罗湖区中考备考“百师助学”课程之第7讲《圆中的重要模型之圆幂定理模型》
自主学习单
罗湖实验学校 周涛
一、知识背景
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
二、技能梳理
模型1.相交弦模型
相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
条件：在⊙O中，弦AB与弦CD交于点E。
结论：．
证明：∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
模型2.双割线模型
割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
条件：如图，从圆外一点C引两条割线与⊙O分别交于点E、F、G、H。
结论：。
证明：∵四边形HGEF是圆的内接四边形，∴，
∵，∴
又∵，∴，
∴ ，∴．
模型3.弦切角模型
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
条件：如图，直线BC与O相切于点B，点A、D在O上。
结论：∠CBD=∠BAD．
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED，
∵BC是⊙O的切线，∴，
∵，∴，
∵BE是圆的直径，∴，
∴，
∴，
∴．
模型4.切割线模型
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
条件：如图，直线BC与O相切于点B，CA是⊙O的割线，与O相交于点D、A。
结论：．
证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED，
∵BC是⊙O的切线，∴，
∵，∴，
∵BE是圆的直径，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
模型5.托勒密定理模型
圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
条件：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，
结论：．
证明：如图，作交BD于点E．
∵，∴．
∴，∴，∴．
∵，∴，
∴，
∵，∴；
∴．∴．∴．
∴，∴．
三、学习过程
模块一：相交弦模型、双割线模型
（一）典例精讲
例1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ．
例2．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ．
（二）跟踪练习
1．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：．
证明：如图1，连接，．
∵，．∴，（根据_____________）
∴，∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径．
2．（2024·山东·校考一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证：；
(2)当时，求CE的长．
3．如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ）
A． B． C． D．
模块二：弦切角模型、切割线模型
（一）典例精讲
例1．（2024·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明．
小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？
任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______°
例2．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，．
(1)求证：是圆的直径；
(2)若圆的半径为，，求的长．
（二）跟踪练习
1．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下：
如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：．
证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，．
∵是的直径，（依据：______）．，．
又（依据：______），．…………
任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整；
(3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长．
2．（2024·河南洛阳·统考一模）如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．
求证：AC AE＝BD BF．
3．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，连接，，过点作的切线交的延长线于点，作交的延长线于点．若，，则的长为 ．
模块三：托勒密定理模型
典例精讲
例1．（2024·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，______． 求证：______．
证明：如图2，作，交BD于点E，……
∴∽，∴，……
∴∽，∴，
∴．
(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；
(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．
例2．（23-24九年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，则= ．
跟踪练习
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( )
B． C． D．
3．先阅读理解：托勒密（Ptolemy古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形ABCD内接于⊙O，则有AB CD+AD BC＝AC BD．再请完成：
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，如果AB＝AC＝，CD＝1，求AD的长．
（2）在（1）的条件下，如图2，设对边BA、CD的延长线的交点为P，求PA、PD的长．罗湖区中考备考“百师助学”课程之第7讲《圆中的重要模型之圆幂定理模型》
详解答案
模块一：相交弦模型、双割线模型
典例精讲
例1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ．
【详解】解：∵AB=AC，∴=，∴∠ADB=∠ABC，
又∠BAD=∠BAE， ∴△ABD∽△AEB，
∴，即，∴AD=8，∴DE=AB-AE=8-2=6，
∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED，
∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数，
则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12；
∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7，∴BE的值为3或4，故答案为：3或4．
例2．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ．
【详解】解：如图，延长交圆于点D，连接、，
四边形为圆内接四边形，∴．
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，，∵，∴，∴半径为，故答案为：．
跟踪练习
1．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：．
证明：如图1，连接，．
∵，．∴，（根据_____________）
∴，∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径．
【详解】（1）证明：如图1，连接，．
∵，．∴，（根据有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；
（2）解：延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，
设圆O的半径为，而，，，
，， ，
根据（1）中结论得，即为，
∴，解得：或（不符合题意，舍去），⊙O的半径为．
（2024·山东·校考一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
求证：；
(2)当时，求CE的长．
【详解】解：（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴；
（2）∵△是等边三角形，∴∵，∴∴
∵∴，∴∴
连接如图，∵∴ ∴∠
又∠，∴△∴，∴
∴，∴（负值舍去）∴，解得，
3．如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接OC、OD，如图所示：
∵弧AC=弧CD，
∴∠AOC=∠COD=∠AOD；
又∵∠ABD=∠AOD，
∴∠ABD=∠AOC，
∴OC∥BD，
∴，
∴，
∴PD=;
∵PD和PB都是⊙O外同一点引出的割线，
∴PC PD=PA PB，
∴PC PD=2×6=12，
∴PC=2cm．
故选D．
模块二：弦切角模型、切割线模型
典例精讲
例1．（2024·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明．
小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？
任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______°
【详解】解：（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则，
∵是的直径，∴，∴，
∵直线与相切于点，∴，
∴，∴，∴；
（2）证明：连接并延长，交于点，连接，
∵是的直径，∴，∴，
∵直线与相切于点，∴，∴，∴，
∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴；
（3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想；
故答案为：转化思想和类比思想
（4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则，
∵是的直径，∴，∴，
∵直线与相切于点，∴，∴，∴，∴，
∵，，∴．故答案为：．
例2．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，．
(1)求证：是圆的直径；(2)若圆的半径为，，求的长．
【详解】（1）证明：连接，与互余，，
，，是圆的直径．
，，，是圆的直径．
（2）解：是圆的直径，点为圆心，，，
是圆的切线，，即，，
，，，
，，，．
跟踪练习
1．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下：
如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：．
证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，．
∵是的直径，（依据：______）．，．
又（依据：______），．…………
任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整；
(3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长．
【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等；
（2）证明：又，．．．
（3）解：如图，连接，，
，∴设，，，则．
∵是的切线，是割线，∴由切割线定理得，则，
解得或（舍去），，，，则．
∵AB是的直径，AC是的切线，．．
，，，则．
，．
2．（2024·河南洛阳·统考一模）如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC AE＝BD BF．
【详解】证明：过A作⊙O的切线AM，M为切点，过B作⊙O的切线BN，N为切点，连接OA、OM、OB、ON，则AM⊥OM，BN⊥ON，如图⑤所示：
由切割线定理得：AM2＝AC AE，BN2＝BD BF．
在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2，在Rt△BON中，BN2＝OB2﹣ON2，
又∵OM＝ON，OA＝OB，∴AM2＝BN2，∴AC AE＝BD BF．
3．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，连接，，过点作的切线交的延长线于点，作交的延长线于点．若，，则的长为 ．
【详解】解：连接，∵是的切线，∴，即，∴，
∵是的直径，，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∵， ∴，∴，即，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，即，∴，即的长为．故答案为：
模块三：托勒密定理模型
典例精讲
例1．（2024·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，______． 求证：______．
证明：如图2，作，交BD于点E，……
∴∽，∴，……
∴∽，∴，
∴．
(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；
(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长．
【详解】解：（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于，
求证：，
证明：如图2，作，交BD于点E，
∵∴，∴∴．
∵∴．
∵∴即，
∴∴，
∴．
（2）在图3中，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：
即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为．
例2．（23-24九年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，则= ．
【详解】解：∵为直径，∴，∴四边形为圆的内接四边形，
∵，∴，由勾股定理得，．
∵的角平分线交于点D，∴，∴，
∴，∴为等腰直角三角形，∴．
∵四边形为圆的内接四边形，根据托勒密定理
∴，即，解得．
跟踪练习
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
在中，，，，
，，在中，，
在中，，，
在中，，，
四边形是的内接四边形，，
，解得：，故选：B．
2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( )
A． B． C． D．
【详解】解：连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，如图：，，，
，是的直径，，，
半径为，，，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，在中，，
由托勒密定理知，，
，，
四边形的周长为，故选：A．
3．先阅读理解：托勒密（Ptolemy古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形ABCD内接于⊙O，则有AB CD+AD BC＝AC BD．再请完成：
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，如果AB＝AC＝，CD＝1，求AD的长．
（2）在（1）的条件下，如图2，设对边BA、CD的延长线的交点为P，求PA、PD的长．
【详解】解：（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝，
∴BD＝＝＝3，
∵圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积，
则有AB CD+AD BC＝AC BD，
即×1+AD×＝×3，
解得：AD＝；
（2）∵∠PAD＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PCB，
∴＝＝，
设PA＝x，PD＝y，
则＝＝，
解得：x＝，y＝， ∴PA＝，PD＝．
