1.3.1 线段的垂直平分线的性质与判定 同步练习（含详解）2024-2025学年北师大版八年级数学下册

1.3.1 线段的垂直平分线的性质与判定
刷基础
知识点1 线段的垂直平分线的性质
关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等.其中正确的说法有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2[2024 贵州六盘水期末]如图，PD 垂直平分AB,PE垂直平分BC,若 PA 的长为7,则 PC的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3[2023 陕西西安新城区期中]如图,在△ABC中,EF 是AC 的垂直平分线,AD⊥BC,D 为BE的中点.
(1)求证:AB=CE.
(2)若∠C=32°,求∠BAC的度数.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4[2024河南周口期末]如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在( )
A. AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C. BC的中点
D. AB的垂直平分线上
5[2024 湖南衡阳期末]两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形 ABCD 是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,得到如下结论:①AO=CO= AC;②AC⊥BD;③△ABD≌△CBD;④∠DAO=∠DCO.其中正确的结论有 (填序号).
6[2023 北京大兴区期末]如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,D 是AC上一点,BC=DC,过点 D作AC的垂线交AB 于点E,连接CE,交BD 于点F,求证:CE垂直平分BD.
7[2024 山西太原调研]如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E,连接CE,交AD于点F.
(1)求证:AD 垂直平分线段CE;
(2)若∠BAC=60°,AD=16,求DF的长.
刷提升
1[中]△ABC中,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E,且DE=4,则AD+AE的值为 ( )
A.6 B.14 C.6或14 D.8或12
2[中]如图，线段AB，DE 的垂直平分线交于点C,且∠ABC = ∠EDC = 72°, ∠AEB = 92°,则∠EBD 的度数为 ( )
A.168° B.158° C.128° D.118°
3[2024 重庆校级期中,中]如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点 D,E在△ABC内,且点D 在 BC 的垂直平分线上,连接 BD,CD,EC,ED,若DE=4,∠ECB=∠DEC=60°,则CE的长度是 .
4[2024 四川成都期中，中]如图，已知四边形ABCD 中, 90°,若线段 DE 平分四边形 ABCD 的面积,则DE= .
5如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边 OA 在x轴上，且OA=6,点 B的坐标为(2,4),点 D 为OA 的中点，AB的垂直平分线交x轴于点 C，交AB于点E,点P 为线段 CE 上的一动点,当△APD 的周长最小时，点P 的坐标为 .
6[2024 陕西榆林期末,中]如图,在△ABC中,BD是边 AC上的高,BE平分∠CBD,且AD=DE,AO 是△ABC的中线,延长AO 到点 F,使得BF∥AC,连接EF,EF交BC于点G,AF交BE于点H,交 BD 于点 M.
(1)求证:BF=CD+DE;
(2)若∠C=45°,求证:EF⊥BC.
7[较难](1)如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,ED 垂直平分AC 交AB 于 D,连接CD.求证:DA=DB=DC.
(2)利用(1)中的结论，继续探究：如图(2)，点P 是△FHG 的边 HG 上的一个动点,PM⊥FH于M,PN⊥FG于N,FP 与MN交于点K.当P运动到某处时，MN与 FP 正好互相垂直，请问此时FP 平分∠HFG吗 请说明理由.
课时 1 线段的垂直平分线的性质与判定
刷基础
1. B 【解析】①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，故原说法正确；②线段的垂直平分线是一条直线，故原说法正确；
③线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，故原说法不正确.故选B.
2. C 【解析】连接BP,如图.∵ PD 垂直平分AB,∴ BP=AP=7. 又∵ PE 垂直平分BC,∴PC=BP=7.故选 C.
3.(1)【证明】如图,连接AE.∵AD⊥BC,且 D 为线段 BE 的中点,∴ AD垂直平分 BE,∴ AB =AE.∵EF 垂直平分AC,∴AE=EC,∴AB =CE.
(2)【解】∵ AE=EC,∠C=32°,∴∠CAE=∠C=32°,∴∠AEB=64°.∵AB=AE,∴∠B=∠AEB=64°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=84°.
4. A 【解析】∵ BD+DC=BC,BD+AD=BC,∴DC=DA,∴点D 在AC 的垂直平分线上.故选A.
5.①②③④ 【解析】∵AD=CD,AB=CB,∴点B，D在线段AC的垂直平分线上，即BD 垂直平分AC,. 故①②正确. 在 △ABD 与 △CBD 中, ∴△ABD≌△CBD(SSS),故③正确.∵AD=CD,∴∠DAO=∠DCO,故④正确.综上,正确的结论有①②③④. 故答案为①②③④.
6.【证明】∵ ED⊥AC,∴ ∠EDC=∠EBC=90°.在 Rt△ECB 和 Rt△ECD 中,EC=EC,BC=DC,∴ Rt△ECB≌Rt△ECD(HL),∴BE=DE,∴点E在BD的垂直平分线上.又∵BC=DC,∴点C 在 BD 的垂直平分线上,∴ CE 垂直平分BD.
7.(1)【证明】∵ DE⊥AB,∴ ∠AED = 90°.
∵∠ACB=90°,∴ ∠AED=∠ACB=90°.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC.
在△AED和△ACD中,
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,DE=DC,
∴AD 垂直平分线段CE.
【解】∵ AD 平分∠BAC,∠BAC=60°,
在 中，
∵AD垂直平分线段CE,.
. DF的长为4.
C 【解析】∵AB 的垂直平分线与AC 的垂直平分线分别交BC于点 D，E，. EC.分两种情况:当 BD 与 CE 无重合时,如图(1). 当BD与CE有重合时,如图(2). 综上所述， AE的值为6或14,故选C.
2. C 【解析】如图,连接CE.∵线段AB,DE 的垂直平分线交 于 点 C，
∴CA= CB, CE = CD,
∴∠CAB=∠CBA,∠CED=∠CDE.
∵∠ABC =∠EDC= 72°, ∴ ∠ACB = ∠ECD = 36°,
∴∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,
∴ ∠AEC=∠BDC.设∠AEC=∠BDC=α,则∠BDE=72°-α,∠CEB=92°-α,∴ ∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-(92°-α)=α-20°,∴在△BDE 中,∠EBD = 180°-(72°-α) - (α-20°)= 128°,故选 C.
3.6 【解析】如图,延长ED交BC 于点M,连接AD并延长,交 BC 于点 F.∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∵点D 在BC 的垂直平分线上,∴ AD 垂直平分 BC,∴AF⊥BC,BF=CF.∵ BC= 10,∴ CF=5.∵ ∠ECB = 是等边三角形，.
【解析】连接BD交AC于点O，过D点作 于点M，如图. 又∵ ∴AC垂直平分 BD, 四边形ABCD的面积为 线段DE 平分四边形ABCD 的面积， 故答案为
【解析】如图,连接 BC,PB,BD.∵OA=6,B(2,4),∴易得直线AB 的表达式为y=-x+6,∴易知∠BAO=45°.∵ CE 垂直平分线段AB,∴CB=CA, PA = PB, ∴ ∠CBA = ∠CAB = 45°,∴∠BCA=90°,∴OC=2,AC=BC=4.∵ OD=DA=3,∴CD=OD-OC=1.∵△PAD 的周长为PD+PA+AD=PD+PB+3,BP+PD≥BD,∴B,P,D 共线时,BP+PD 的值最小,即△APD 的周长最小.易得直线CE的表达式为y=x-2，直线 BD 的表达式为 y =-4x+12,联立得 解得 满足条件的点 P的坐标为 故答案为
6.【证明】(1)∵AO 是△ABC 的中线,∴BO=CO.∵BF∥AC,∴∠BFO=∠CAO.
又∵ ∠BOF = ∠COA,∴ △BOF ≌ △COA(AAS),∴BF=CA=CD+AD.
∵AD=DE,∴BF=CD+DE.
(2)∵BD 是边AC上的高,∴BD⊥AE.∵AD=DE,∴ BD 是 AE 的垂直平分线,∴ BE=BA,∴ ∠BEA = ∠BAE.∵ BF∥AC,∴ ∠FBE =∠BEA,∠BFE=∠CEG,∴∠FBE=∠BAE,即∠FBE=∠CAB.∵BF=CA,∴△FBE≌△CAB(SAS),∴∠BFE=∠C=45°,∴∠CEG=45°,∴ ∠CGE=180°-45°-45°=90°,∴EF⊥BC.
7.(1)【证明】∵ ED 垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠BCD,∴BD=CD,∴DA=DB=DC.
(2)【解】此时FP 平分∠HFG,理由如下:
如图，作线段MF 的垂直平分线交FP 于点O，连接OM.∵PM⊥FH,PN⊥FG,∴△MPF 和△NPF 都是直角三角形.
由(1)中结论可知OF=OP=OM.
作线段 FN 的垂直平分线必与 FP 交于点 O，连接ON,∴OM=OP=OF=ON.
又∵MN⊥FP,∴∠OKM=∠OKN=90°.
∵OK=OK,∴ Rt△OKM≌Rt△OKN(HL),
∴MK=NK,∴△FKM≌△FKN(SAS),
∴∠MFK=∠NFK,即 FP平分∠HFG.