重庆市高 2025 届高三第八次质量检测
数学试题 2025.05
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合A={x|x= 2k+ 1，k∈Z}，B={x|x= k+ 2，k∈Z}，则
A. A B B. B A C. A=B D. A∩B=
2.已知 p：m= 2，q：复数 z=m2- 4+ m+2 i m∈R 为纯虚数，则 p是 q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 e 为单位向量，向量 a= 3,1 ，若 cos a ,e = 1 2 ，则 a a
-e =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. π已知 α∈ 0, 2 ，2sin2α= cos2α+ 1，则 cosα=
A. 3 B. 53 5 C.
2 2 5
2 D. 5
5.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球
心的数层空心球，已知鬼工球最内层的空心球上有 2个雕孔，且向外每层雕孔
数依次增加 2个．现制作两个这样的鬼工球，层数分别为 k层和 5层 (k∈N *
且 k> 5)，若 k层鬼工球与 5层鬼工球的雕孔总数的比值为 3，则 k=
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.已知定义域为R的连续函数 f(x)满足：① f(x+ 6)为偶函数；② x∈R，f(2+ x) + f(4- x) = 0；
∈ , f x1 - f xx x 2 ③ 1， 2 0 3 ， x -x > 0．则 f(2)，f(5)，f(121)的大小顺序为1 2
A. f(2)< f(5)< f(121) B. f(2)< f(121)< f(5)
C. f(121)< f(2)< f(5) D. f(5)< f(2)< f(121)
7.正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6，侧棱长为 6，则其外接球的表面积为
A. 15π B. 30 3π C. 60π D. 60 3π
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2 y2
8. C x - = 1 a>0 π已知双曲线 ： 2 2 ，b> 0)，倾斜角为 3 的直线 l与C的渐近线交于A，B两点 (A在第一a b
象限，B在第四象限)，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与C的一个交点为N - 3,-2 ,
则双曲线C的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 3
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分.
9.已知函数 f x = sin ωx- π3 ω > 0)与函数 g(x) = sin(2x+ φ) (0< φ< π)的图象有相同的对称轴，则
A. ω= 2
B. φ= 2π3
C.将 f(x)的图象向左平移 π个单位可得到 g(x)的图象
D.函数 y= f(x) - g(x)在 [0，2π]内有 4个零点
10.设A，B 1 1为一次随机试验中的两个事件，若P A = 3 ，P B|A =P A∣B = 2 ，则
A. P AB = 1
B. P AB = 23 3 C. P
1
B = 3 D. A与B相互独立
11.已知 x，y∈R，若 e2x- ey= x2- 2y,则下列关系式能成立的是
A. x< y< 0 B. y< 0< x C. x< 0< y D. 0< y< x
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 2x- 1
6
x 的展开式的常数项是________(用数字作答)．
13.若圆 x2+ y2= 4与圆 x2+ y2+ 2ay- 6= 0 a>0 的公共弦长为 2 3，则 a=________．
14.数列 {an}满足 an+1+ -1 n an= 3n+ 1，则 {an}的前 100项和S100=________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
记△ABC π的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asinB= bcos A- 6 ．
(1)求A；
(2)若 a= 7，2b= 3c，点D在边BC上，且∠BAD=∠CAD，求AD的长．
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16. (15分)
如图，在四面体ABCD中，AB=AC=AD=BD= 4，CB=CD= 2 2，E、F分别为AB、AD的中点，
过EF的平面 α分别交棱BC、CD(不含端点)于P、Q两点．
(1)证明：PQ∥BD；
(2)若BP= 3PC，求二面角C-EF-P的正弦值．
17. (15分)
在平面直角坐标系 xOy中，已知动点M与定点F(2，0)的距离和M到定直线 x= 4的距离的比是常数
2
2 ．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P(0，1)，过点P的直线 l交C于A，B两点，连接AF，BF，若 AF BF = 8，求直线 l的方程．
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18. (17分)
f x = 1 1已知函数 3 23 x - 2 ax + x+ 1 a∈R ．
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)已知函数 g x = ax- f x a>0且a≠1 ．
(i)若 a≥ e，求证：当 x∈ 0,1 时，g x > 0；
(ii)若 a≥ 2，函数 g(x)在区间 (0，1)上存在唯一零点，求 a的取值范围．
19. (17分)
在一款冒险游戏中，共有编号为从 1到 n+ 1 n≥4,n∈N 的 n+ 1个平台从前至后排列，玩家从平台 1
出发．玩家需投掷一个质地均匀的骰子 (6个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)：若骰子向上的面的点数小
于 3，则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3，则移动到相邻的后一平台．投掷机会耗
尽时到达的平 台 编 号 数 即为其最终得分；在挑战过程中，当他处于平台 1而需要移动到前一平台时，游戏立
刻结束，得分为 0．玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战)不会停止挑战．
(1)若玩家拥有 3次投掷机会，求在他的最终得分为 0分的条件下，抛掷结果中有且仅有两次点数小于
3的概率；
(2)设玩家拥有m(1≤m≤n，且m∈N )次投掷机会，其最终得分为Xm
(i)求E X4 ；
( pii)设P Xn-1=0 = p 1，证明：当n为偶数时，E Xn =E Xn-1 + 3 - 3
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数学试题参考答案与评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
8
9
10
11
选项
A
C
B
D
D
B
ABD
AC
BC
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，
1.A【解析】集合A为所有奇数，集合B为所有整数，故A是B的子集.
2.C【解析】当m=2时，复数名=41为纯虚数；
m2-4=0
当复数z=m2-4+(m+2)i(m∈R)为纯虚数时，有
m+2≠0，解得m=2;
综上，P为g的充要条件
3.B【解杯1小1e1=1,1a1=2,故a(a-e)=la2-d.e=la2-1a11 lo(a,e)=4-2x1×7-3.
4.D【解析】由2sin2a=cos2+1,有4sinc0s=2cos2a,
a∈0，》csa>0,2sinu=msa,即tane
.2V5
2c0s&=9
5
5.D【解析】中题意，这样的鬼工球第层的雕孔数为2个，则n层鬼工球的雕孔总数为2(1+2+…+)
=n(n+1)个，.k(k+1)=3×(5×6),即2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍).
6.C【解析】由①，有f代x+6)=f(-x+6),∴(x)关于直线x=6对称；由②，令t=2+x,则x=t-2,
有f代6-t)=-f代t),∴.f(x)关于点(3,0)对称；易得f(x)的周期为12，故f(121)=f(1);由③，
知f(x)在(0,3)单调递增，(x)关于点(3,0)对称，f代x)在(3,6)单调递增，又f(x)在R上
连续，f(x)在(0,6)单调递增，故有f(1)7.C【解析】设O1、02分别为上底面A1BC1、下底面A2B2C2的中心，
则01A1=V3,02A2=23,A1A2=6,可得0102=3.
设外接球的半径为R,由对称性，外接球的球心0在直线0，O2上，
设0到平面的A2B2C2的距离为d,由几何关系知，
若0在线段0,02上，则=3+(3-d)2=12+,解得d=-5(舍)，
若0在线段O02的延长线上，则2=3+(v3+d)2=12+2,解得d=5,
∴，R2=15,.外接球的表面积为4mR2=60m.
8.B【解析】双曲线C的渐近线为y=。x,y=-马x
可设名)，叫刘得名.到
名年名司如及后=丙成术聚到名-
4x1-2
2，
~2
双曲线c的离心率为1+(=5，
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