第一章 三角形的证明全章中考考点训练（含详解） 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明全章中考考点训练
考点1 等腰(边)三角形
[2024四川自贡中考]如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB 于点 D,AB 长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )
2[2023 江西中考]将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm.
3[2024 四川内江中考]如图,在△ABC 中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 .
4[2024重庆中考B卷]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC 于点 D.若BC=2,则AD的长度为 .
5[2024 陕西中考]如图,在△ABC中,AB=AC,E 是边AB上一点,连接CE,在 BC的右侧作 BF∥AC,且 BF=AE,连接 CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC 的面积为 .
考点2 直角三角形
6[2024 吉林中考]图(1)中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图(2),其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 .
7 [2024 新疆中考]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点 D 在直线AB A上(不与点A,B 重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .
考点3 垂直平分线和角平分线
[2024 四川凉山州中考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE 垂直平分AB 交 BC于点 D,若△ACD 的周长为50cm,则AC+BC= ( )
A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm
9[2024 云南中考]已知AF 是等腰△ABC 底边BC上的高，若点 F 到直线AB 的距离为3，则点F到直线AC的距离为 ( )
A. B.2 C.3 D.
10[2024福建中考]如图,已知直线l ∥l .
(1)在l ,l 所在的平面内求作直线l,使得l∥l ∥l ，且l与l 间的距离恰好等于l与l 间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若l 与l 间的距离为2,点A,B,C分别在l,l ,l 上,且△ABC 为等腰直角三角形，求△ABC的面积.
1. D【解析】∵△ABC 是等边三角形,CD⊥AB,∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,BD=AD=6,∴易得CD=6 .∵∠BED=60°,∴∠DBE=30°,∴ 易得 ∴新钢架减少用钢(AB+AC+BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)= AC+BC+CD--AE-BE--DE = (24- 故选 D.
2.2 【解析】∵直尺的上、下两边平行,∴∠ACB=∠α= 60°. ∵∠A = 60°, ∴ ∠ABC = 60°,∴ △ABC是等边三角形,∴AB=BC.∵点B,C对应的刻度分别为1 cm,3cm,∴ BC=2cm,∴AB=2cm.故答案为2.
3.100° 【解析】∵ AC=AE,BC = BD,∴ 设∠AEC= ∠ACE = x, ∠BDC = ∠BCD = y,∴∠A=180°-2x,∠B=180°-2y.∵ ∠ACB+∠A+∠B =180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,∴ ∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°,180°-(x+y)=∠DCE,∴ ∠ACB+360°-2(x+y)= 180°,∴ ∠ACB+2∠DCE= 180°.∵ ∠DCE = 40°,∴ ∠ACB = 100°. 故答案为100°.
4.2 【解析】∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵ ∠A+∠ABC+∠C= 180°,∠A = 36°,∴ ∠ABC =∠C = 72°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠CBD =∠ABD=36°,∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°,∴ ∠BDC=∠C,∴BD=BC= 2. ∵ ∠A=36°,∠ABD =36°,∴ ∠A =∠ABD,∴AD=BD=2.故答案为2.
5.60 【解析】∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.∵ BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,∴ ∠ABC =∠CBF,∴ BC 平分∠ABF.如图,过点 C 作CM⊥AB,CN⊥BF,则 且 BF=AE, 四边形 EBFC 的面积为 ∴AB=13.设AM=x,则 BM=13-x.由勾股定理，得 解得 60,∴四边形EBFC的面积为60.故答案为60.
【解析】∵ AB⊥B'C,∴∠ACB'=90°.在 Rt△AB'C 中,由勾股定理得 即 故答案为
7.6或 12 【解析】在 Rt△ABC 中,∠A=30°,
当点D 在 AB 延长线上时，如图(1)所示.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴ ∠ABC=60°.又
∵ ∠BCD=30°,∴ ∠BDC=60°-30°=30°,
∴BD=BC=4,∴AD=8+4=12.
当点 D 在线段 AB 上时,如图(2)所示.∵∠ABC=60°,∠BCD=30°,∴ ∠CDA=90°.在Rt△ACD 中,
综上所述，AD 的长为6 或 12.故答案为6或12.
8. C 【解析】∵ DE 垂直平分AB 交BC 于点 D, 的周长为50cm,∴AC+ 故选C.
9. C
10.【解】(1)如图(1),直线l即为所求作的直线.
(2)①当 时,如图(2)所示.
直线 与 间的距离为2，且l与 间的距离等于l与 间的距离，根据图形的对称性可知
②当 时，如图(3)所示.分别过点 A，C作直线 的垂线，垂足为M,N,
直线 与 间的距离为2，且l与 间的距离等于l与 间的距离，
又
在 中，由勾股定理得
③当 时，如图(4)所示，同②可得，
综上所述，△ABC的面积为1或