1.4 角平分线 同步练习(2课时,含详解)2024-2025学年北师大版八年级数学下册

4角平分线
课时1 角平分线的性质与判定
刷基础
知识点1 角平分线的性质
如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
2[2023 山西太原小店区调研]如图,AD 是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,点 E,D为垂足,CF=CB.
(1)求证:BE=FD;
(2)若AC=10,AD=8,求四边形ABCF的面积.
知识点2 角平分线的判定
4如图，在∠AOB 的内部作射线 OM,过点 M 分别作MA⊥OA 于点 A,MB⊥OB于点B,MA=MB,连接AB,若∠MAB=20°,则∠AOM 的度数为 ( )
A.15° B.20° C.30° D.40°
5[2024 河南许昌期末]如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线 OB 重合，且另一边与射线 OA交于点 C，另一把直尺的一个直角顶点在射线 OA 上，且与第一把直尺交于点 P,作射线 OP,已知∠POB=40°,则∠ACP 的度数是 .
6[2023 山东日照调研]如图,在△ACB 和△DCE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=40°,AD,BE交于点H,连接CH.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)求证:HC平分∠AHE.
知识点3 角平分线的性质与判定的综合应用
7[2023 江苏南京秦淮区期末]如图,在△ABC中,∠ACB,∠ABC的平分线l ,l 相交于点 O.
(1)求证:点O 在∠BAC 的平分线上;
(2)连接OA,若AB=AC=5,BO=4,AO=2,求点O到三角形三条边的距离.
刷提升
1[中]如图,AB∥CD,BP 和CP 分别平分∠ABC和∠BCD,AD 过点 P 且与AB 垂直.若AD=8,BC=10,则△BCP的面积为 ( )
A.16 B.20 C.40 D.80
2[2023 河北张家口调研,中]如图,AD 是△ABC的高，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧交AB于点M，交BC于点 N；分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 P；作射线BP 交AD 于点 E.若∠ABC=45°,AB⊥AC,DE=1,则CD的长为 ( )
A.
C.
3[2024 四川成都质检，较难]如图，在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,点 E在AD 上,连接BE,CE,且BE=BC,将△ABE 沿 BE 折叠得到△A'BE,A'B 与AC 相交于点 F,连接EF,过点C 作 CG⊥EF,交 EF 的延长线于点 G,若BF=14,EG=9,则线段BE的长为 .
4[2023 四川成都期中,较难]如图,A,B,C三点在同一条直线上,在BC同侧作△BCD,△BCE,BE,CE 分别平分∠ABD,∠BCD,过点 B 作∠CBD的平分线交 CE于点 F.
(1)已知∠E=27°,求∠D 的度数;
(2)若BE∥CD,BD=8,求线段BE的长;
(3)在(2)的条件下,若BF=6,求线段CD的长及点 F到BC的距离.
5 [难]如图(1),OP 是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴且斜边在 OP 上的全等的直角三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图(2),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE 相交于点 F.请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系(不需证明)；
(2)如图(3),在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点F，请问(1)中所得结论是否仍然成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
课时2 三角形内角平分线的性质
刷提升
1[2024湖北武汉质检，中]如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有 ( )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
2[2023 湖北武汉东西湖区期末，中]如图，在△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC=3,AB=4,AC=5,则IH的长为 ( )
A.1 B. C.2 D.
3[2023 辽宁沈阳大东区模拟,中]如图,△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点 D 作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是 ( )
A.2:1 B.1:1
C.2:3 D.3:1
4[2024 陕西西安期中,中]如图,在 Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=40°.请用尺规作图法,在△ABC内部作一点 P,使∠BAP=50°,且点 P到AB,BC边的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)
5[中]如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD,BE是△ABC的两条角平分线，连接DE.
(1)求证:点E到 DA,DC的距离相等;
(2)求∠DEB 的度数.
6核心素养推理能力[[较难]通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)【模型呈现】如图(1),AD 为△ABC 的中线,BE∥AC交AD的延长线于点 E,求证:AD=DE.
(2)【模型应用】如图(2),在四边形ABCD中,AB∥CD,E 是 BC中点,连接AE,DE,AE 平分∠BAD,求证:DE 平分∠ADC.
(3)【拓展探索】如图(3),在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AB 交∠BAC的平分线于点 E,过点 E 作 EF⊥AE 交BC于点F,若AE+EF=AC,求证:CF=2BD.
4 角平分线
课时1 角平分线的性质与判定
刷基础
1. A 【解析】∵OP 平分 ∴点P到OM 的距离等于 PA,即点 P 到OM 的距离为4,∴PQ≥4.故选 A.
2. A 【解析】作 DH⊥AC于 H,如图. ∵ AD 是△ABC中∠BAC 的平分线， 故选 A.
3.(1)【证明】∵AC 平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CD=CE.在 Rt△CBE 和 Rt△CFD 中,∴BE=FD.
(2)【解】在 Rt△ACD 中,
∵AC=10,AD=8,
8=48.
4. B 【解析】∵ MA⊥OA 于点A,MB⊥OB 于点B,MA=MB,∴OM 平分∠AOB,∴∠AOM=∠BOM.在△OBM和△OAM中, ∴△OBM≌△OAM(AAS),∴ ∠AMO=∠BMO,即MO 平分∠AMB.∵ AM=BM,∴OM⊥AB.∵∠MAB+∠OAB=90°,∠AOM+∠OAB=90°,∴ ∠AOM = ∠MAB. ∵ ∠MAB = 20°,∴∠AOM=∠MAB=20°.故选 B.
5.80° 【解析】由题意,得 OP 平分∠AOB,∴∠AOB=2∠POB=2×40°=80°.由长方形直尺可知CP∥OB,∴∠ACP=∠AOB=80°.故答案为80°.
6.【证明】(1)∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)如图,过点 C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N.∵ △ACD≌△BCE,∴CM=CN(全等三角形的对应高相等),∴HC 平分∠AHE.
7.(1)【证明】如图(1),过点O 作 OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F.
∵∠ACB,∠ABC 的平分线 相交于点O ，∴OD=OF,OE=OF,∴ OD=OE,∴点 O 在∠BAC 的平分线上.
(2)【解】如图(2),延长AO交BC于 D.∵AB=AC=5,点 O 在∠BAC 的平分线上,∴AO⊥BC.∵AO=2,∴ AD=AO+OD=2+OD. 又∵点O 到三角形三条边的距离相等，∴点O到三角形三条边的距离是
刷提升
1. B 【解析】如图,过P 作PE⊥BC于E.∵AB∥CD,∴ ∠BAP + ∠CDP =180°.∵AD⊥AB,∴∠BAP=90°,∴ ∠CDP=90°,即AD⊥CD.∵ PE⊥BC,BP 和 CP分别平分∠ABC 和∠BCD,∴ PA=PE,PE=PD,∴PA=PD.∵AD=8,∴PE=PD=AP=4.∵BC=10,∴△BCP 的面积为 故选 B.
2. B 【解析】∵ AB ⊥AC,∴ ∠BAC = 90°.∵∠ABC= 45°,∴ ∠ACB = ∠ABC = 45°,∴ △ABC为等腰直角三角形.∵AD 为△ABC的高，∴易得 由作法得BE平分∠ABD,∴ 点 E 到AB 的距离等于点E到 BD 的距离，即点E到AB 的距离等于1,. 故选B.
【解析】过E 分别作 EH ⊥ AB 于 H,EM⊥A'B 于M,EN⊥AC于 N，如图.∵在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴ BD=CD,∠BAD=∠CAD, ∠ABC=∠ACB.又∵EH⊥AB,EN⊥AC,∴EH=EN.由折叠性质得∠ABE = ∠A'BE. 又∵EH⊥AB,EM⊥A'B,∴ EH = EM,则 EM = EN,∴ ∠EFM =∠EFN.∵ BD=CD,AD⊥BC,∴AD 垂直平分BC,则 BE=CE.∵ BE=BC,∴△BCE 是等边三角形,则∠EBC=∠ECB=60°,∴ ∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,则∠ABE=∠ACE=∠A'BE.∵∠AFB=∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠ACE+∠ECB =∠FBC+∠A'BE+∠ECB =60°+60°=120°,∴∠EFM=∠EFN=∠CFG= ∴ ∠FEM=∠FEN=∠FCG=90°-60°=30°.设EF=2x,则 EG=9,∴BM=14-x,FG=9-2x,则CF=2FG= △CEN(HL),则BM=CN,∴14-x=18-4x+x,解得x=2,∴BM=12,FM=2,EF=4,∴EM= 在 Rt △BME 中, BE = 故答案为
4.【解】(1)∵BE,CE 分别平分∠ABD,∠BCD, ∴∠D=2∠E=54°.
(2)∵ BE∥DC,∴ ∠D = ∠EBD,∠DCB =∠EBA,∠E=∠DCE.
∵∠EBD=∠EBA,∠DCE=∠BCE,∴ ∠D=∠DCB,∠E=∠ECB,
∴BE=BC,BD=BC,
∴BE=BD=8.
(3)如图,延长BF交DC于 G,作 BH⊥EC 于 H.
∵EF·BH=BE·BF,∴10BH=8×6,
∴BH=4.8,
BG平分
平分. 1.68,∴点 F到BC的距离为1.68.
刷素养。
5.【解】如图(1), 即为一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.
B
(1)FE=FD.
(2)(1)中所得结论仍然成立，证明如下：
如图(2),过点 F作 FG⊥AB于G,FH⊥BC于H,FK⊥AC 于 K.∵ AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,∴ FG=FH=FK.在四边形BGFH中,∠GFH=360°-60°-90°×2=120°.
∵AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,
60°. 在△AFC 中,∠AFC= 180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-60°=120°,
∴∠EFD=∠AFC=120°,
∴ ∠EFG=∠DFH.在 和 中
课时2 三角形内角平分线的性质
刷提升
1. D 【解析】 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， 内角平分线的交点满足条件.如图，点P 是. 两条外角平分线的交点，过点 P 作. B PD,∴ 点 P 到 的三边的距离相等，∴ 易知可供选择的地址有4处.故选 D.
2. A 【解析】如图,连接IA,IB,IC,过I作 于M, 于N.∵点I为 各内角平分线的交点， A( 故选A.
3. B 【解析】如图,连接 AD,过 D 点作 于点E，作 于点 F，作于点G . 的两条内角平分线相交于点 D，∴AD 平分. .设MN平分 的面积，则 即这条直线分成的两个图形的周长比是1：1.故选 B.
4.【解】如图，点P 即为所求.
5.(1)【证明】如图,过E作 交 BA的延长线于 H， 于F, 于G.∵AD平分 ∴AE 平分 EG.∵ BE 平分. ∴点 E到 DA,DC的距离相等.
(2)【解】由(1)知DE平分
刷素养
6.【证明】( 为 的中线， 在 和
中，
(2)如图(1),过点 E 分别作 于点 F, 于点G，延长GE交DC 的延长线于点
H.∵AE 平分
在 和
中，
(AAS),∴ EG= EH,∴ EF = EH,∴ DE 平分
如图(2),延长AB 交 FE 的延长线于点G，过点G作 交CB的延长线于点H. AE 平分
∴ ∠AEB=∠BEG.
在△ABE 和△GBE中,
∴ △ABE≌△GBE(ASA),∴ AE =GE,AB =GB.又∵ AE+EF=AC,GE+EF=GF,∴AC=GF.∵AD⊥BC,GH⊥BC,∴∠ADB=∠H=90°.
在 △ABD 和 △GBH 中,
∴△ABD≌△GBH(AAS),∴AD =GH,BD =BH. 在 Rt △ACD 和 Rt △GFH 中,
∴ Rt△ACD≌Rt△GFH(HL),∴ CD = FH,
∴CD-FD=FH-FD,即 CF=DH.∵DH=BD+