第二十六章反比例函数同步强化练习（含解析）

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第二十六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD=2：1，S△ADC=．则k的值为（　　）
A． B．16 C． D．10
2．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　）
A．6 B．3 C．﹣6 D．﹣3
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，O是坐标原点，□OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则S□OABC的值为（ ）
A．27 B．15 C．12 D．无法确定
6．如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A．当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B．图像位于第一、三象限
C．压强随受力面积的增大而减小
D．图像不可能与坐标轴相交
8．已知P（x1 ， 1），Q（x2 ， 2）是一个函数图象上的两个点，其中x1＜x2＜0，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．反比例函数的图象上有两点、且，那么与之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．正比例函数y=2x与反比例函数y=在同一坐标系的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知矩形的面积为16，则矩形的宽y是长x的（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．不能确定
12．如图，在直角坐标系中，点A在函数的图像上，轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数的图像交于点D，连接AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于，则k的值为（　　　）
A． B． C．4 D．
二、填空题
13．已知y是x的反比例函数，且xy＝－8，又知当x＝m时，y＝－2m，则m的值为________．
14．如图，点A是y轴正半轴上一点，过点A作y轴的垂线交反比例函数y＝的图象于点B，交反比例函数y＝的图象于点C，若AB＝2AC，则m的值是 ．
15．如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则 ．
16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．
17．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为时，视野为80度.如果视野f(度）是关于车速的反比例函数，则f，v之间的函数关系式为 ；当车速为时，视野的度数为 度.
三、解答题
18．在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 3 …
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
19．如图，反比例函数（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△A'BC，A'C交反比例函数于点P，连接BP，求直线A’C的解析式和△BCP的面积；
(3)在坐标平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．
20．已知正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都过A（m，1）点，求出正比例函数解析式及另一个交点的坐标．
21．如图，在平的直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点．求双曲线表示的函数解析式．
22．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．

(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．
23．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交于点和点．
（1）当时，求反比例函数的解析式；
（2）已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线交于A，B和C，D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形问：平行四边形ACBD能否成为矩形？能否成为正方形？若能，请说明线段AB，CD的位置关系；若不能，请说明理由；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
24．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣4．，
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接ED，求△ADE的面积．
《第二十六章反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A B A B A B D
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】利用反比例函数k与面积的关系，求出k值.
【详解】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．
∵BC：CD=2：1，S△ADC=，
∴S△ACB=，
∵OA=OB，
∴B（2m，2n），S△AOC=S△ACB=，
∵A、C在y=上，BC=2CD，
∴C（m， n），
∵S△AOC=S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF=S梯形AEFC，
∴ （n+n）×m=，
∴mn=16，
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用反比例函数中k的几何意义.
2．C
【分析】设出点坐标，根据题意得出、点的坐标，再根据面积公式刚好消掉未知数求出面积的值；
【详解】解：根据题意设，
正比例函数与函数的图象交于两点，
，
轴，轴，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．C
【详解】作AE⊥BC于E，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=| k|，
∴| k|=6，
而k<0，即k<0，
∴k= 6.
故选C.
4．A
【分析】由题意易得，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得，求解x，进而可得点，则，最后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵点的横坐标为5，
∴点，，
∵，
∴设DE=x，BE=2x，则，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴点，
∴，
解得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何的综合是解题的关键．
5．B
【分析】利用A点坐标以及B点在反比例函数的图像上，求出B点坐标，得到AB的长后，利用平行四边形的面积公式即可完成求解．
【详解】解：令y=4，得，
得，
∴B
∵A（，4），
∴AB = -3-（）=，A点到x轴的距离为4，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、反比例函数的图像与解析式等内容，解决本题的关键是牢记平行四边形的性质，能利用点的坐标求出平行四边形的边长和高．
6．A
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【详解】解：如图，
连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．B
【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
【详解】A．当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题；
B．结合实际意义可知，即函数图像位于第一象限，故本选项符合题；
C．压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题；
D．根据题意可知，，又，由此可得，故图像不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质等知识，解题关键是掌握并灵活运用相关性质．
8．A
【详解】试题分析：由已知可知点P、Q在第二象限，故排除B、C，又x1故选A．
考点：1．坐标与函数图象的关系；2．数形结合．
9．B
【详解】∵反比例函数y=中，k=1＞0，
∴此函数的图像在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
又x1＜x2，
∴y1＞y2，
故选：B.
10．D
【详解】∵正比例函数y=2x中，k=2＞0，故其图象过一、三象限，反比例函数的图象在一、三象限，
∴选项D符合．
故选D．
11．C
【详解】由矩形面积公式可得，故为反比例函数．
12．B
【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，所以面积=对角线乘积的一半即可．
【详解】解：设A（a，），
∵轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，
∴CDx轴，C（0，）
∴点D纵坐标为，
∵点D在函数的图像上，
∴当y=时，x=2a，
∴D（2a，），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=AB CD=×2a×=2，
解得k=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点D的坐标．
13．±2
【详解】∵xy＝－8，∴反比例函数的解析式为，把x＝m，y＝－2m代入可得m2＝4，∴m＝±2．
14．
【分析】首先根据BC∥x轴，可设B（x，y），C（a，y），根据B在反比例函数y＝的图象上，可得xy＝m﹣3，再根据AB＝2AC可得，再把，代入xy＝m﹣3中求得ay＝，根据C在反比例函数y＝的图象上，得ay＝m+6，得到＝m+6，解方程即可．
【详解】解：∵BC∥x轴，
∴设B（x，y），C（a，y），
∵B在反比例函数y＝的图象上，
∴xy＝m﹣3，
∵AB＝2AC，
∴|x|＝2a，
∵x＜0，
∴，
∴﹣2ay＝m﹣3，
∴ay＝，
∵C在反比例函数y＝的图象上，
∴ay＝m+6，
∴＝m+6，
∴m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数图像上点的坐标特点是解题的关键．
15．1
【分析】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，
∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），
∴D点的坐标是（-2，-2），
∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
16．或
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：将点代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数为，
将点代入得：
∴点的坐标是，
∴要使得不等式，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点，可得：或
故答案为：或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
17． 40
【分析】首先根据题意，视野f（度）是车速v（km/h）的反比例函数，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案．
【详解】解：设f，v之间的关系式为（k≠0），
∵v＝50km/h时，f＝80度，
∴80＝，
解得k＝4000，
所以，
当v＝100km/h时，f＝＝40（度）．
故答案为，40.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
18．（1），，见解析；（2）②③④；（3）或
【分析】（1）分别代入x求y．
（2）观察图象，逐条分析判断即可．
（3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集．
【详解】解：（1）当x=-3时，
当x=3时，
故填：，
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确；
故答案为：②③④；
（3）由图象得，或
【点睛】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．
19．(1)y=
(2)y=x－8，△BCP面积为3－3
(3)D（3，6）或（3，2）或（9，﹣2）
【分析】（1）将点代入表达式求得即可求得解析式．
（2）由翻折图形的性质可得，设表达式为，代入C（6，0）和
即可求得答案．
（3）分类讨论，①当，且，②当，且，
③当，且利用数形结合即可求得D点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得，①当，且，
解得，
∴．
（2）由翻折可得点和点关于直线对称，
∴
设表达式为，代入C（6，0）和得，
解得，
表达式为，
联立方程组，解得，
∴，
过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，
点的横坐标与点的横坐标相等，
得当时，，
，
．
（3）①如图，，且得，
A（3，4），
，，
点，
②如图，，且，
A（3，4），
，，
点，
③如图，，且，
，C（6，0），，
，即，得，
，即，得，
点，
符合条件的所有D点的坐标为（3，6）或（3，2）或（9，﹣2）．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、平行四边形的性质及翻折图形的性质，利用数形结合及分类讨论的思想是解题的关键．
20．y=x；（-3，-1）
【分析】先把点A坐标代入反比例函数，求出m的值，再把点A代入正比例函数即可求出正比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，求解即可得到另一个交点的坐标．
【详解】∵y=图象过A（m，1）点，
∴=1，
∴m=3，
即A（3，1）．
将A（3，1）代入y=kx，得k=，
∴正比例函数解析式为y=x，
两函数解析式联立，得，
解得，，
∴另一交点为（-3，-1）．
说明：若由“A点关于原点O对称的点是直线与双曲线的另一个交点“而直接写出另一交点坐标为（-3，-1）也是正确的．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，列方程组求函数的交点坐标，这是求函数交点的常用方法．同学们要掌握解方程组的方法．
21．．
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，先由直线y=﹣2x+2与x轴，y轴相交于点A、B求出OB及OA的长，再由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D点坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式．
【详解】过点D作DE⊥x轴于点E．
∵直线y=﹣2x+2与x轴，y轴相交于点A、B，∴当x=0时，y=2，即OB=2；当y=0时，x=1，即OA=1．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∴∠BAO+∠DAE=90°．
∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAO=∠ADE．
∵∠AOB=∠DEA=90°，∴△AOB≌△DEA，∴DE=AO=1，AE=BO=2，∴OE=3，DE=1，∴点D的坐标为（3，1）把（3，1）代入y=中，得：k=3，故反比例函数的解析式为：y=．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、正方形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
22．(1)；
(2)（8,0）或（-8,0）
【分析】（1）用待定系数法直接求表达式即可．
（2）先求出△AOC的面积，再求出△POC，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将A（4，0）B（0，﹣2）代入y＝ax＋b得：
解得：
∴直线的表达式为：
点C（6，m）在直线上
∴k=6m=6
∴反比例函数的表达式为：．
（2）解：设P点坐标为：（p，0）
S△AOC= =
∵S△POC＝2S△AOC
∴=
∴=8
∴P点坐标为（8,0）或（-8,0）．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键．
23．（1）；（2）能成为矩形，不能成为正方形，线段AB与CD互相平分且相等；（3）k的值为或．
【分析】（1）直接把点A（1，k）代入反比例函数的解析式即可，再把k＝ 2代入即可；
（2）根据A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，故AB与CD无法垂直，故可得出结论；
（3）先把k当作已知条件表示出Q点的坐标，根据A、B关于原点O中心对称可知当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，由OQ2＝OA2，即可得出关于k的一元二次方程，求出k的值即可．
【详解】（1）反比例函数的图象过点，
反比例函数的解析式是，
当时，反比例函数的解析式是．
（2）能成为矩形，不能成为正方形，线段AB与CD互相平分且相等．
当AB，CD关于直线或对称时，AB与CD互相平分且相等，
四边形ACBD能成为矩形．
点A，B，C，D可以无限接近坐标轴但是不能落在坐标轴上，
AB与CD无法垂直，
四边形ACBD不能成为正方形．
（3）二次函数的顶点Q的坐标是，A，B关于原点O中心对称，
当时，是以AB为斜边的直角三角形．
由，得，
解得，，
当是以AB为斜边的直角三角形时，k的值为或．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，难度适中．
24．（1）y=﹣x﹣3，y=﹣；（2）S△ADE= 6．
【分析】（1）根据题意求得OE=4，OC=2，Rt△COD中，tan∠DCO= ，OD=3，即可得到A（-4，3），D（0，-3），C（-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求得两个三角形的面积，然后根据S△ADE=S△ACE+S△DCE即可求得．
【详解】（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣4，
∴OE=4，OC=2，
∵Rt△COD中，tan∠DCO=，
∴OD=3，
∴A（﹣4，3），
∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），
∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3，
把点A的坐标（﹣4，3）代入，可得3= ，解得k=﹣12，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
（2）S△ADE=S△ACE+S△DCE=EC AE+EC OD=×2×3+=6．
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