福建省南平市2025届高中毕业班第三次质量检测（南平三检）（图片版，含答案）

南平市 2025 届高中毕业班第三次质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分．
1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B
二、选择题：每小题 5 分，满分 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．AC 10．BCD 11．BCD
三、填空题：每小题 5 分，满分 20 分．
12． 7 ．5 4 213 14． 4 3 ， （第一个空 2 分，第二个空 3 分）
3 3
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 13 分）
π
解：（1）证明：由正弦定理，得 sin C sin( + B) = sin Asin C ， …… 2 分
3
因为0 C π ，所以 sin C 0 ，
所以 sin(
π + B) = sin A ． …… 3 分
3
又因为 a = b ，所以 A = B，
π π
所以 + B + A = π， + 2A = π .
3 3
A = π解得 ． …… 6 分
3
又因为 a = b ，
所以△ABC 为等边三角形． …… 7 分
（2）在△ACD 中，由余弦定理，得 AC2 = DA2 + DC2 2DA DC cos ADC ，
解得 AC2 = 21． ……10 分
四边形 ABCD 的面积 3S = S△ABC + S△ACD = 21+
1 3 3 sin 5π = 6 3 ，
4 2 6
数学参考答案 第 1 页 共 7 页
所以四边形的 ABCD 面积为6 3 . ……13 分
16．（本题满分 15 分）
解：（1） f (x) = e
x 1 2， …… 1 分
令 f (x) = 0 ，解得 x =1+ ln 2 ． …… 2 分
当 x ( ，1+ ln 2)时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
当 x (1+ ln 2，+ )时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增．
所以 f (x) 的单调减区间为 ( ，1+ ln 2)，单调增区间为 (1+ ln 2，+ ) ． … 6 分
x+ln x 1
（2）解法一：设 g(x) = xf (x) + x ln x （ x 0 ），则 g(x) = e (x + ln x) ， … 9 分
设 t = x + ln x 1（ t R ），要证 g(x)≥0 ，
t
即证 e (t +1)≥0． ……10 分
t t
设 h(t) = e (t +1) ，令 h (t) = e 1= 0，得 t = 0 ， ……12 分
t ( ，0) 时， h (x) 0 ， h(x) 单调递减；
t (0，+ ) 时， h (x) 0， h(x) 单调递增．
所以 h(t) e
t (t +1)≥0
min = h(0) = 0，所以 ．
则 xf (x) + x ln x≥0，得证． ……15 分
解法二： 设 g(x) = xf (x) + x ln x （ x 0 ），
则 g (x) = (x +1)ex 1 1 1 ． …… 7 分
x
g (x) = (x +1)(ex 1即 1 ) …… 8 分 x
t (x) = ex 1 1因为 x 0 ，所以函数 在 (0，+ ) 上单调递增，且 t(1) = 0． ……12 分
x
当 x (0，1) 时， t(x) 0 则 g (x) 0 ， g(x) 单调递减；
当 x (1，+ ) 时， t(x) 0 则 g (x) 0， g(x) 单调递增．
g(x) = g(1) = 0 ，所以 xf (x) + x ln x≥0min ，得证． ……15 分
17．（本题满分 15 分）
解：（1）解法一：因比赛局数为 4（若到第 4 局未分胜负比赛也终止），
所以第四局甲队或乙队可胜可负，
则只需考虑前两局比赛即可． …… 2 分
数学参考答案 第 2 页 共 7 页
前两局甲队和乙队各胜 1 局负 1 局，
所以所求概率 p0 = 2
1 2 = 4 ． …… 4 分
3 3 9
解法二：若 4 局比赛结束甲队赢得比赛，甲乙两队的得分情况为 3：1，
1 2 2 1 4
此时对应的概率 P1= 2 ( ) = ． …… 1 分
3 3 3 81
若 4 局比赛结束乙队赢得比赛，甲乙两队的得分情况为 1：3，
2 2 1 2 16
此时对应的概率 P2= 2 ( ) = ． …… 2 分
3 3 3 81
若 4 局比赛结束时甲乙两队的得分情况为 2：2，
2 2 1 2 16
此时对应的概率 P3= 4 ( ) ( ) = ． …… 3 分
3 3 81
p = 4 + 16 16所以所求概率为 0 + =
4
…… 4 分
81 81 81 9
解法三：当比赛结束时比赛局数最多为 4 局时，
比赛结束时比赛局数为 4 局的对立事件是比赛结束时比赛局数为 2 局，
…… 2分
所以所求概率为 p0 =1 (
1)2 (2)2 = 4 …… 4 分
3 3 9
（2）设“在比赛终止时甲队得 2 分”为事件 A，设“甲队赢得比赛”为事件 B．
若 2 局比赛结束且甲队赢得比赛，则甲乙两队的得分情况为 2：0，
P(AB) = 1 1 1所以 = ． …… 5 分
3 3 9
若 4 局比赛终止时甲队得 2 分，则甲乙队的得分情况为 2：2，
此时 P(AB) = 4 (
2)2 (1)2 = 16 ． …… 6 分
3 3 81
1 16 25
所以 P(A)= + = ． …… 7 分
9 81 81
1
P(AB)
P(B A) = = 9所以 =
9
．
P(A) 25 25
81
9
答：已知比赛终止时甲队得 2 分，甲队赢得比赛的概率为 …… 8 分
25
（3）依题意， X ~ B(20，
4) ， …… 9 分
9
k 4 k 5 20 k
其中 P(X = k) = C20 ( ) ( ) ，k=0，1，2，……，20． ……10 分 9 9
P(X = k)≥P(X = k +1)，
当 k ≥1 时，由
P(X = k)≥P(X = k 1)，
数学参考答案 第 3 页 共 7 页
C k (4)k (5 20 k k+1 4 k+1 5 19 k
20
) ≥C20 ( ) ( ) ，9 9 9 9
得 ……12分
C k (4)k (5)20 k20 ≥C
k 1(4)k 1(5)21 k ，
9 9 20 9 9
75 84
解得 ≤k≤ ． ……14 分
9 9
又 k N ，所以能完成常见动作招式的人数最有可能（即概率最大）是 9．
……15 分
18．（本题满分 17 分）
x2 y
2
解：（1）设椭圆的方程为 + =1 (a b 0)2 2 ， a b
由题意知，点 P (c，1)在椭圆上，
c2
所以 +
1 =1 ，
a2 b2
1 c2 a2 c2 b2=1 = =
b2 a2 a2 a2
，
所以 b
2
=1． …… 1 分
a
因为 a = 2 ，所b2 = 2 ， …… 2 分
2 y2
所以所求椭圆方程为 x + =1． …… 3 分
4 2
（2）解法一：①由条件可知，直线 l1 、 l2 斜率存在且不为 0 和 1 ，
设 l : x = ty +1 (t 0，t 1)1 ， A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )，
x2 y
2
+ =1 (t2 + 2) y2联立 4 2 ，整理得 + 2ty 3 = 0， …… 4 分
x = ty +1
y 2t 3所以 1 + y2 = y y =2 ， 1 2 2 ， …… 5 分 t + 2 t + 2
y + y
所以 y = 1 2 =
t
， xM = tyM +1=
2
M 2 2 ， 2 t + 2 t + 2
M 2 ,
t
2 2 ． …… 6 分
t + 2 t + 2


1
2t2 2 t ， t 同理可得，CD 的中点 N , ， 即 N 1 1 2t2 +1 2t2
． …… 7 分
+ 2 + 2
+1

t
2 t2
2
直线MT ：
1
x = 2t + 2 y + 2，直线CD：x = y +1，
t t
数学参考答案 第 4 页 共 7 页
2t2x = + 2 y + 2，
t N ( 2t
2
， t联立 解得 )
2t 2 +1 2t 2
，
+1x = 1 y +1，
t
所以 N 为CD 的中点． ……10 分
解法二：
①由条件可知，直线 l1 、 l2 斜率存在且不为 0 和 1 ，
设 l : x = ty +1 (t 0，t 1)1 ， A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )，
2 y2
x + =1 2
联立 4 2 ，整理得 (t + 2) y2 + 2ty 3 = 0， …… 4 分
x = ty +1
y 2t 3所以 1 + y2 = ， y1y2 =2 2 ， …… 5 分 t + 2 t + 2
y + y t 2
所以 yM =
1 2 = ， xM = tyM +1= 2 ，
2 t2 + 2 t + 2
M 2 ,
t
2 2 ． …… 6 分
t + 2 t + 2


1
2t2 t
同理可得，CD 的中点 N
2
,
t
， 即 N ，2 ． …… 7 分 1 + 2 1 + 2 2t +1 2t
2 +1

t 2 2

t
t
k = t k 2t
2 +1 t
因为 MT 2 ， N T = = ， 2t + 2 2t2 2 2t
2 + 2
2t2 +1
所以M ，N ，T 三点共线， N ，N 重合，
所以 N 为CD 的中点． ……10 分
解法三：设 l : y = k(x 1) (k 0,k 1) ， A(x1, y1 ) B (x1 ， 2 , y2 )．
2 y2
x + =1， 2 2
联立 4 2 整理得， (1+ 2k ) x 4k 2x + 2k 2 4 = 0， …… 4 分
y = k(x 1)，
x + x = 4k
2
x x = 2k
2 4
所以 ， ， 1 2 1 2 …… 5 分
1+ 2k 2 1+ 2k 2
x + x 2k2 k
所以 xM =
1 2 = ， yM = k(xM 1) = 2 ，
2 1+ 2k 2 1+ 2k

M 2k
2 k
, ． …… 6 分
1+ 2k
2 1+ 2k 2
数学参考答案 第 5 页 共 7 页
2
2( 1 ) ( 1 ) k k 2 k
同理同理可得CD 的中点 N ,2 2 ，即 ，2 2 ．… 7 分
1+ 2
(
1 ) ( 1 ) k + 2 k + 2 1+ 2 k k
k
k = k k
2 + 2
因为 MT 2 ， kN T = =
k
2 ， 2k + 2 2 2 2k + 2
k 2 + 2
所以M ，N ，T 三点共线， N ，N 重合，
所以 N 为CD 的中点． ……10 分
②因为 OT = 2，则△MON 的面积
1
1 = tS = OT y y tM N 2 ……11 分 2 t + 2 1 + 2
t 2
t 1 t 1
= t
3 t t t= =
2t4 2 2
． ……13 分
+ 5t + 2
2t2 + 2 + 5 2 t 1 + 9
t2 t
u 1 1
1 S = = ≤ =
2
令u = t 0 ，则 2u2 + 9 2u + 9 9 12 ， ……15 分 t
u 2 2u u
9
当且仅当 2u = ，即u = 3 2 时，△MON 的面积取最大值 2 ． ……17 分
u 2 12
19.（本题满分 17 分）
解：（1）按分割方式，可将长方体分割成 8 个完全相同的小长方体，
故小长方体个数 s=8 ． …… 1 分
此时小长方体的顶点数、棱数、面数分别为 v =8 ， e =12 ， f =6 (i =1，2， ，8)i i i ，
8 8 8
所以 vi =V + a=64 ， ei = E + b=96， fi = F + c=48 ，
i=1 i=1 i=1
因此 a = 56，b = 84 ， c = 42 .
故 s=8 ，a = 56，b = 84 ，c = 42 ． …… 4 分
（2）正四面体是“m —等和多面体”． …… 5 分
分割方式：设该正四面体的外接球球心为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将该正
四面体分割成四个完全相同的小正三棱锥：O ABC ，O ABD，O ACD ，O BCD ．
…… 7 分
数学参考答案 第 6 页 共 7 页
此时小正三棱锥的顶点数、棱数、面数分别为v (i =1，2，3，4)i =4 ， ei =6 ， fi =4 ，
4 4 4
所以 vi =V + a=16 ， ei = E + b=24， fi = F + c=16，
i=1 i=1 i=1
所以 a =12 ，b =18 ， c =12 ．
正四面体的顶点数、面数、棱数满足m =V + F + E =14 ．
所以m =14 ， s=4 ，a =12 ，b =18 ，c =12 ． …… 12 分
说明：①本题为开放题答案不唯一，只要满足分割后的多面体完全相同即可．
②判断是“m —等和多面体”，则m 的结果给分，若没有判断直接给m 的值
不给分．
③先描述分割方式，再求 s，a，b，c 才能给分，未描述直接求 s，a，b，c 的值不
给分．
（3）由欧拉公式可知，简单多面体的顶点数、棱数、面数满足V E + F = 2 ．
分割后的小多面体的顶点数、棱数、面数满足v e + f = 2 (i =1, 2, , s)i i i ，
s
则 (vi ei + fi ) = 2s ，
i=1
s s s
即 vi ei + fi = 2s ． …… 13 分
i=1 i=1 i=1
s s s
又因为 vi =V + a ， ei = E + b， fi = F + c ，
i=1 i=1 i=1
代入可得 (V +a) (E + b)+ (F + c) = 2s ． …… 15 分
又因为V E + F = 2 ，
a c + b + 2
所以 s= ．
2
s a b c s= a c + b + 2所以分割后小多面体的个数 与 ， ， 的等量关系为 ． …… 17 分
2
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