二倍角解题策略探究
知识技能梳理
二倍角综合问题，在几何倒角中扮演着重要的角色，同时也是中考热点问题，中考第
13 题填空压轴问题中，时常出现二倍角问题的相关条件。遇到二倍角，首先想到“导”，将
图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，合理
添加辅助线，构造等腰三角形或者对策图形等，综合运用熟悉的几何定理，将角度关系转化
为代数方程，或者关联勾股定理，全等/相似三角形等知识点，解决几何问题。
基本思想 1 翻折构造等腰三角形
A
① A ② ③ A
' α
2α α 2α α 2α
B D B ' BC D C B D C E
结论：__________________ _____________________ ____________________
模块一 利用翻折思想解决二倍角问题
例题 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD
＝5，求 AD 的长． A
B D C
【巩固练习】
1.如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B＝2∠C，其中 AB＝6，AC＝10，
则 BD=
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为 BC 边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB
＝4，求 AD 的长为____________．
A
B D C
3.如图，在△Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D，E 分别是边 AB，BC 上的点，DC 平分∠ADE，
AD=1,BD=CD,∠B＝2∠ACD，求 CE 的长为____________．
A
D
B E C
基本思想 2 延长构造新等腰
A
① A ②
2α α
2α α B
C
D B C
D
结论：_____________________ ______________________
模块二 向外构造解决二倍角问题
例题 2 如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2 6，求 BC 的长．
A
B C
思考：在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究 a，b，c 满足的关系．
【巩固练习】
1．如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC 于点 D，AE 为 BC 边上的中线，BD＝3，DE＝2，
A
求 AE 的长．
B D E C
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，点 D为 BC 边上一点，BD＝2DC，点 E 在 AD 的延长线上，
∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求 sin∠BAC 的值． A
B D C
3 一副三角板按如图 1 放置，图 2为简图，D 为 AB 中点，E、F分别是一个三角板与另一个
E
三角板直角边 AC、BC 的交点，已知 AE=2，CE=5，连接 DE，M 为 BC 上一点，且满足∠CME=2
∠ADE，EM= ．
基本思想 3 倍小角分大角
D
① ② A
D
A
α 2α
α
B C
2α α
B C
结论：_____________________ ______________________
模块三 倍小角分大角，构造等腰三角形
AD 1
例题 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为边 AB 上一点，∠ACD＝2∠B， ＝ ，
BD 3
求 cosB 的值．
A
D
B C
【巩固练习】
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，
求 AD 的长为 ． A
B D C
2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求 BC 的长为 ．
A
D
B C
3．如图，在△ABC 中，∠A=3∠B，D 为 AB 中点，∠ADC=45°，求∠A 的度数。
C
A D B
【提升训练】
1.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=3，∠A= α ，则 tan2α 的值为__ __.
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠B＝2
∠DAC，BD＝3，DC＝2，求 AD 的长为____________． A
B D C
3.如图，在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，CD＝BD 且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交 BD 的延长线于
点 E．若 BE＝8，AC＝11，则边 AB 的长为 ．
4..如图，在 ABC 中，点 E 在边 AC 上， EC EB， C 2 ABE， AD BE 交 BE 的延长
线于点 D，若 AC 22， BD 16，则 AB ．
5.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，D 是 BC 边上一点且满足∠C＝2∠BAD，CD＝3BD，E 是 AC
边上一点且满足∠ADB＝∠ADE，连接 BE 交 AD 于点 F，则 ＝ ．
6.已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点 F 在 AC 上，作 EF⊥AB，直线 EF 交 AB 于 E，交 BC
延 长 线 于 G ， 连 接 ED ， ∠ GFC ＝ 2 ∠ EDA ， DH ＝ CG ＝ 2 ， 则 AF 的 长
为 ．三角形中二倍角的解题策略研究
罗湖外语初中学校 谭雅元
知识技能梳理
二倍角综合问题，在几何倒角中扮演着重要的角色，同时也是中考热点问题，中考第
13 题填空压轴问题中，时常出现二倍角问题的相关条件。遇到二倍角，首先想到“导”，
将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，合
理添加辅助线，构造等腰三角形或者对策图形等，综合运用熟悉的几何定理，将角度关系转
化为代数方程，或者关联勾股定理，全等/相似三角形等知识点，解决几何问题。
基本思想 1 翻折构造等腰三角形
A
① A ② ③ A
' α
2α α 2αB 2αD C
B ' C B D C E
结论：__ ' = ' _____ _______ ' = ' _______ ____ ABE~ DAE_______
模块一 利用翻折思想解决二倍角问题
例题 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D为边 BC 上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求 AD的长．
【详解】解：延长 BC 到 E，使 CE＝CD，连接 AE． A
∵∠ACB＝90°，∴AD＝AE，∴∠CAD＝∠CAE，∠ADC＝∠E．∵∠B＝2∠CAD，∴∠B＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴△ABE∽△DAE，BE＝AB，
AE BE 2
∴ ＝ ，∴AE ＝BE·DE＝BE·2CD＝10，∴AD＝AE＝ 10．
DE AE B D C E
【巩固练习】
1.如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B＝2∠C，其中 AB＝6，AC＝10，则 BD= 4
E
【详解】在 AC 上作 AF=AB，易得△ABD~△AFD（SAS），则∠AFD=2α，BD=FD,由外角定理知∠FDC=α，则 FD=FC，
故 FC=AC-AF=10-6=4,BD=FD=FC=4
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为 BC 边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求 AD 的长
为_____2 2 _______．
A
【详解】解：延长 BC 到 E，使 CE＝CD，连接 AE．
∵∠ACB＝90°，∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E，∠DAC＝∠EAC．
∵∠B＝2∠DAC，∴∠B＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴BE＝AB＝4．
设 CE＝CD＝x，则 BD＝2x，BE＝4x， ∴4x 2 2 2＝4，∴x＝1，∴BC＝3，∴AC ＝4 －3 ＝7，
∴AD＝ CD 2
B D C E
＋AC 2 ＝2 2．
3.如图，在△Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D，E 分别是边 AB，BC 上的点，DC 平分∠ADE，AD=1,BD=CD,∠B
＝2∠ACD，求 CE的长为___ 5 + 1_________．
【详解】延长 BA 到 F，使 AF＝AD=1，连接 CF，设 BD=CD=X， A F
∵∠BAC＝90°，∴CD＝CF=x，∴∠F＝∠CDF，∠ACD＝∠ACF． D
∵∠B＝2∠ACD，∴∠B＝∠DCF，∵∠F=∠F
= ∴△FDC~△FCB ∴ ∴ = 2 ∴x = 5 + 1；x = 1 5（舍）
2+ 1 2
易证△FDC △EDC，则 CE=FC= 5 + 1 B E C
基本思想 2 延长构造新等腰 A
① A ② 2α α
B C
2α α
D B C
D
结论：____ ABD ∽ CAD________ __________ ABC ∽ ACD____________
模块二 向外构造解决二倍角问题
例题 2 如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2 6，求 BC 的长． A
【详解】解：延长 CB 到 D，使 DB＝AB＝3，连接 AD．
则∠D＝∠DAB，∴∠ABC＝2∠D．
∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠D＝∠DAB，∴AD＝AC＝2 6，△BDA∽△ADC， D B C
AD CD 2 6 CD
∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CD＝8，∴BC＝5．
BD AD 3 2 6
思考：在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究 a，b，c满足的关系．
【巩固练习】
1．如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC 于点 D，AE 为 BC边上的中线，BD＝3，DE＝2，求 AE 的长．
【详解】解：延长 CB 到 F，使 BF＝AB，连接 AF．
则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F．
∵AE 是中线，∴BE＝EC，∴BD＋DE＝EC． A
∵∠ABC＝2∠C，∴∠F＝∠C，∴AF＝AC．
∵AD⊥BC，∴DF＝DC，∴BF＋BD＝DE＋EC，
F B D E C
∴AB＋BD＝DE＋BD＋DE，∴AB＝2DE＝4，
∴AD 2＝AB 2－BD 2＝7，∴AE DE 2＝ ＋AD 2 ＝ 11．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，点 D 为 BC 边上一点，BD＝2DC，点 E在 AD 的延长线上，∠ABC＝2∠DEC，
AD·DE＝18，求 sin∠BAC 的值．
【详解】解：延长 CB 到 F，使 BE＝AB，连接 AF，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H． A
则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F． H
∵∠ABC＝2∠DEC，∴∠F＝∠DEC．
AD CD
∵∠ADF＝∠CDE，∴ ＝ ，∴CD·DF＝AD·DE＝18．
DF DE F B G D C
9
设 CD＝a，则 BD＝2a，DF＝2a＋5，∴a( 2a＋5 )＝18，解得 a＝－ （舍去）或 a＝2，
2
∴BC＝3a＝6，∴BG＝CG AG 2 2＝3，∴ ＝ 5 －3 ＝4， E
4 24 BH 24
∴BH＝ BC＝ ，∴sin∠BAC＝ ＝ ．
5 5 AB 25
3.一副三角板按如图 1放置，图 2为简图，D为 AB 中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边
29
AC、BC 的交点，已知 AE=2，CE=5，连接 DE，M为 BC 上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= 4 ．
【详解】【分析】由 CE=5， AE=2，得 AC=7，利用勾股定理，得到 AD 的长度，过 E 作 EN⊥AD 于 N，求出 EN 和 DN 的长度，由于
∠CME=2∠ADE，延长 MB 至 P，是 MP=ME，可以证明 DNE PCE，MP=x，在 Rt MCE 中，利用勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，过 E 作 EN⊥AD 于 N，
END ENA 90 ,
NEA A 45 , ∴NE= NA，
AE
AE NE 2 NA2 2NA, NE NA 2,2
同理， AD
AC 7 2 , 5 2
2 DN AD NA ,2 2
延长 MB 至 P，使 MP=ME，连接 PE，
∴可设 MPE MEP x， EMC MPE MEP 2x，
EMC 2 ADE , ADE MPE x,又 DNE PCE 90 , DNE PCE,
CE NE 2 2
, PC 25PE DN 5 2 5 ,
25
设MP ME x,则CM x,
2 2
2
2
在 Rt MCE中，ME 2 CM 2 CE 2 , 25 29 x 25 x2 , x ,
2 4
基本思想 3 倍小角分大角
D
① ② A
D
A
α 2α
α
B C
2α α
B C
结论：_______DB=DC________ _______ ABD~ ACB_____
模块三 倍小角分大角，构造等腰三角形
AD 1
例题 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D为边 AB 上一点，∠ACD＝2∠B， ＝ ，求 cosB 的值．
BD 3
【详解】解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E．
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°－∠BCE＝∠B．
∵∠ACD＝2∠B，∴∠ACD＝2∠ACE， ∴∠ACE＝∠DCE，∴∠A＝∠CDE，
A
∴AC＝DC，∴AE＝DE． D E
设 AE＝DE＝a，则 AD＝2a，BD＝6a，BE＝7a．
AE CE
∵∠ACE＝∠B，∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴△CEA∽△BEC，∴ ＝ ，
CE BE B C
a CE BE 7a 14
∴ ＝ ，∴CE＝ 7a，∴BC BE 2＋CE 2＝ ＝2 14a， ∴cosB＝ ＝ ＝ ．
CE 7a BC 2 14a 4
【巩固练习】
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求 AD 的长
为 5 ．
A
【详解】解：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝90°－∠CAE＝∠C．
∵∠BAD＝2∠C，∴∠BAD＝2∠BAE， ∴∠BAE＝∠DAE，∴∠B＝∠ADE，
B E D C
1
∴AB＝AD，∴BE＝DE＝ BD＝1，∴CE＝4．
2
AE CE AE 4
∵∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠CEA＝90°， ∴△ABE∽△CAE 2 2，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝2，∴AD＝ DE ＋AE ＝ 5．
BE AE 1 AE
2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求 BC的长为 10 ．
【详解】解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点 C 作 CF⊥BE 于点 F．
∵AB＝BD，∴AE＝DE，∠ABE＝2∠DBE， ∴∠ABD＝2∠DBE． A
∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝∠DBE， ∴CD∥BE，∴CD⊥AD， E
2 2
∴四边形 CDEF 是矩形，AD＝ AC －CD ＝ 15， F
15 D
∴EF＝CD＝1，AE＝DE＝ ，
2 B C
2 2 7 5
∴BE＝ BD －DE 2 2＝ ，∴BF＝BE－EF＝ ， ∴BC＝ BF ＋CF ＝ 10．
2 2
3．如图，在△ABC 中，∠A=3∠B，D为 AB中点，∠ADC=45°，求∠A 的度数。
【详解】作∠EAB=∠B=α，交 BC 于 E，过 C 作 CF⊥AE 于 F，
导角数据如图，易知 AC=CE，EA=EB，FD 为ΔABE 中位线，
E
则 FD//BC,∠FDA=α=∠FAD，则 FA=FD;
M
∠FDC=45-α，∠FCD=90-∠CMF=90-α-∠ADC=45-α;
则∠FCD=∠FDC，则 CF=FD;
∴FC=FA,∠CFA=90°，∴4α=90°
∴α=22.5°，则∠A=67.5°
【提升训练】
3
1.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=3，∠A= α ，则 tan2α 的值为__ __.
5
【详解】AB 中垂线交 AC 于 M,设 AM=BM=x，CM=9-x，∠BMC=2α
在 Rt△BCM 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2,即 9+（9 )2 = 2
3
则 x=5，则 tan2α= = M
5
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D为边 BC 上一点，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求 AD 的长_2 7_．
【详解】解：延长 BC 到点 E，使 CE＝CD，连接 AE．
A
∵AC⊥BC，∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E，∠DAC＝∠EAC．
∵∠B＝2∠DAC，∴∠B＝∠DAE，
AE DE
∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴AB＝BE，△ABE∽△DAE， ∴ ＝ ．
BE AE
B D C E
AE 4
∵BD＝3，DC＝2，∴DE＝4，BE＝7， ∴ ＝ ，∴AD＝AE＝2 7．
7 AE
3.如图，在△ABC 中，点 D在边 AC 上，CD＝BD 且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交 BD 的延长线于点 E．若 BE＝8，
AC＝11，则边 AB 的长为 4 ．
【详解】解：如图，延长 BE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 AF，
∵AE⊥BD， ∴△BAF 是等腰三角形，∴AB＝AF，∠F＝∠ABD，BE＝EF＝8，
∵CD＝BD，∴∠CBD＝∠C＝2∠ABD，
过点 A 作 AH∥BC，交 BF 于点 H，∴∠CBD＝∠AHD＝2∠ABD＝2∠F，∴HF＝HA，
∵AH∥BC，∴∠CBD＝∠AHD，∠C＝∠DAH，∴∠AHD＝∠DAH，∴DH＝DA，
∵CD＝BD，∴AC＝BH，∴EH＝BH﹣BE＝AC﹣BE＝11﹣8＝3，∴HF＝HA＝EF﹣EH＝8﹣3＝5，
在 Rt△AEH 中，由勾股定理得：AE＝ ＝ ＝4，
在 Rt△AEB 中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝4 ，故答案为：4 ．
4.如图，在ΔABC中，点 E在边 AC 上，EC=EB，∠C=2∠ABE，AD⊥BE交 BE 的延长线于点 D，若 AC=22，BD=16，
则 AB= 8 5 ．
【详解】解：如图所示，延长 BD 至 F 使 DF=BD，作 AG∥BC 交 DF 于 G，
∵BD=DF，AD⊥BE，∴AF=AB,∠F=∠ABD
∵AG∥BC，∴∠AGD=∠EBC，∠GAE=∠C
∵EB=EC，∴∠EBC=∠C，∴∠C=∠EBC=∠AGD=∠GAE， ∴AE=EG
∵∠C=2∠ABE，∴∠AGD=2∠ABE=2∠F，∴FG=AG，
∵AC=22，BD=16，∴BG=BE+GE=CE+AE=AC=22
∴AG=FG=BF-BD=2BD-BG=2×16-22=10，
，∴DG=DF-FG=16-10=6
AD AG 2 DG 2 102 62 8， AB AD2 BD2 82 162 8 5
5.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，D是 BC 边上一点且满足∠C＝2∠BAD，CD＝3BD，E 是 AC 边上一点且满
足∠ADB＝∠ADE，连接 BE 交 AD于点 F，则 ＝ ．
【详解】解：过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，过点 E作 EG⊥CD 于点 G，延长 EG 交 AD 的延长线于点 Q，如图，
在△ABD 和△AHD 中，
∴△ABD≌△AHD（AAS），∴∠BAD＝∠HAD，
∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝∠BAH．∵∠ABD＝∠AHD＝90°，∴∠BDH+∠BAH＝180°．
∵∠BDH+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∵EG⊥DC，∴DG＝GC＝ CD，
∵CD＝3BD，∴设 BD＝k，则 CD＝3k，∴DG＝GC＝ k，BC＝4k．∵EG⊥BC，AB⊥BC，∴EG∥AB，
∴△EGC∽△ABC，∴ ．∴EG＝ AB．∵EQ∥AB，∴△ADB∽△QGD，∴ ，∴QG＝ AB，
∴EQ＝EG+QG＝ AB．∵AB∥EQ，∴△QEF∽△ABF，∴ ．故答案为： ．
6.已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点 F在 AC上，作 EF⊥AB，直线 EF交 AB于 E，交 BC延长线于 G，
连接 ED，∠GFC＝2∠EDA，DH＝CG＝2，则 AF的长为 ．
【解答】解：连接 CH、AG，如图所示：
∵AD⊥BC，EF⊥AB，∴∠ADG＝∠AEG＝90°，∴A、E、D、G 四点共圆，∴∠EDA＝∠AGE，
∵∠GFC＝2∠EDA，∴∠GFC＝2∠AGE，
又∵∠GFC＝∠AGE+∠CAG，∴∠AGE＝∠CAG，∴AF＝GF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD+∠B＝90°，∠BGE+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BGE，
在△AFH 和△GFC 中，
，∴△AFH≌△GFC（ASA），∴HF＝CF，AH＝CG＝2，∵AF＝GF，∴AF+CF＝GF+HF，∴AC＝GH，
在△ACD 和△GHD 中，
，∴△ACD≌△GHD（AAS），∴CD＝HD＝2，∴AH＝CG＝DH＝CD＝2，
∴点 H 为 AD 的中点，点 C 为 DG 的中点，∴CH 是△ADG 的中位线，∴CH＝ AG，CH∥AG，∴△HFC∽△GFA，
∴ ＝ ＝ ，∴AF＝ AC，
在 Rt△ACD 中，AD＝AH+DH＝4，CD＝2，∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴AF＝ AC＝ ，故答案为： ．
