课件23张PPT。新课标人教版课件系列《高中数学》
必修53.3 《一元二次不等式及其解法》教学目标 掌握一元二次不等式的解法
教学重点:
一元二次不等式的解法考察下面含未知数x的不等式: 15x2+30x-1>0 和 3x2+6x-1≤0.这两个不等式有两个共同特点: (1)含有一个未知数x;
(2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式。 一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0),或ax2+bx+c<0 (a≠0)其中a,b,c均为常数。 一元二次不等式一般表达式的左边,恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式,
即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 一元二次不等式f(x)>0,或f(x)<0 (a≠0)的解集,就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。 一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集,就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。 因此二次函数,一元二次方程,一元二次不等式之间有非常密切的联系。 下面我们通过实例,研究一元二次不等式的解法,以及它与相应的方程、函数之间的关系。例如解不等式:
(1)x2-x-6>0;(2)x2-x-6<0. 我们来考察二次函数f(x)=x2-x-6
= 的图象和性质。方程x2-x-6=0的判别式
于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=-2,x2=3.建立直角坐标系xOy,画出f(x)的图象,它是一条开口向上的抛物线,与x轴的交点是M(-2,0),N(3,0), 观察这个图象,可以看出,抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点的横坐标的集合
A={x| x<-2或x>3}是一元二
次不等式x2-x-6>0的解集。 抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零,因此这些点的横坐标的集合B={x| -2(x+2)(x-3)>0; 若x>3,同样可推知(x+2)(x-3)>0。 当x∈B时,即-20,
x-3<0,因此(x+2)(x-3)<0, 不等式(1)和(2)还可以通过下述方法求解:(1)因为x2-x-6=(x+2)(x-3),
所以解x2-x-6>0,就是解(x+2)(x-3)>0,
相对于解不等式组 或 ,
解这两个不等式组得x>3或x<-2.(2)因为x2-x-6=(x+2)(x-3),所以解x2-x-6<0,就是解(x+2)(x-3)<0,
相对于解不等式组 或 ,
解这两个不等式组得-20;
(2)x2-2x+3<0.分析:考察方程x2-2x+3=0的判别式△=(-2)2-4×1×3<0,二次函数的图象位于x轴的上方(如图),这时对于任意的实数x,都有x2-2x+3>0。 解:对于任意实数x,
x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
因此不等式(1)的解集为实数集R,
不等式(2)无解,或说它的解集为空集. 通过以上两例,我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。 设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。(1)当△>0时,二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1,x2,(设x10的解集是(-∞,x1)∪ (x2,+∞),不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2).简单的说是:
大于在两边,小于在中间。(2)当△=0时,通过配方得, 由图可知,ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数,即
ax2+bx+c<0的解集是空集,即不等式无解。(3)当△<0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方,由此可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集R,不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。例2.解不等式1-x-4x2>0.解:原不等式化为4x2+x-1<0,
因为△=12-4×4×(-1)>0,
方程4x2+x-1=0的根是所以不等式的解集是 例3.解不等式x2+4x+4>0.解:因为△=42-4×1×4=0,
原不等式化为(x+2)2>0,
所以不等式的解集是{x∈R| x≠-2}.例4.解不等式-2x2+4x-3>0.解:原不等式化为2x2-4x+3<0,
因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1>0,
所以原不等式的解集是例5.求函数
的定义域。解:由函数f(x)的解析式有意义得 即 解得 因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).再见