2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第20讲求解圆上动点相关最值问题 教学设计

求解圆上动点相关最值问题
北师大版九下复习专题训练 教学设计
深圳市红桂中学 范怡静
一、课标要求
新课标中图形与几何部分对本节课涉及的知识点要求如下
内容要求：
1.掌握两点之间线段最短的基本事实；
2.理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；
3.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；
4.在已知圆心和半径的情况下，能熟练使用圆规画圆。
学业要求：
在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传
递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力。
二、教学内容分析
1.动点问题一直是学生做题时候的难点，难在不明确什么时候能够取得最值，或者是不知道动点
的运动轨迹因此很难确定线段最值情况。因此作为一个专题进行整理复习，帮助学生加深理解形成系
统性的方法。
2.知识联系上，本节课涉及：学习两点之间线段最短的基本事实、讨论过三角形三边的关系以及
简单的轴对称图形及其性质以及圆的基本性质。在此知识基础上以专题的形式将知识内容进行整合，
能够将已学知识联系起来，深化知识联结。
3.在能力培养上，学生可以在解决问题的过程中，培养数形结合与化归等数学思想和方法。
4.在数学素养方面，模型求解思路分析以及方法归纳能够了解学生是否能够用数学的语言表达。
在建构这类问题的解决策略的过程中，通过借助图形分析问题，形成解决问题的思路，发展模型观念。
可以提高学生用数学的思维思考现实世界和用数学的语言表达现实世界的能力。在探究活动中，对于
学生抽象能力、推理能力与运算意识的塑造有着促进作用。
三、班级学情分析
班级分层 知识与技能准备情况 数学活动经验的准备情况
S 组 理解两点之间线段最短、三角形三边 学生能够从真实情境中抽象出数学问
构成条件、简单的轴对称图形及其性质。 题，能使用分类讨论、化归数形结合思想
以及圆相关的性质。能用尺规作图术熟练 方法分析问题，具备一定的数学表达能力。
作图，学生能够描述作图步骤。
A 组 知道两点之间线段最短、三角形三边 能够借助借助图形分析问题。对于问
构成条件、简单的轴对称图形及其性质。 题解决过程中思维的描述存在困难，迁移
以及圆相关的性质。能够熟练作图，但不 能力较弱。
一定理解作图原理。
B 组 了解两点之间线段最短，三角形三边 学生在解决具体问题时，对于从具体
构成条件、简单的轴对称图形。但对于轴 问题中找到与模型的联系比较困难。
对称的性质以及圆相关的性质不熟悉，综
合运用时无法快速和准备地联系知识点。
能够模仿作图，但不一定理解作图依据。
三、教学任务分析
1.教学目标分析（基于核心素养培养的教学目标）
（1）关键能力：数学抽象、直观想象、逻辑推理
（2）解析数学思想方法：数形结合、转化
（3）解析知识之间的联系：圆的相关性质、轴对称图形的性质、两点之间线段最短以及三角形三边
关系相关。
2.教学目标设计表
抽象能力 几何直观 推理能力
情境与问题 能够将实际问题转化 能够根据语言描 能够从不同情境中抽象出路
成数学问题。 述将画出相应的图示。 径最短问题。
知识与技能 理解轴对称图形的性质。 掌握利用轴对称 能够运用两点之间线段最短
的性质作对称点的方 的基本事实、垂线段的性质以及三
法。 角形三边关系确定最短的路径。
思维与表达 体会分类讨论、转化 能够分析并标画 能够推导并解释何时线段之
（化折为直）以及数形结 什么位置的时候线段 和（或差）取得最小值（或最大值）。
合的思想方法是问题解决 之和有最大值或者线
的最有力的工具之一。 段之差有最小值。
品格价值观 在解决具体问题时能够联系已经总结的模型，将未知问题转化成已知问题。经历问题解
决的探究过程，初步养成讲道理、有条理的思维品质以及数学表达与交流能力；提炼一
般方法并在新的情境中应用，发展学生应用意识。
3.教学重点和难点
教的重点：能够确定圆上动点最值的情况，知道作图步骤。能够根据图形的性质计算出线段的最值。
学的难点：理解模型求解的原理，能够从题目条件推导出点所在的轨迹，并且能够确定圆心和半径。
四、教法与学法分析
课堂中教师发挥主导作用，同时充分体现学生的主体性让学生在设计的活动展开自主学习和小组
合作探究学习。并经历观察、探索、交流、归纳与应用，实现对本节课的知识建构。
五、教学手段
希沃白板 5，平板
六、教学过程
教学
教学主要内容 师生活动 设计意图
环节
环节 1.对 3 个模型的所 师：以分析模型 1 为例，为 将实际问题抽象成数学问题
一 知进行分析，理解解决 学生展示思路分析与方法归 后，再用数学的思维分析、解决问
问题背后的数学原理。 纳的模板。 题。根据实际情境进行模型提炼的
自主 2.剖析模型的特 生：根据老师梳理，尝试完 过程，目的在于培养学生用数学的
探 征，进行横向对比并且 成对模型 2、3 的分析与方法 眼光观察世界、用数学的语言表达
究， 归纳具体方法 归纳。小组内进行交流 现实世界的意识与能力。
生成 学生分层评价
模型 B 组学生能理．解．三个模型解决策略与作图步骤，并且能正确画出图示。
☆ A 组学生能讲．解．三个模型模型解决策略与作图步骤，理解其中数学原理。
S组同学能够组织问题讨论，并且可以讲解将军饮马模型解决策略与作图步骤与方法的原理。
教学
教学主要内容 师生活动 设计意图
环节
类型一：点在已知圆上运动产生的最值问题 师：在第一个环节 类型一
典例剖析 1 我们通过对模型 的题目与模
如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，E是 BC的中点，以 BE为直径作 的条件分析，以及 型的联系紧
⊙O，P是圆上的动点，若 AD=2AB，求 DP的最大值和最小值. 求解方法总结已 密，能够比
联系模型___ 写出分步作法（B 组任务）*： 经形成了解决圆 较轻松地看
环节 上动点最值问题 出几何图形
二 的方法。现在我们 中隐含的模
将基本模型放在 型。题目难
小组 其他几何图形中。 度较低，可
研学 *变式 1-1： 尝试在复杂的几 以通过这类
， 若点 也在线段 AD上运动，请求出 PQ的最小值。 何背景中分离出 题目强化学
互助 联系模型___ 写出分步作法（B 组任务）* 基础模型，并用对 生对模型条
探究 变式 1-2： 应的方法解决最 件的熟悉程
连接 AC、PA、PC，求△APC面积的最小值。并在图中画出取得最小值的 值问题。 度，以及熟
情况。联系模型___ 写出分步作法（B 组任务）* 生：学习典例，通 练解决问题
过小组合作的方 方 法 和 步
式尝试解决变式 骤。
训练以及针对训 类型二
练。在使用中熟悉 的题目相对
针对训练 方法，加深对模型 于类型一升
1. 如图,⊙O的半径为 10,圆心 O到直线 l的距离为 14,点 A是⊙O上一点, 的辨析与理解。 级的难点在
过点 A的切线与直线 l交于点 B,求 AB 的最小值. 于，首先要
类型二：点在未知轨迹上运动产生的最值问题 确定点的运
典例剖析 2 动轨迹——
如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，F是 AB的中点,E是线段 BC上的 圆在哪里？
动点,点 B沿着 EF折叠得到点 B’。求线段 DB’的最小值。* 即圆心在哪
里？半径是
谁。需要链
接与圆相关
的性质才能
针对训练 够比较顺利
2. 如图，在矩形 ABCD中，已知 AB＝3，BC＝4，点 P是 BC边上一动点 地 突 破 难
（点 P不与 B，C重合），连接 AP，作点 B关于直线 AP的对称点 M，则 点。
线段MC的最小值为 ．
典例剖析 3
如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝4，BC＝6，P是 AB左侧一
动点，且 AP⊥BP，则线段 CP长度的
最大值是 ．*
针对训练
3．如图 2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，
P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，
求线段 CP长的最小值．
教学
教学主要内容 师生活动 设计意图
环节
4.如图，在边长为 2的菱形 ABCD中，∠A＝60°，M是 AD边的中点，N 师：引导学生从繁 本环节
是 AB边上一动点，将△AMN沿 MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接 复的条件中分析 是在能实际
A'C请求出 A′℃长度的最小值． 与模型相符的条 应用的基础
件。鼓励 B 组学生 上进行拓展
积极尝试画出符 升华，进入
合题意的情况。变 到抽象的数
环节 式中，引导学生分 学问题的分
三 3. 如图，⊙M的半径为 4，圆心 M的坐标为（6，8），点 P是⊙M上的 析改变的条件，从 析的环节。
方法 任意一点，PA⊥PB，且 PA，PB与 x轴分别交于 A，B两点．若点 A，点 B 而找到突破口。 对学生的迁
拓 关于原点 O对称，则当 AB取最小值 移能力要求
展， 时，△APB的面积为 ． 生：对比例题和模 较高。
进阶 型之间的异同点， 将模型
训练 进一步熟悉符合 设置于复杂
问题模型的特征， 的图形中，
6.如图，点 D在半圆 O上，半径 OB＝5，AD＝4，点 C在弧 BD上移动， 使用模型方法解 是对学生辨
连接 AC，作 DH⊥AC，垂足为 H，连接 BH，点 C在移动的过程中，BH 决问题。 析模型的程
的最小值是 ． 度提出了更
7.如图 4，在正方形 ABCD中，AD＝6，动点 E，F分别在边 DC，CB上移 高的要求。
动，且满足 DE＝CF．连接 AE和 DF，交于点 P．点 E从点 D开始运动到 能够深化学
点 C时，点 P也随之运动，CP最小值是 ． 生对于模型
***8.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点 D为平面上一个 的理解。
动 点 ， ∠ ADB ＝ 45 ° ， 则 线 段 CD 长 度 的 最 小 值
为 ．
环节 类型一：点在已知圆上运动产生的最值问题 小结探
四 究数学活动
归 纳 的经验。帮
小结 助学生梳理
方 法 的 同
时，整理本
节课所使用
的主要的数
学 思 想 方
法。
类型二：点在未知轨迹上运动产生的最值问题
学生对本节课模型的理解小结问题解决的经验，以及探究过程中的感悟。
教师将学生的方法与经验分享加以描述概括，引出本节课所使用的数学
思想方法。
教学
教学主要内容 师生活动 设计意图
环节
S组拓展练习 教师将原模 向层次较
1．如图，在矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝5，点 E在 BC上，且 CE＝4BE， 型条件改编 好的学生发起
挑战 点M为矩形内 后让已经完 新的挑战，培养
自我 一 动 点 ， 使 得 ∠ CME＝ 45° ， 连 接 AM， 则 线 段 AM 的 最 小 值 成 自 测 的 S 学生的迁移应
为 ． 组学生尝试。 用能力。体会化
， 2.如图，AB⊥BC，AB＝5，点 E、F分别是线段 AB、射线 BC上的动点，以 归思想方法是
激发 EF为斜边向 如何帮助我们
上作等腰 Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接 AD，则 AD的最小 利用已有知识
潜能 为 ． 求解未知问题。
3.如图 5，已知点 C在以 AB为直径，O为圆心的半圆上，AB＝4，以 BC为
边作等边△BCD，则 AD的最大值是 ．
第 1 题 第 2 题
七、课后作业
归纳整理学案