋2e2, ＝4e1－e2，＝5e1－4e2，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线
7．(多选题)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
8．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
二、填空题
9．已知＝－则使得＝λ的实数λ＝___.
10．点C在线段AB上，且＝，则＝ 　，＝ 　.
11．已知向量a与b不共线，若向量ka＋2b与向量2a－b共线，则实数k＝___.
12．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为　.
13．e1，e2是平面内两个不共线的向量，且a＝e1＋ke2，b＝4ke1＋e2，若a∥b，则实数k＝ 　.
三、解答题
14．计算：(1)－2；
(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
15．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．
16．已知向量m，n不共线，且＝3m－2n，＝m－3n，＝2m＋λn.
(1)用m，n表示；
(2)若∥，求λ的值．
6.2.3向量的数乘运算
一、选择题
1． ( D )
　＝－＝3－＝2.
2． ( C )
A项，当λ>0时正确，否则错误；B项，0·a是向量而非数0；D项，若b＝λa，则|b|＝|λa|.当λ>0时，|b|＝λ|a|，当λ<0则不成立．
3． ( A )
　＝a＋2b，＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以与不共线，所以AB与CD不平行．又＝＋＋＝－8a－2b，显然＝2，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形．故选A．
4． ( D )
5． ( D )
　由图形可知a＝e1＋3e2，λ＝1, μ＝3，λ＋μ＝4.故选D．
6． ( C )
　设＝a，则无解，故A，B，C三点不共线，A错误；
设＝b，则无解，故A，C，D三点不共线，B错误；
＝－＝4e1－e2－(3e1＋2e2)＝e1－3e2，
＝－＝5e1－4e2－4e1＋e2＝e1－3e2，
故＝，故B，C，D三点共线，C正确；
＝－＝5e1－4e2－3e1－2e2＝2e1－6e2，
设＝c，则无解，故A，B，D三点不共线，D错误．
故选C．
7． ( ABC )
在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝＋AB＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C正确；＝＝－a，故D不正确．故选ABC．
8． ( B )
　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，
所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.
故选B．
二、填空题
9． _－2__.
　＝－，则A在线段BC上，且AC＝2AB，所以＝－2，又＝λ，
所以λ＝－2.故答案为－2.
10．－
　∵＝，∴＝，且与同向，所以＝；又BC＝AB，且与反向，所以＝－.
11．－4__.
　∵向量ka＋2b与向量2a－b共线，
∴ka＋2b＝λ(2a－b)＝2λa－λb(λ∈R)，
∴，解得k＝－4.
故答案为－4.
12．
由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
13．±
　因为a∥b，所以 λ∈R，使得b＝λa成立，即e1＋ke2＝4kλe1＋λe2.
因为e1，e2不共线，所以，解得k＝±.
故答案为±.
三、解答题
14．
　(1)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c.
15．
　∵＝＋＋
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，
∴∥.
又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．
16．
(1)＝－＝m－3n－(3m－2n)＝－2m－n.
(2)因为∥，＝3m－2n，＝2m＋λn，
所以 t∈R，＝t，即3m－2n＝t(2m＋λn)，
又向量m，n不共线，所以
解得t＝，λ＝－，即λ的值为－.