2024-2025学年人教A版数学必修第二册6.2.4 向量的数量积 第2课时 同步练习（含答案）

6.2.4向量的数量积　第2课时
一、选择题
1．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．3
2．已知e1、e2是两个单位向量，且夹角为，则(e1－2e2)·(－2e1＋e2)＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．(多选题)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题是( )
A．|a·b|＝|a|·|b| a∥b
B．a，b反向 a·b＝－|a|·|b|
C．a⊥b |a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
4．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A． B．
C． D．π
5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
6．已知非零向量a，b满足＝3，cos〈a，b〉＝，若b⊥(ta＋b)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C． D．－
7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B．3
C．3 D．
8．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
二、填空题
9．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角大小为 　.
10．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝　 ；向量b在向量a上的投影向量为　 .
11．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝___.
12．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|的值为　 .
13．已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝　 .
三、解答题
14．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)(3a)·；
(3)(3b－2a)·(4a＋b)．
15．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
16．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ma－2b，其中m∈R.
(1)若c∥d，求实数m的值；
(2)若c⊥d，求实数m的值．
6.2.4向量的数量积　第2课时
一、选择题
1． ( C )
·(＋)＝·＋·＝2×2×＝4，故选C．
2． ( A )
e1、e2是两个单位向量，且夹角为，
则(e1－2e2)·(－2e1＋e2)＝－2e12＋5e1·e2－2e22
＝－4＋5×1×1×＝－.
故选A．
3． ( ABC )
　需对四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．∵a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题A是真命题；若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|且以上各步均可逆，故命题B是真命题；当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，所以有a⊥b，故命题C是真命题；当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题D是假命题．
4． ( B )
由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos＝＝，所以＝.故选B．
5． ( D )
　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
6． ( D )
∵b⊥(ta＋b)，∴b·(ta＋b)＝0，即ta·b＋b2＝0，t··cos〈a，b〉＋2＝0，
3tcos〈a，b〉＝－1，t＝－.
故选D．
7． ( D )
∵·＝0，∴·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝·||||·cos∠ADB＝||2＝.
8． ( A )
∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
二、填空题
9． 120°　.
　∵e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋＋2＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝－，
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
故答案为120°.
10．；a
　a·b＝|a|·|b|cos＝4|b|cos 45°＝2|b|，
又·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12，
解得|b|＝或|b|＝－(舍去)．
向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 45°·＝a.
11． _11__.
　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，
又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1，
所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11.
12．
　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2.因为|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，所以c2＝4＋2×2×3×cos ＋9＝7，即|c|＝.
13．.
　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.
解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，
由题意可得：(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得：c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
故答案为：.
答案为11.
三、解答题
14．
(1)a·b＝|a||b|cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.
(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.
(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.
15．
　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
因为|a|＝4，|b|＝3，
所以a·b＝－6，
所以|a＋b|＝
＝＝.
(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
所以向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为＝＝.
16．
　(1)由c∥d，设c＝λd，即2a＋3b＝λ(ma－2b)，
则2＝λm且3＝－2λ，
解得m＝－.
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，a·b＝3×2cos 60°＝3.
则c·d＝(2a＋3b)·(ma－2b)＝2ma2－6b2＋(3m－4)a·b
＝18m－24＋3(3m－4)＝27m－36＝0，
解得m＝.