2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第16讲三角形中的二倍角解题策略 教学设计

《二倍角解题策略探究》 教学设计
罗湖外语初中学校 谭雅元
一、教材分析
地位作用
二倍角问题是中考几何压轴题高频考点，涉及角度转化、全等/相似三角形、勾股定理等核心知识，是培养学生逻辑推理能力的重要载体。
内容结构
本课围绕"导角→构造→转化"的核心思想，系统学习三种解题模型：
1.翻折构造等腰三角形 2.向外构造等腰三角形 3.倍小角分大角，向内构造等腰三角形
知识技能梳理
二倍角综合问题，在几何倒角中扮演着重要的角色，同时也是中考热点问题，中考第13题填空压轴问题中，时常出现二倍角问题的相关条件。遇到二倍角，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，合理添加辅助线，构造等腰三角形或者对策图形等，综合运用熟悉的几何定理，将角度关系转化为代数方程，或者关联勾股定理，全等/相似三角形等知识点，解决几何问题。
学情分析
知识储备上，学生已掌握全等三角形判定、勾股定理等基础知识，但对几何动态构造能力较弱。仍然存在以下认知障碍：1.二倍角条件的隐性特征难以发现；2.辅助线添加方向不明确；3.多模型综合应用能力欠缺。
教学目标
知识目标 掌握三种二倍角构造模型，能识别隐性二倍角条件
能力目标 能通过导角、构造等腰三角形将角度问题转化为代数方程
情感目标 体验几何构造的乐趣，培养严谨的逻辑推理能力和创新意识
教学重难点
重点 三种二倍角模型的构造方法及适用条件
难点 动态条件下辅助线的选择与角度关系的转化
教学过程
（模型构造，讲解，例题讲解，启发性提问）
基本思想1 翻折构造等腰三角形
① ③
结论：__________________ _____________________ ____________________
模块一 利用翻折思想解决二倍角问题
例题1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的长．
【巩固练习】
1.如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B＝2∠C，其中AB＝6，AC＝10，则BD=
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求AD的长为____________．
3.如图，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，BC上的点，DC平分∠ADE，AD=1,BD=CD,∠B＝2∠ACD，求CE的长为____________．
（巩固练习都是翻折思想的应用，引导学生仿照例题完成即可，这里的关键在于通过翻折边构造等腰三角形，把二倍角转化为顶角，再利用相似三角形建立比例关系。）
基本思想2 延长构造新等腰
①
结论：_____________________ ______________________
（模型讲解，模仿向外构造）
模块二 向外构造解决二倍角问题
例题2 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2，求BC的长．
思考：在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c满足的关系．
【巩固练习】
如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝3，DE＝2，求AE的长．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC边上一点，BD＝2DC，点E在AD的延长线上，∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值．
3一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ．
（当遇到二倍角且有一边可延长时，优先考虑向外构造等腰三角形，使二倍角变为顶角，再通过相似或全等建立联系。注意巩固练习第三题，是多次被中考模拟考采用，方法不唯一，但是向外构造的做法会更好理解）
基本思想3 倍小角分大角
①
结论：_____________________ ______________________
模块三 倍小角分大角，构造等腰三角形
例题3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B， ＝ ，求cosB的值．
（易错提示 容易漏掉垂直条件的构造，或者混淆角的位置关系，需要反复确认对应角。）
【巩固练习】
1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的长为　 　 ．
2.如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的长为　 　 ．
3．如图，在△ABC中，∠A=3∠B，D为AB中点，∠ADC=45°，求∠A的度数。
二倍角问题的本质是角度关系的转化，无论是翻折、延长还是构造垂线，核心都是通过几何变换将复杂角关系转化为可计算的边长比例。
作业设计
小组为单位，从三种模型中选取两种进行题型改编，并完成解答；完成提升训练
【提升训练】
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=3，∠A= α ，则 tan2α 的值为__ __.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD的长为____________．
3.如图，在△ABC中，点D在边AC上，CD＝BD且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交BD的延长线于点E．若BE＝8，AC＝11，则边AB的长为 　 　 ．
4.如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则 ．
如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC边上一点且满足∠C＝2∠BAD，CD＝3BD，E是AC边上一点且满足∠ADB＝∠ADE，连接BE交AD于点F，则＝　 　 ．
6.已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点F在AC上，作EF⊥AB，直线EF交AB于E，交BC延长线于G，连接ED，∠GFC＝2∠EDA，DH＝CG＝2，则AF的长为　 　 ．
七．板书设计
三角形二倍角解题策略
├── 翻折构造等腰三角形
│ ├─ 延长边→构造对称
│ └─ 相似转化→方程求解
├── 向外构造等腰三角形
│ ├─ 截长补短→创造全等
│ └─ 边角对应→比例计算
└── 倍小角分大角 ├─ 作垂线→关联勾股
└─ 方程联立→多解验证
八．教学反思
设计亮点
分层教学 ：基础题→变式题→压轴题梯度推进，满足不同层次学生需求
技术融合 ：合理运用几何画板、动态演示等现代技术手段
素养渗透 ：贯穿类比迁移、建模思想、逆向思维等核心素养