浙江省湖州市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试卷
1．（2024高二下·湖州期末）设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若与共线 且方向相同，则，且，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线列方程求出的值即可.
2．（2024高二下·湖州期末）若复数（为虚数单位），则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，则，.
故答案为：D.
【分析】根据复数的代数运算化简复数，再求其共轭复数，并求模即可.
3．（2024高二下·湖州期末）在△ABC中，A>B是cosAA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；余弦函数的性质
【解析】【解答】因为，余弦函数在（0，π)是减函数，所以由A>B得到cosAB，即在△ABC中，A>B是cosA【分析】简单题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。本题运用了集合关系法。
4．（2024高二下·湖州期末）的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，解得，则的展开式中常数项是第四项即：，解得，
则的展开式系数和为，即，
的展开式二项式系数和为，即，故.
故答案为：A.
【分析】先写出展开式的通项公式求出常数项，并求值，再由二项式系数和是求得m，利用赋值求n的值，即可求得的值.
5．（2024高二下·湖州期末）若函数为偶函数，则实数a的值为( )
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：的定义域为，因为为偶函数，所以，，
即，解得，故.
故答案为：A.
【分析】根据偶函数定义式列式求解即可.
6．（2024高二下·湖州期末）已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，满足，且，
A、，故A错误；
B、，，，故B错误；
C、，，，故C错误；
D、，，则，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由求概率即可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质即可判断BCD.
7．（2024高二下·湖州期末）商家为了解某品牌电风扇的月销售量（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温 27 29 31 33
月销售量（台） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（ ）台.
A．63 B．61 C．59 D．57
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易知，
因为经验回归方程必过点，，所以，解得，
则，
当时，，则估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为件.
故答案为：A.
【分析】由表中数据先求的值，根据经验回归方程必过样本点中心，求得的值，得回归直线方程，代入，求解即可.
8．（2024高二下·湖州期末）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则切线的斜率为，，
将代入中，可得，则，
，
令，求导可得，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，上单调递减，即，
故的最大值为.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义得到，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性得到，即可得到的最大值.
9．（2024高二下·湖州期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1
B．正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”
C．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好
D．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】B,C
【知识点】独立性检验；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、相关系数的绝对值越接近1，两个变量线性相关性越强，故A错误；
B、正态曲线中当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”，故B正确；
C、 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 ，故C正确；
D、对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用独立性检验和变量间的关系、回归直线的相关系数、正态分布曲线的特点逐项判断即可.
10．（2024高二下·湖州期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A．
B．
C．当面积为时，点在圆上运动
D．点的坐标为
【答案】A,B,D
【知识点】积化和差公式；任意角三角函数的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、易知，，因为为的中点，所以，故A正确；
B、易知，，
，，
则，故B正确；
C、由，则，，
设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误；
D、由题意可得，，因为的中点，则，其中，
因
故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，结合单位圆中角的表示即可判断AB；再利用任意角的三角函数和三角形的面积公式，积化和差公式，即可判断CD.
11．（2024高二下·湖州期末）有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、由题意可知：表示从1号盒子取白球，从2号盒子也取出白球，则，故A错误；
B、由题意可得：，则，故B正确；
C、易知，，
则，故C正确；
D、由题意可得：，，
，
则，
即数列是以为公比，为首项的等比数列，
即，即，
，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据独立事件的概率公式求解即可判断A；根据条件概率公式求解即可判断B；根据和事件的概率公式求解即可判断C；由题意可得，，然后求出比较即可判断D.
12．（2024高二下·湖州期末）边长为2的正方形中，分别为的中点，则 .
【答案】4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，
.
故答案为：4.
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.
13．（2024高二下·湖州期末）2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去社区，2人去B社区，则不同的分配方案有 种（用数字作答）.
【答案】30
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先从5位志愿者中选3人 ，有种，再从选取的3人中选1人去社区有，由分步乘法计数原理得不同的分配方案为种.
故答案为：.
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
14．（2024高二下·湖州期末）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令，，，
由题意可知：对任意恒成立，且，
，得，
若，令，
则，即函数在上单调递增，
且，即对任意恒成立，
则在上单调递增，且，
综上，当符合题意，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，，问题转化为对任意恒成立，且，再转化为，求出的范围，检验即可.
15．（2024高二下·湖州期末）已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若边的中线，且面积为，求的值.
【答案】（1）解：，
由正弦定理可得：，
则，即，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以；
（2）解：因为是边的中线，所以，两边平方得，
即，
即，
代入得，整理可得①；
又因为，，所以②；
①②联立可得：，
又因为，即，所以，
则，即.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用中线长的向量表达式，两边平方，将向量转化为三角形的边角，得到，再用余弦定理得到，最后用面积公式得到，求出、和，进而求出即可.
（1），
由正弦定理得，
即，
即，又，
所以，即，，
.
（2）依题意，得，两边平方得，
而，
代入得，得到( )；
又因为，，化简得到( )；
( )与( )联立得到，，
又，即，所以，
则，.
16．（2024高二下·湖州期末）2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人 董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
年龄段 购车意愿
愿意购买SU7 不愿购买SU7
青年 45 15 60
中年 15 25 40
合计 60 40 100
（1）请根据小概率值的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；
（2）在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（参考公式：，其中.）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关；
（2）解：根据分层抽样可知：抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，则
随机变量的分布列：
0 1 2 3
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再利用参考公式计算值，与临界值比较判断即可；
（2）根据分层抽样确定抽取的8名中，青年3名，中年5名，根据超几何分布求概率，列出分布列，计算期望值即可.
（1）零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关.
根据表中数据可得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关.
（2）按性别比例分层抽样抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，则
故随机变量的分布列
0 1 2 3
故随机变量的数学期望为.
17．（2024高二下·湖州期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，为线段上的动点，.
（1）证明：；
（2）求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小.
【答案】（1）证明：因为且为线段的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：因为平面，平面，则，
又因为，，面，所以平面，
又因为平面，则平面平面，平面平面，平面，
所以平面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，即，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，即，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，
所以，令，则，
，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，即时，，则.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据面面垂直得到平面，证明即可；
（2）先证明平面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求解即可.
（1）因为且为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为平面，平面，则，
又，，面，所以平面，
因为平面，则平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，
所以，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
所以，
令，则，
所以
，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，，则.
18．（2024高二下·湖州期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1，现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点.
（1）若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
（2）为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：.
【答案】（1）解：记事件“节点收到信号1”，事件“节点收到信号”，
则，且.
，
故节点2收到信号1的概率为；
（2）解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率：
记，，
则，
即，
构造得，因为，所以，
即节点收到信号1的概率为，
由，可得，两边取以10为底的对数，，
则，即的最大值为7.
【知识点】全概率公式
【解析】【分析】（1）记事件“节点收到信号1”，“节点收到信号”，得到，结合求解即可；
（2）根据题意，节点收到信号1的概率，，求得，结合对数的运算求解即可.
（1）解：记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，
则，
且.
，
所以节点2收到信号1的概率为.
（2）解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率：
记，则，
则，
即，
构造得，又，
所以，
即节点收到信号1的概率为.
由，得，
两边取以10为底的对数，，
所以，即的最大值为7.
19．（2024高二下·湖州期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调区间与极值；
（2）若且恒成立，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即，无极大值；
综上：当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，无极大值；
（2）解：当时，由（1）知：，
由，可得，即，
故，当且仅当时成立，即；
（3）证明：由（2）知，当时，，
构造函数，有两个零点，当且仅当，
有两个零点等价于的两个零点，即①，
由①式得，
要证，即证，即证，即证，
即证（令），即证，
令，易知，函数在上单调递增，
故，即成立，故原不等式成立，证毕.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、讨论，利用导数的正负讨论函数的单调区间与极值即可；
（2）当时，由（1）得，求的最大值即可；
（3）由（2）得，故，进而得到，结合整理得，令，再构造函数，证其单调性即可证得结果.
（1）当时，恒成立，在递增，无极值；
当时，得；得，
所以在递减，在递增，
故，无极大值；
（2）当时，由（1）知.
由得，即，
故，当且仅当时成立，
即.
（3）由（2）知，当时，
令，则有两个零点，当且仅当.
有两个零点等价于的两个零点
即
由（*）式得
要证，即证，即证
即证
即证（令），即证
令在递增，故
，即成立，故原不等式成立，证毕.
1 / 1浙江省湖州市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试卷
1．（2024高二下·湖州期末）设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024高二下·湖州期末）若复数（为虚数单位），则（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2024高二下·湖州期末）在△ABC中，A>B是cosAA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·湖州期末）的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·湖州期末）若函数为偶函数，则实数a的值为( )
A． B．0 C． D．1
6．（2024高二下·湖州期末）已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·湖州期末）商家为了解某品牌电风扇的月销售量（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温 27 29 31 33
月销售量（台） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（ ）台.
A．63 B．61 C．59 D．57
8．（2024高二下·湖州期末）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·湖州期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1
B．正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”
C．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好
D．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10．（2024高二下·湖州期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A．
B．
C．当面积为时，点在圆上运动
D．点的坐标为
11．（2024高二下·湖州期末）有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·湖州期末）边长为2的正方形中，分别为的中点，则 .
13．（2024高二下·湖州期末）2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去社区，2人去B社区，则不同的分配方案有 种（用数字作答）.
14．（2024高二下·湖州期末）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
15．（2024高二下·湖州期末）已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若边的中线，且面积为，求的值.
16．（2024高二下·湖州期末）2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人 董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
年龄段 购车意愿
愿意购买SU7 不愿购买SU7
青年 45 15 60
中年 15 25 40
合计 60 40 100
（1）请根据小概率值的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；
（2）在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（参考公式：，其中.）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2024高二下·湖州期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，为线段上的动点，.
（1）证明：；
（2）求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小.
18．（2024高二下·湖州期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1，现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点.
（1）若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
（2）为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：.
19．（2024高二下·湖州期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调区间与极值；
（2）若且恒成立，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若与共线 且方向相同，则，且，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线列方程求出的值即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，则，.
故答案为：D.
【分析】根据复数的代数运算化简复数，再求其共轭复数，并求模即可.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；余弦函数的性质
【解析】【解答】因为，余弦函数在（0，π)是减函数，所以由A>B得到cosAB，即在△ABC中，A>B是cosA【分析】简单题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。本题运用了集合关系法。
4．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，解得，则的展开式中常数项是第四项即：，解得，
则的展开式系数和为，即，
的展开式二项式系数和为，即，故.
故答案为：A.
【分析】先写出展开式的通项公式求出常数项，并求值，再由二项式系数和是求得m，利用赋值求n的值，即可求得的值.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：的定义域为，因为为偶函数，所以，，
即，解得，故.
故答案为：A.
【分析】根据偶函数定义式列式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，满足，且，
A、，故A错误；
B、，，，故B错误；
C、，，，故C错误；
D、，，则，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由求概率即可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质即可判断BCD.
7．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易知，
因为经验回归方程必过点，，所以，解得，
则，
当时，，则估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为件.
故答案为：A.
【分析】由表中数据先求的值，根据经验回归方程必过样本点中心，求得的值，得回归直线方程，代入，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则切线的斜率为，，
将代入中，可得，则，
，
令，求导可得，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，上单调递减，即，
故的最大值为.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义得到，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性得到，即可得到的最大值.
9．【答案】B,C
【知识点】独立性检验；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、相关系数的绝对值越接近1，两个变量线性相关性越强，故A错误；
B、正态曲线中当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”，故B正确；
C、 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 ，故C正确；
D、对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用独立性检验和变量间的关系、回归直线的相关系数、正态分布曲线的特点逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】积化和差公式；任意角三角函数的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、易知，，因为为的中点，所以，故A正确；
B、易知，，
，，
则，故B正确；
C、由，则，，
设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误；
D、由题意可得，，因为的中点，则，其中，
因
故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，结合单位圆中角的表示即可判断AB；再利用任意角的三角函数和三角形的面积公式，积化和差公式，即可判断CD.
11．【答案】A,B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、由题意可知：表示从1号盒子取白球，从2号盒子也取出白球，则，故A错误；
B、由题意可得：，则，故B正确；
C、易知，，
则，故C正确；
D、由题意可得：，，
，
则，
即数列是以为公比，为首项的等比数列，
即，即，
，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据独立事件的概率公式求解即可判断A；根据条件概率公式求解即可判断B；根据和事件的概率公式求解即可判断C；由题意可得，，然后求出比较即可判断D.
12．【答案】4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，
.
故答案为：4.
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.
13．【答案】30
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先从5位志愿者中选3人 ，有种，再从选取的3人中选1人去社区有，由分步乘法计数原理得不同的分配方案为种.
故答案为：.
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令，，，
由题意可知：对任意恒成立，且，
，得，
若，令，
则，即函数在上单调递增，
且，即对任意恒成立，
则在上单调递增，且，
综上，当符合题意，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，，问题转化为对任意恒成立，且，再转化为，求出的范围，检验即可.
15．【答案】（1）解：，
由正弦定理可得：，
则，即，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以；
（2）解：因为是边的中线，所以，两边平方得，
即，
即，
代入得，整理可得①；
又因为，，所以②；
①②联立可得：，
又因为，即，所以，
则，即.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用中线长的向量表达式，两边平方，将向量转化为三角形的边角，得到，再用余弦定理得到，最后用面积公式得到，求出、和，进而求出即可.
（1），
由正弦定理得，
即，
即，又，
所以，即，，
.
（2）依题意，得，两边平方得，
而，
代入得，得到( )；
又因为，，化简得到( )；
( )与( )联立得到，，
又，即，所以，
则，.
16．【答案】（1）解：零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关；
（2）解：根据分层抽样可知：抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，则
随机变量的分布列：
0 1 2 3
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再利用参考公式计算值，与临界值比较判断即可；
（2）根据分层抽样确定抽取的8名中，青年3名，中年5名，根据超几何分布求概率，列出分布列，计算期望值即可.
（1）零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关.
根据表中数据可得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关.
（2）按性别比例分层抽样抽取8名调查者中，有青年3名，中年5名，
若在被抽取的8名中再随机抽取5名，则
故随机变量的分布列
0 1 2 3
故随机变量的数学期望为.
17．【答案】（1）证明：因为且为线段的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：因为平面，平面，则，
又因为，，面，所以平面，
又因为平面，则平面平面，平面平面，平面，
所以平面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，即，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，即，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，
所以，令，则，
，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，即时，，则.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据面面垂直得到平面，证明即可；
（2）先证明平面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求解即可.
（1）因为且为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为平面，平面，则，
又，，面，所以平面，
因为平面，则平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，
所以，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
所以，
令，则，
所以
，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，，则.
18．【答案】（1）解：记事件“节点收到信号1”，事件“节点收到信号”，
则，且.
，
故节点2收到信号1的概率为；
（2）解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率：
记，，
则，
即，
构造得，因为，所以，
即节点收到信号1的概率为，
由，可得，两边取以10为底的对数，，
则，即的最大值为7.
【知识点】全概率公式
【解析】【分析】（1）记事件“节点收到信号1”，“节点收到信号”，得到，结合求解即可；
（2）根据题意，节点收到信号1的概率，，求得，结合对数的运算求解即可.
（1）解：记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，
则，
且.
，
所以节点2收到信号1的概率为.
（2）解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率：
记，则，
则，
即，
构造得，又，
所以，
即节点收到信号1的概率为.
由，得，
两边取以10为底的对数，，
所以，即的最大值为7.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即，无极大值；
综上：当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，无极大值；
（2）解：当时，由（1）知：，
由，可得，即，
故，当且仅当时成立，即；
（3）证明：由（2）知，当时，，
构造函数，有两个零点，当且仅当，
有两个零点等价于的两个零点，即①，
由①式得，
要证，即证，即证，即证，
即证（令），即证，
令，易知，函数在上单调递增，
故，即成立，故原不等式成立，证毕.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分、讨论，利用导数的正负讨论函数的单调区间与极值即可；
（2）当时，由（1）得，求的最大值即可；
（3）由（2）得，故，进而得到，结合整理得，令，再构造函数，证其单调性即可证得结果.
（1）当时，恒成立，在递增，无极值；
当时，得；得，
所以在递减，在递增，
故，无极大值；
（2）当时，由（1）知.
由得，即，
故，当且仅当时成立，
即.
（3）由（2）知，当时，
令，则有两个零点，当且仅当.
有两个零点等价于的两个零点
即
由（*）式得
要证，即证，即证
即证
即证（令），即证
令在递增，故
，即成立，故原不等式成立，证毕.
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